Theorem rereccld 12037

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11928	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   / cdiv 11866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867

This theorem is referenced by:  recgt0  12056  prodgt0  12057  ltdiv1  12074  ltrec  12092  lerec  12093  lediv12a  12103  nnrecl  12497  rpnnen1lem5  13000  nnge2recico01  13529  expnlbnd  14265  cnsubrg  21577  evth  25118  ncvs1  25316  reeff1o  26610  rtprmirr  26925  isosctrlem2  26984  chordthmlem2  26998  cxplim  27136  nv1  31027  nmblolbii  31151  norm1  31601  norm1exi  31602  nmbdoplbi  32376  nmcoplbi  32380  nmbdfnlbi  32401  nmcfnlbi  32404  branmfn  32457  strlem1  32602  constrdircl  34155  constrreinvcl  34162  dya2icoseg  34667  logdivsqrle  35037  readvrec2  43142  readvrec  43143  irrapxlem2  43570  irrapxlem5  43573  pell1234qrreccl  43601  pell14qrdich  43616  radcnvrat  45044  hashnzfzclim  45052  reclt0  46126  ltdiv23neg  46129  sumnnodd  46366  ioodvbdlimc1lem2  46666  ioodvbdlimc2lem  46668  stoweidlem7  46741  stoweidlem11  46745  stoweidlem14  46748  stoweidlem25  46759  stoweidlem36  46770  stoweidlem42  46776  stirlinglem10  46817  stirlinglem11  46818  stirlinglem12  46819  fourierdlem40  46881  fourierdlem78  46918  pimrecltpos  47442  pimrecltneg  47458  eenglngeehlnmlem1  49537