Theorem rereccld 11948

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   / cdiv 11774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775

This theorem is referenced by:  recgt0  11967  prodgt0  11968  ltdiv1  11986  ltrec  12004  lerec  12005  lediv12a  12015  nnrecl  12379  rpnnen1lem5  12879  expnlbnd  14140  cnsubrg  21364  evth  24885  ncvs1  25084  reeff1o  26384  rtprmirr  26697  isosctrlem2  26756  chordthmlem2  26770  cxplim  26909  nv1  30655  nmblolbii  30779  norm1  31229  norm1exi  31230  nmbdoplbi  32004  nmcoplbi  32008  nmbdfnlbi  32029  nmcfnlbi  32032  branmfn  32085  strlem1  32230  constrdircl  33778  constrreinvcl  33785  dya2icoseg  34290  logdivsqrle  34663  readvrec2  42464  readvrec  42465  irrapxlem2  42926  irrapxlem5  42929  pell1234qrreccl  42957  pell14qrdich  42972  radcnvrat  44417  hashnzfzclim  44425  reclt0  45499  ltdiv23neg  45502  sumnnodd  45740  ioodvbdlimc1lem2  46040  ioodvbdlimc2lem  46042  stoweidlem7  46115  stoweidlem11  46119  stoweidlem14  46122  stoweidlem25  46133  stoweidlem36  46144  stoweidlem42  46150  stirlinglem10  46191  stirlinglem11  46192  stirlinglem12  46193  fourierdlem40  46255  fourierdlem78  46292  pimrecltpos  46816  pimrecltneg  46832  eenglngeehlnmlem1  48848