Theorem rereccld 12042

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11933	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872

This theorem is referenced by:  recgt0  12061  prodgt0  12062  ltdiv1  12079  ltrec  12097  lerec  12098  lediv12a  12108  nnrecl  12502  rpnnen1lem5  13005  nnge2recico01  13534  expnlbnd  14269  cnsubrg  21546  evth  25087  ncvs1  25285  reeff1o  26576  rtprmirr  26891  isosctrlem2  26950  chordthmlem2  26964  cxplim  27102  nv1  30968  nmblolbii  31092  norm1  31542  norm1exi  31543  nmbdoplbi  32317  nmcoplbi  32321  nmbdfnlbi  32342  nmcfnlbi  32345  branmfn  32398  strlem1  32543  constrdircl  34100  constrreinvcl  34107  dya2icoseg  34612  logdivsqrle  34982  readvrec2  43012  readvrec  43013  irrapxlem2  43442  irrapxlem5  43445  pell1234qrreccl  43473  pell14qrdich  43488  radcnvrat  44916  hashnzfzclim  44924  reclt0  45998  ltdiv23neg  46001  sumnnodd  46238  ioodvbdlimc1lem2  46538  ioodvbdlimc2lem  46540  stoweidlem7  46613  stoweidlem11  46617  stoweidlem14  46620  stoweidlem25  46631  stoweidlem36  46642  stoweidlem42  46648  stirlinglem10  46689  stirlinglem11  46690  stirlinglem12  46691  fourierdlem40  46753  fourierdlem78  46790  pimrecltpos  47314  pimrecltneg  47330  eenglngeehlnmlem1  49402