Theorem rereccld 12066

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11957	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   / cdiv 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893

This theorem is referenced by:  recgt0  12085  prodgt0  12086  ltdiv1  12104  ltrec  12122  lerec  12123  lediv12a  12133  nnrecl  12497  rpnnen1lem5  12995  expnlbnd  14249  cnsubrg  21393  evth  24907  ncvs1  25107  reeff1o  26407  rtprmirr  26720  isosctrlem2  26779  chordthmlem2  26793  cxplim  26932  nv1  30602  nmblolbii  30726  norm1  31176  norm1exi  31177  nmbdoplbi  31951  nmcoplbi  31955  nmbdfnlbi  31976  nmcfnlbi  31979  branmfn  32032  strlem1  32177  constrdircl  33745  constrreinvcl  33752  dya2icoseg  34255  logdivsqrle  34628  readvrec2  42351  readvrec  42352  irrapxlem2  42793  irrapxlem5  42796  pell1234qrreccl  42824  pell14qrdich  42839  radcnvrat  44286  hashnzfzclim  44294  reclt0  45366  ltdiv23neg  45369  sumnnodd  45607  ioodvbdlimc1lem2  45909  ioodvbdlimc2lem  45911  stoweidlem7  45984  stoweidlem11  45988  stoweidlem14  45991  stoweidlem25  46002  stoweidlem36  46013  stoweidlem42  46019  stirlinglem10  46060  stirlinglem11  46061  stirlinglem12  46062  fourierdlem40  46124  fourierdlem78  46161  pimrecltpos  46685  pimrecltneg  46701  eenglngeehlnmlem1  48665