Theorem rereccld 12018

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11909	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   / cdiv 11844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845

This theorem is referenced by:  recgt0  12037  prodgt0  12038  ltdiv1  12056  ltrec  12074  lerec  12075  lediv12a  12085  nnrecl  12479  rpnnen1lem5  12982  nnge2recico01  13511  expnlbnd  14246  cnsubrg  21479  evth  25021  ncvs1  25219  reeff1o  26510  rtprmirr  26825  isosctrlem2  26884  chordthmlem2  26898  cxplim  27036  nv1  30878  nmblolbii  31002  norm1  31452  norm1exi  31453  nmbdoplbi  32227  nmcoplbi  32231  nmbdfnlbi  32252  nmcfnlbi  32255  branmfn  32308  strlem1  32453  constrdircl  34062  constrreinvcl  34069  dya2icoseg  34574  logdivsqrle  34944  readvrec2  42970  readvrec  42971  irrapxlem2  43400  irrapxlem5  43403  pell1234qrreccl  43431  pell14qrdich  43446  radcnvrat  44890  hashnzfzclim  44898  reclt0  45966  ltdiv23neg  45969  sumnnodd  46206  ioodvbdlimc1lem2  46506  ioodvbdlimc2lem  46508  stoweidlem7  46581  stoweidlem11  46585  stoweidlem14  46588  stoweidlem25  46599  stoweidlem36  46610  stoweidlem42  46616  stirlinglem10  46657  stirlinglem11  46658  stirlinglem12  46659  fourierdlem40  46721  fourierdlem78  46758  pimrecltpos  47282  pimrecltneg  47298  eenglngeehlnmlem1  49359