Theorem rereccld 11980

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11871	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  recgt0  11999  prodgt0  12000  ltdiv1  12018  ltrec  12036  lerec  12037  lediv12a  12047  nnrecl  12411  rpnnen1lem5  12906  expnlbnd  14168  cnsubrg  21394  evth  24926  ncvs1  25125  reeff1o  26425  rtprmirr  26738  isosctrlem2  26797  chordthmlem2  26811  cxplim  26950  nv1  30763  nmblolbii  30887  norm1  31337  norm1exi  31338  nmbdoplbi  32112  nmcoplbi  32116  nmbdfnlbi  32137  nmcfnlbi  32140  branmfn  32193  strlem1  32338  constrdircl  33943  constrreinvcl  33950  dya2icoseg  34455  logdivsqrle  34828  readvrec2  42731  readvrec  42732  irrapxlem2  43180  irrapxlem5  43183  pell1234qrreccl  43211  pell14qrdich  43226  radcnvrat  44670  hashnzfzclim  44678  reclt0  45749  ltdiv23neg  45752  sumnnodd  45990  ioodvbdlimc1lem2  46290  ioodvbdlimc2lem  46292  stoweidlem7  46365  stoweidlem11  46369  stoweidlem14  46372  stoweidlem25  46383  stoweidlem36  46394  stoweidlem42  46400  stirlinglem10  46441  stirlinglem11  46442  stirlinglem12  46443  fourierdlem40  46505  fourierdlem78  46542  pimrecltpos  47066  pimrecltneg  47082  eenglngeehlnmlem1  49097