MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decexp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decexp2 16992
Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decexp2.1 𝑀 ∈ ℕ0
decexp2.2 (𝑀 + 2) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
decexp2 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Proof of Theorem decexp2
StepHypRef Expression
1 2cn 12271 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2 2nn0 12473 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
3 decexp2.1 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
42, 3nn0expcli 14038 . . . . . 6 (2↑𝑀) ∈ ℕ0
54nn0cni 12468 . . . . 5 (2↑𝑀) ∈ ℂ
61, 5mulcli 11205 . . . 4 (2 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
7 expp1 14018 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
81, 3, 7mp2an 690 . . . . . 6 (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2)
95, 1mulcomi 11206 . . . . . 6 ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀))
108, 9eqtr2i 2761 . . . . 5 (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1))
1110oveq1i 7404 . . . 4 ((2 · (2↑𝑀)) · 2) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
126, 1, 11mulcomli 11207 . . 3 (2 · (2 · (2↑𝑀))) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
134decbin0 12801 . . 3 (4 · (2↑𝑀)) = (2 · (2 · (2↑𝑀)))
14 peano2nn0 12496 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
153, 14ax-mp 5 . . . 4 (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
16 expp1 14018 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2))
171, 15, 16mp2an 690 . . 3 (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
1812, 13, 173eqtr4i 2770 . 2 (4 · (2↑𝑀)) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
19 4nn0 12475 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2019, 4nn0mulcli 12494 . . . 4 (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℕ0
2120nn0cni 12468 . . 3 (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
2221addridi 11385 . 2 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (4 · (2↑𝑀))
233nn0cni 12468 . . . . 5 𝑀 ∈ ℂ
24 ax-1cn 11152 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2523, 24, 24addassi 11208 . . . 4 ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1))
26 df-2 12259 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2726oveq2i 7405 . . . 4 (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
28 decexp2.2 . . . 4 (𝑀 + 2) = 𝑁
2925, 27, 283eqtr2ri 2767 . . 3 𝑁 = ((𝑀 + 1) + 1)
3029oveq2i 7405 . 2 (2↑𝑁) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
3118, 22, 303eqtr4i 2770 1 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7394  cc 11092  0cc0 11094  1c1 11095   + caddc 11097   · cmul 11099  2c2 12251  4c4 12253  0cn0 12456  cexp 14011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-seq 13951  df-exp 14012
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator