Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
2 | | simp12 1205 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |
3 | 1 | hllatd 37829 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
4 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
5 | | simp32 1211 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | dalawlem.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | dalawlem.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 1, 4, 5, 9 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
12 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
13 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
14 | 1, 11, 12, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | | dalawlem.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | 6, 15 | latmcom 18353 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
17 | 3, 10, 14, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
18 | 7, 8 | hlatjcom 37833 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
19 | 1, 4, 11, 18 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
20 | 2, 17, 19 | 3brtr4d 5138 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |
21 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) |
22 | 17, 21 | eqbrtrd 5128 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) |
23 | | simp23 1209 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π
β π΄) |
24 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
25 | | dalawlem.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
26 | 25, 7, 15, 8 | dalawlem3 38339 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
27 | 1, 20, 22, 4, 11, 23, 5, 12, 24, 26 | syl333anc 1403 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
28 | 7, 8 | hlatjcom 37833 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
29 | 1, 11, 23, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
30 | 7, 8 | hlatjcom 37833 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
31 | 1, 12, 24, 30 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
32 | 29, 31 | oveq12d 7376 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
33 | 7, 8 | hlatjcom 37833 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
34 | 1, 23, 4, 33 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
35 | 7, 8 | hlatjcom 37833 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
36 | 1, 24, 5, 35 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
37 | 34, 36 | oveq12d 7376 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π))) |
38 | 32, 37 | oveq12d 7376 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) = (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)))) |
39 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
40 | 1, 23, 11, 39 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
41 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
42 | 1, 24, 12, 41 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
43 | 6, 15 | latmcl 18330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
44 | 3, 40, 42, 43 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
45 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
46 | 1, 4, 23, 45 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
47 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
48 | 1, 5, 24, 47 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
49 | 6, 15 | latmcl 18330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
50 | 3, 46, 48, 49 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
51 | 6, 7 | latjcom 18337 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π))) = (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
52 | 3, 44, 50, 51 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π))) = (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
53 | 38, 52 | eqtrd 2777 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) = (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
54 | 27, 53 | breqtrd 5132 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |