Theorem decexp2 17005

Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decexp2.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decexp2.2	⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
decexp2	⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Proof of Theorem decexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12284	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2nn0 12486	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		decexp2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0expcli 14051	. . . . . 6 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 12481	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℂ
6	1, 5	mulcli 11218	. . . 4 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
7		expp1 14031	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
8	1, 3, 7	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2)
9	5, 1	mulcomi 11219	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀))
10	8, 9	eqtr2i 2762	. . . . 5 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1))
11	10	oveq1i 7416	. . . 4 ⊢ ((2 · (2↑𝑀)) · 2) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
12	6, 1, 11	mulcomli 11220	. . 3 ⊢ (2 · (2 · (2↑𝑀))) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
13	4	decbin0 12814	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2 · (2 · (2↑𝑀)))
14		peano2nn0 12509	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
15	3, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
16		expp1 14031	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2))
17	1, 15, 16	mp2an 691	. . 3 ⊢ (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
18	12, 13, 17	3eqtr4i 2771	. 2 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
19		4nn0 12488	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
20	19, 4	nn0mulcli 12507	. . . 4 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12481	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
22	21	addridi 11398	. 2 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (4 · (2↑𝑀))
23	3	nn0cni 12481	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11165	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 24	addassi 11221	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1))
26		df-2 12272	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
27	26	oveq2i 7417	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
28		decexp2.2	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁
29	25, 27, 28	3eqtr2ri 2768	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑀 + 1) + 1)
30	29	oveq2i 7417	. 2 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
31	18, 22, 30	3eqtr4i 2771	1 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  2c2 12264  4c4 12266  ℕ₀cn0 12469  ↑cexp 14024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025

This theorem is referenced by: (None)