Theorem decexp2 17015

Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decexp2.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decexp2.2	⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
decexp2	⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Proof of Theorem decexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12294	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2nn0 12496	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		decexp2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0expcli 14061	. . . . . 6 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 12491	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℂ
6	1, 5	mulcli 11228	. . . 4 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
7		expp1 14041	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
8	1, 3, 7	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2)
9	5, 1	mulcomi 11229	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀))
10	8, 9	eqtr2i 2760	. . . . 5 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1))
11	10	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((2 · (2↑𝑀)) · 2) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
12	6, 1, 11	mulcomli 11230	. . 3 ⊢ (2 · (2 · (2↑𝑀))) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
13	4	decbin0 12824	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2 · (2 · (2↑𝑀)))
14		peano2nn0 12519	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
15	3, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
16		expp1 14041	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2))
17	1, 15, 16	mp2an 689	. . 3 ⊢ (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
18	12, 13, 17	3eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
19		4nn0 12498	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
20	19, 4	nn0mulcli 12517	. . . 4 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12491	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
22	21	addridi 11408	. 2 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (4 · (2↑𝑀))
23	3	nn0cni 12491	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11174	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 24	addassi 11231	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1))
26		df-2 12282	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
27	26	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
28		decexp2.2	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁
29	25, 27, 28	3eqtr2ri 2766	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑀 + 1) + 1)
30	29	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
31	18, 22, 30	3eqtr4i 2769	1 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  2c2 12274  4c4 12276  ℕ₀cn0 12479  ↑cexp 14034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-exp 14035

This theorem is referenced by: (None)