Theorem decexp2 16757

Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decexp2.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decexp2.2	⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
decexp2	⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Proof of Theorem decexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12031	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2nn0 12233	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		decexp2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0expcli 13790	. . . . . 6 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 12228	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℂ
6	1, 5	mulcli 10966	. . . 4 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
7		expp1 13770	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
8	1, 3, 7	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2)
9	5, 1	mulcomi 10967	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀))
10	8, 9	eqtr2i 2768	. . . . 5 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1))
11	10	oveq1i 7278	. . . 4 ⊢ ((2 · (2↑𝑀)) · 2) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
12	6, 1, 11	mulcomli 10968	. . 3 ⊢ (2 · (2 · (2↑𝑀))) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
13	4	decbin0 12559	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2 · (2 · (2↑𝑀)))
14		peano2nn0 12256	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
15	3, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
16		expp1 13770	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2))
17	1, 15, 16	mp2an 688	. . 3 ⊢ (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
18	12, 13, 17	3eqtr4i 2777	. 2 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
19		4nn0 12235	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
20	19, 4	nn0mulcli 12254	. . . 4 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12228	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
22	21	addid1i 11145	. 2 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (4 · (2↑𝑀))
23	3	nn0cni 12228	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
24		ax-1cn 10913	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 24	addassi 10969	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1))
26		df-2 12019	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
27	26	oveq2i 7279	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
28		decexp2.2	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁
29	25, 27, 28	3eqtr2ri 2774	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑀 + 1) + 1)
30	29	oveq2i 7279	. 2 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
31	18, 22, 30	3eqtr4i 2777	1 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860  2c2 12011  4c4 12013  ℕ₀cn0 12216  ↑cexp 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-seq 13703  df-exp 13764

This theorem is referenced by: (None)