Theorem rereccld 12144

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 12035	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   / cdiv 11973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974

This theorem is used by:  recgt0  12163  prodgt0  12164  ltdiv1  12181  ltrec  12199  lerec  12200  lediv12a  12210  nnrecl  12604  rpnnen1lem5  13109  nnge2recico01  13638  expnlbnd  14377  cnsubrg  21733  evth  25280  ncvs1  25478  reeff1o  26774  rtprmirr  27088  isosctrlem2  27147  chordthmlem2  27161  cxplim  27299  nv1  31277  nmblolbii  31401  norm1  31851  norm1exi  31852  nmbdoplbi  32626  nmcoplbi  32630  nmbdfnlbi  32651  nmcfnlbi  32654  branmfn  32707  strlem1  32852  constrdircl  34397  constrreinvcl  34404  dya2icoseg  34909  logdivsqrle  35279  readvrec2  43412  readvrec  43413  irrapxlem2  43829  irrapxlem5  43832  pell1234qrreccl  43860  pell14qrdich  43875  radcnvrat  45297  hashnzfzclim  45305  reclt0  46401  ltdiv23neg  46404  sumnnodd  46641  ioodvbdlimc1lem2  46941  ioodvbdlimc2lem  46943  stoweidlem7  47016  stoweidlem11  47020  stoweidlem14  47023  stoweidlem25  47034  stoweidlem36  47045  stoweidlem42  47051  stirlinglem10  47092  stirlinglem11  47093  stirlinglem12  47094  fourierdlem40  47156  fourierdlem78  47193  pimrecltpos  47717  pimrecltneg  47733  eenglngeehlnmlem1  49848