Theorem rereccld 11973

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  recgt0  11992  prodgt0  11993  ltdiv1  12011  ltrec  12029  lerec  12030  lediv12a  12040  nnrecl  12426  rpnnen1lem5  12922  nnge2recico01  13451  expnlbnd  14186  cnsubrg  21402  evth  24944  ncvs1  25142  reeff1o  26430  rtprmirr  26742  isosctrlem2  26801  chordthmlem2  26815  cxplim  26953  nv1  30764  nmblolbii  30888  norm1  31338  norm1exi  31339  nmbdoplbi  32113  nmcoplbi  32117  nmbdfnlbi  32138  nmcfnlbi  32141  branmfn  32194  strlem1  32339  constrdircl  33949  constrreinvcl  33956  dya2icoseg  34461  logdivsqrle  34834  readvrec2  42838  readvrec  42839  irrapxlem2  43268  irrapxlem5  43271  pell1234qrreccl  43299  pell14qrdich  43314  radcnvrat  44758  hashnzfzclim  44766  reclt0  45835  ltdiv23neg  45838  sumnnodd  46075  ioodvbdlimc1lem2  46375  ioodvbdlimc2lem  46377  stoweidlem7  46450  stoweidlem11  46454  stoweidlem14  46457  stoweidlem25  46468  stoweidlem36  46479  stoweidlem42  46485  stirlinglem10  46526  stirlinglem11  46527  stirlinglem12  46528  fourierdlem40  46590  fourierdlem78  46627  pimrecltpos  47151  pimrecltneg  47167  eenglngeehlnmlem1  49228