Theorem rereccld 12094

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11985	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  recgt0  12113  prodgt0  12114  ltdiv1  12132  ltrec  12150  lerec  12151  lediv12a  12161  nnrecl  12524  rpnnen1lem5  13023  expnlbnd  14272  cnsubrg  21445  evth  24991  ncvs1  25191  reeff1o  26491  rtprmirr  26803  isosctrlem2  26862  chordthmlem2  26876  cxplim  27015  nv1  30694  nmblolbii  30818  norm1  31268  norm1exi  31269  nmbdoplbi  32043  nmcoplbi  32047  nmbdfnlbi  32068  nmcfnlbi  32071  branmfn  32124  strlem1  32269  dya2icoseg  34279  logdivsqrle  34665  readvrec2  42391  readvrec  42392  irrapxlem2  42834  irrapxlem5  42837  pell1234qrreccl  42865  pell14qrdich  42880  radcnvrat  44333  hashnzfzclim  44341  reclt0  45402  ltdiv23neg  45405  sumnnodd  45645  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  stoweidlem7  46022  stoweidlem11  46026  stoweidlem14  46029  stoweidlem25  46040  stoweidlem36  46051  stoweidlem42  46057  stirlinglem10  46098  stirlinglem11  46099  stirlinglem12  46100  fourierdlem40  46162  fourierdlem78  46199  pimrecltpos  46723  pimrecltneg  46739  eenglngeehlnmlem1  48658