Theorem rereccld 12059

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11950	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   / cdiv 11888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889

This theorem is used by:  recgt0  12078  prodgt0  12079  ltdiv1  12096  ltrec  12114  lerec  12115  lediv12a  12125  nnrecl  12519  rpnnen1lem5  13023  nnge2recico01  13552  expnlbnd  14289  cnsubrg  21629  evth  25171  ncvs1  25369  reeff1o  26663  rtprmirr  26978  isosctrlem2  27037  chordthmlem2  27051  cxplim  27189  nv1  31100  nmblolbii  31224  norm1  31674  norm1exi  31675  nmbdoplbi  32449  nmcoplbi  32453  nmbdfnlbi  32474  nmcfnlbi  32477  branmfn  32530  strlem1  32675  constrdircl  34221  constrreinvcl  34228  dya2icoseg  34734  logdivsqrle  35104  readvrec2  43182  readvrec  43183  irrapxlem2  43610  irrapxlem5  43613  pell1234qrreccl  43641  pell14qrdich  43656  radcnvrat  45084  hashnzfzclim  45092  reclt0  46166  ltdiv23neg  46169  sumnnodd  46406  ioodvbdlimc1lem2  46706  ioodvbdlimc2lem  46708  stoweidlem7  46781  stoweidlem11  46785  stoweidlem14  46788  stoweidlem25  46799  stoweidlem36  46810  stoweidlem42  46816  stirlinglem10  46857  stirlinglem11  46858  stirlinglem12  46859  fourierdlem40  46921  fourierdlem78  46958  pimrecltpos  47482  pimrecltneg  47498  eenglngeehlnmlem1  49576