Theorem div2subd 11147

Description: Swap subtrahend and minuend inside the numerator and denominator of a fraction. Deduction form of div2sub 11146. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
div2subd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
div2subd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
div2subd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
div2subd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
div2subd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
div2subd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

Proof of Theorem div2subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div2subd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div2subd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		div2subd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		div2subd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		div2subd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
6		div2sub 11146	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	syl23anc 1497	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2975  (class class class)co 6882  ℂcc 10226   − cmin 10560   / cdiv 10980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-po 5237  df-so 5238  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10981

This theorem is referenced by:  pwm1geoser  14942  angpieqvdlem  24911  brbtwn2  26146  knoppndvlem14  33028  bj-bary1  33665  ftc1cnnc  33976