Theorem rereccld 12040

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11931	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   / cdiv 11870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871

This theorem is referenced by:  recgt0  12059  prodgt0  12060  ltdiv1  12077  ltrec  12095  lerec  12096  lediv12a  12106  nnrecl  12469  rpnnen1lem5  12964  expnlbnd  14197  cnsubrg  21310  evth  24829  ncvs1  25029  reeff1o  26324  isosctrlem2  26691  chordthmlem2  26705  cxplim  26844  nv1  30422  nmblolbii  30546  norm1  30996  norm1exi  30997  nmbdoplbi  31771  nmcoplbi  31775  nmbdfnlbi  31796  nmcfnlbi  31799  branmfn  31852  strlem1  31997  dya2icoseg  33795  logdivsqrle  34180  rtprmirr  41774  irrapxlem2  42111  irrapxlem5  42114  pell1234qrreccl  42142  pell14qrdich  42157  radcnvrat  43622  hashnzfzclim  43630  reclt0  44646  ltdiv23neg  44649  sumnnodd  44891  ioodvbdlimc1lem2  45193  ioodvbdlimc2lem  45195  stoweidlem7  45268  stoweidlem11  45272  stoweidlem14  45275  stoweidlem25  45286  stoweidlem36  45297  stoweidlem42  45303  stirlinglem10  45344  stirlinglem11  45345  stirlinglem12  45346  fourierdlem40  45408  fourierdlem78  45445  pimrecltpos  45969  pimrecltneg  45985  eenglngeehlnmlem1  47671