MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rereccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rereccld 11455
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
rereccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rereccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 rereccl 11346 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   / cdiv 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286
This theorem is referenced by:  recgt0  11474  prodgt0  11475  ltdiv1  11492  ltrec  11510  lerec  11511  lediv12a  11521  nnrecl  11883  rpnnen1lem5  12368  expnlbnd  13582  cnsubrg  20533  evth  23490  ncvs1  23688  reeff1o  24962  isosctrlem2  25324  chordthmlem2  25338  cxplim  25476  nv1  28379  nmblolbii  28503  norm1  28953  norm1exi  28954  nmbdoplbi  29728  nmcoplbi  29732  nmbdfnlbi  29753  nmcfnlbi  29756  branmfn  29809  strlem1  29954  dya2icoseg  31434  logdivsqrle  31820  rtprmirr  39072  irrapxlem2  39298  irrapxlem5  39301  pell1234qrreccl  39329  pell14qrdich  39344  radcnvrat  40523  hashnzfzclim  40531  reclt0  41539  ltdiv23neg  41542  sumnnodd  41787  ioodvbdlimc1lem2  42093  ioodvbdlimc2lem  42095  stoweidlem7  42169  stoweidlem11  42173  stoweidlem14  42176  stoweidlem25  42187  stoweidlem36  42198  stoweidlem42  42204  stirlinglem10  42245  stirlinglem11  42246  stirlinglem12  42247  fourierdlem40  42309  fourierdlem78  42346  pimrecltpos  42864  pimrecltneg  42878  eenglngeehlnmlem1  44652
  Copyright terms: Public domain W3C validator