Theorem rereccld 12036

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11927	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7403  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   / cdiv 11866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867

This theorem is referenced by:  recgt0  12055  prodgt0  12056  ltdiv1  12073  ltrec  12091  lerec  12092  lediv12a  12102  nnrecl  12465  rpnnen1lem5  12960  expnlbnd  14191  cnsubrg  20989  evth  24456  ncvs1  24655  reeff1o  25940  isosctrlem2  26303  chordthmlem2  26317  cxplim  26455  nv1  29905  nmblolbii  30029  norm1  30479  norm1exi  30480  nmbdoplbi  31254  nmcoplbi  31258  nmbdfnlbi  31279  nmcfnlbi  31282  branmfn  31335  strlem1  31480  dya2icoseg  33213  logdivsqrle  33599  rtprmirr  41180  irrapxlem2  41493  irrapxlem5  41496  pell1234qrreccl  41524  pell14qrdich  41539  radcnvrat  43005  hashnzfzclim  43013  reclt0  44035  ltdiv23neg  44038  sumnnodd  44280  ioodvbdlimc1lem2  44582  ioodvbdlimc2lem  44584  stoweidlem7  44657  stoweidlem11  44661  stoweidlem14  44664  stoweidlem25  44675  stoweidlem36  44686  stoweidlem42  44692  stirlinglem10  44733  stirlinglem11  44734  stirlinglem12  44735  fourierdlem40  44797  fourierdlem78  44834  pimrecltpos  45358  pimrecltneg  45374  eenglngeehlnmlem1  47324