Theorem rereccld 11976

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11867	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   / cdiv 11801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802

This theorem is referenced by:  recgt0  11995  prodgt0  11996  ltdiv1  12014  ltrec  12032  lerec  12033  lediv12a  12043  nnrecl  12429  rpnnen1lem5  12925  nnge2recico01  13454  expnlbnd  14189  cnsubrg  21420  evth  24939  ncvs1  25137  reeff1o  26428  rtprmirr  26740  isosctrlem2  26799  chordthmlem2  26813  cxplim  26952  nv1  30764  nmblolbii  30888  norm1  31338  norm1exi  31339  nmbdoplbi  32113  nmcoplbi  32117  nmbdfnlbi  32138  nmcfnlbi  32141  branmfn  32194  strlem1  32339  constrdircl  33928  constrreinvcl  33935  dya2icoseg  34440  logdivsqrle  34813  readvrec2  42810  readvrec  42811  irrapxlem2  43272  irrapxlem5  43275  pell1234qrreccl  43303  pell14qrdich  43318  radcnvrat  44762  hashnzfzclim  44770  reclt0  45841  ltdiv23neg  45844  sumnnodd  46081  ioodvbdlimc1lem2  46381  ioodvbdlimc2lem  46383  stoweidlem7  46456  stoweidlem11  46460  stoweidlem14  46463  stoweidlem25  46474  stoweidlem36  46485  stoweidlem42  46491  stirlinglem10  46532  stirlinglem11  46533  stirlinglem12  46534  fourierdlem40  46596  fourierdlem78  46633  pimrecltpos  47157  pimrecltneg  47173  eenglngeehlnmlem1  49228