Theorem rereccld 12052

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11943	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7416  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   / cdiv 11881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882

This theorem is used by:  recgt0  12071  prodgt0  12072  ltdiv1  12089  ltrec  12107  lerec  12108  lediv12a  12118  nnrecl  12512  rpnnen1lem5  13015  nnge2recico01  13544  expnlbnd  14280  cnsubrg  21592  evth  25133  ncvs1  25331  reeff1o  26625  rtprmirr  26940  isosctrlem2  26999  chordthmlem2  27013  cxplim  27151  nv1  31042  nmblolbii  31166  norm1  31616  norm1exi  31617  nmbdoplbi  32391  nmcoplbi  32395  nmbdfnlbi  32416  nmcfnlbi  32419  branmfn  32472  strlem1  32617  constrdircl  34168  constrreinvcl  34175  dya2icoseg  34680  logdivsqrle  35050  readvrec2  43154  readvrec  43155  irrapxlem2  43582  irrapxlem5  43585  pell1234qrreccl  43613  pell14qrdich  43628  radcnvrat  45056  hashnzfzclim  45064  reclt0  46138  ltdiv23neg  46141  sumnnodd  46378  ioodvbdlimc1lem2  46678  ioodvbdlimc2lem  46680  stoweidlem7  46753  stoweidlem11  46757  stoweidlem14  46760  stoweidlem25  46771  stoweidlem36  46782  stoweidlem42  46788  stirlinglem10  46829  stirlinglem11  46830  stirlinglem12  46831  fourierdlem40  46893  fourierdlem78  46930  pimrecltpos  47454  pimrecltneg  47470  eenglngeehlnmlem1  49549