Theorem rereccld 12069

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   / cdiv 11898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899

This theorem is used by:  recgt0  12088  prodgt0  12089  ltdiv1  12106  ltrec  12124  lerec  12125  lediv12a  12135  nnrecl  12529  rpnnen1lem5  13034  nnge2recico01  13563  expnlbnd  14300  cnsubrg  21643  evth  25190  ncvs1  25388  reeff1o  26686  rtprmirr  27000  isosctrlem2  27059  chordthmlem2  27073  cxplim  27211  nv1  31159  nmblolbii  31283  norm1  31733  norm1exi  31734  nmbdoplbi  32508  nmcoplbi  32512  nmbdfnlbi  32533  nmcfnlbi  32536  branmfn  32589  strlem1  32734  constrdircl  34278  constrreinvcl  34285  dya2icoseg  34791  logdivsqrle  35161  readvrec2  43239  readvrec  43240  irrapxlem2  43667  irrapxlem5  43670  pell1234qrreccl  43698  pell14qrdich  43713  radcnvrat  45141  hashnzfzclim  45149  reclt0  46223  ltdiv23neg  46226  sumnnodd  46463  ioodvbdlimc1lem2  46763  ioodvbdlimc2lem  46765  stoweidlem7  46838  stoweidlem11  46842  stoweidlem14  46845  stoweidlem25  46856  stoweidlem36  46867  stoweidlem42  46873  stirlinglem10  46914  stirlinglem11  46915  stirlinglem12  46916  fourierdlem40  46978  fourierdlem78  47015  pimrecltpos  47539  pimrecltneg  47555  eenglngeehlnmlem1  49670