MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rereccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rereccld 11459
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
rereccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rereccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 rereccl 11350 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 586 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 3014  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   / cdiv 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290
This theorem is referenced by:  recgt0  11478  prodgt0  11479  ltdiv1  11496  ltrec  11514  lerec  11515  lediv12a  11525  nnrecl  11887  rpnnen1lem5  12372  expnlbnd  13586  cnsubrg  20597  evth  23555  ncvs1  23753  reeff1o  25027  isosctrlem2  25389  chordthmlem2  25403  cxplim  25541  nv1  28444  nmblolbii  28568  norm1  29018  norm1exi  29019  nmbdoplbi  29793  nmcoplbi  29797  nmbdfnlbi  29818  nmcfnlbi  29821  branmfn  29874  strlem1  30019  dya2icoseg  31528  logdivsqrle  31914  rtprmirr  39184  irrapxlem2  39410  irrapxlem5  39413  pell1234qrreccl  39441  pell14qrdich  39456  radcnvrat  40636  hashnzfzclim  40644  reclt0  41652  ltdiv23neg  41655  sumnnodd  41900  ioodvbdlimc1lem2  42206  ioodvbdlimc2lem  42208  stoweidlem7  42282  stoweidlem11  42286  stoweidlem14  42289  stoweidlem25  42300  stoweidlem36  42311  stoweidlem42  42317  stirlinglem10  42358  stirlinglem11  42359  stirlinglem12  42360  fourierdlem40  42422  fourierdlem78  42459  pimrecltpos  42977  pimrecltneg  42991  eenglngeehlnmlem1  44714
  Copyright terms: Public domain W3C validator