Theorem rereccld 11982

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11873	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  recgt0  12001  prodgt0  12002  ltdiv1  12020  ltrec  12038  lerec  12039  lediv12a  12049  nnrecl  12435  rpnnen1lem5  12931  nnge2recico01  13460  expnlbnd  14195  cnsubrg  21407  evth  24926  ncvs1  25124  reeff1o  26412  rtprmirr  26724  isosctrlem2  26783  chordthmlem2  26797  cxplim  26935  nv1  30746  nmblolbii  30870  norm1  31320  norm1exi  31321  nmbdoplbi  32095  nmcoplbi  32099  nmbdfnlbi  32120  nmcfnlbi  32123  branmfn  32176  strlem1  32321  constrdircl  33909  constrreinvcl  33916  dya2icoseg  34421  logdivsqrle  34794  readvrec2  42793  readvrec  42794  irrapxlem2  43251  irrapxlem5  43254  pell1234qrreccl  43282  pell14qrdich  43297  radcnvrat  44741  hashnzfzclim  44749  reclt0  45820  ltdiv23neg  45823  sumnnodd  46060  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  stoweidlem7  46435  stoweidlem11  46439  stoweidlem14  46442  stoweidlem25  46453  stoweidlem36  46464  stoweidlem42  46470  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  stirlinglem12  46513  fourierdlem40  46575  fourierdlem78  46612  pimrecltpos  47136  pimrecltneg  47152  eenglngeehlnmlem1  49213