Theorem rereccld 11966

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   / cdiv 11792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793

This theorem is referenced by:  recgt0  11985  prodgt0  11986  ltdiv1  12004  ltrec  12022  lerec  12023  lediv12a  12033  nnrecl  12397  rpnnen1lem5  12892  expnlbnd  14154  cnsubrg  21380  evth  24912  ncvs1  25111  reeff1o  26411  rtprmirr  26724  isosctrlem2  26783  chordthmlem2  26797  cxplim  26936  nv1  30699  nmblolbii  30823  norm1  31273  norm1exi  31274  nmbdoplbi  32048  nmcoplbi  32052  nmbdfnlbi  32073  nmcfnlbi  32076  branmfn  32129  strlem1  32274  constrdircl  33871  constrreinvcl  33878  dya2icoseg  34383  logdivsqrle  34756  readvrec2  42558  readvrec  42559  irrapxlem2  43007  irrapxlem5  43010  pell1234qrreccl  43038  pell14qrdich  43053  radcnvrat  44497  hashnzfzclim  44505  reclt0  45577  ltdiv23neg  45580  sumnnodd  45818  ioodvbdlimc1lem2  46118  ioodvbdlimc2lem  46120  stoweidlem7  46193  stoweidlem11  46197  stoweidlem14  46200  stoweidlem25  46211  stoweidlem36  46222  stoweidlem42  46228  stirlinglem10  46269  stirlinglem11  46270  stirlinglem12  46271  fourierdlem40  46333  fourierdlem78  46370  pimrecltpos  46894  pimrecltneg  46910  eenglngeehlnmlem1  48925