Theorem rereccld 12016

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11907	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  recgt0  12035  prodgt0  12036  ltdiv1  12054  ltrec  12072  lerec  12073  lediv12a  12083  nnrecl  12447  rpnnen1lem5  12947  expnlbnd  14205  cnsubrg  21351  evth  24865  ncvs1  25064  reeff1o  26364  rtprmirr  26677  isosctrlem2  26736  chordthmlem2  26750  cxplim  26889  nv1  30611  nmblolbii  30735  norm1  31185  norm1exi  31186  nmbdoplbi  31960  nmcoplbi  31964  nmbdfnlbi  31985  nmcfnlbi  31988  branmfn  32041  strlem1  32186  constrdircl  33762  constrreinvcl  33769  dya2icoseg  34275  logdivsqrle  34648  readvrec2  42356  readvrec  42357  irrapxlem2  42818  irrapxlem5  42821  pell1234qrreccl  42849  pell14qrdich  42864  radcnvrat  44310  hashnzfzclim  44318  reclt0  45394  ltdiv23neg  45397  sumnnodd  45635  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  stoweidlem7  46012  stoweidlem11  46016  stoweidlem14  46019  stoweidlem25  46030  stoweidlem36  46041  stoweidlem42  46047  stirlinglem10  46088  stirlinglem11  46089  stirlinglem12  46090  fourierdlem40  46152  fourierdlem78  46189  pimrecltpos  46713  pimrecltneg  46729  eenglngeehlnmlem1  48730