Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decexp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decexp2 15979
 Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decexp2.1 𝑀 ∈ ℕ0
decexp2.2 (𝑀 + 2) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
decexp2 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Proof of Theorem decexp2
StepHypRef Expression
1 2cn 11291 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2 2nn0 11509 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
3 decexp2.1 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
42, 3nn0expcli 13086 . . . . . 6 (2↑𝑀) ∈ ℕ0
54nn0cni 11504 . . . . 5 (2↑𝑀) ∈ ℂ
61, 5mulcli 10245 . . . 4 (2 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
7 expp1 13067 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
81, 3, 7mp2an 672 . . . . . 6 (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2)
95, 1mulcomi 10246 . . . . . 6 ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀))
108, 9eqtr2i 2794 . . . . 5 (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1))
1110oveq1i 6801 . . . 4 ((2 · (2↑𝑀)) · 2) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
126, 1, 11mulcomli 10247 . . 3 (2 · (2 · (2↑𝑀))) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
134decbin0 11881 . . 3 (4 · (2↑𝑀)) = (2 · (2 · (2↑𝑀)))
14 peano2nn0 11533 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
153, 14ax-mp 5 . . . 4 (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
16 expp1 13067 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2))
171, 15, 16mp2an 672 . . 3 (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
1812, 13, 173eqtr4i 2803 . 2 (4 · (2↑𝑀)) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
19 4nn0 11511 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2019, 4nn0mulcli 11531 . . . 4 (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℕ0
2120nn0cni 11504 . . 3 (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
2221addid1i 10423 . 2 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (4 · (2↑𝑀))
233nn0cni 11504 . . . . 5 𝑀 ∈ ℂ
24 ax-1cn 10194 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2523, 24, 24addassi 10248 . . . 4 ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1))
26 df-2 11279 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2726oveq2i 6802 . . . 4 (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
28 decexp2.2 . . . 4 (𝑀 + 2) = 𝑁
2925, 27, 283eqtr2ri 2800 . . 3 𝑁 = ((𝑀 + 1) + 1)
3029oveq2i 6802 . 2 (2↑𝑁) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
3118, 22, 303eqtr4i 2803 1 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6791  ℂcc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  2c2 11270  4c4 11272  ℕ0cn0 11492  ↑cexp 13060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-seq 13002  df-exp 13061 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator