Theorem rereccld 11985

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11876	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   / cdiv 11811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812

This theorem is referenced by:  recgt0  12004  prodgt0  12005  ltdiv1  12023  ltrec  12041  lerec  12042  lediv12a  12052  nnrecl  12416  rpnnen1lem5  12916  expnlbnd  14174  cnsubrg  21369  evth  24891  ncvs1  25090  reeff1o  26390  rtprmirr  26703  isosctrlem2  26762  chordthmlem2  26776  cxplim  26915  nv1  30654  nmblolbii  30778  norm1  31228  norm1exi  31229  nmbdoplbi  32003  nmcoplbi  32007  nmbdfnlbi  32028  nmcfnlbi  32031  branmfn  32084  strlem1  32229  constrdircl  33748  constrreinvcl  33755  dya2icoseg  34261  logdivsqrle  34634  readvrec2  42342  readvrec  42343  irrapxlem2  42804  irrapxlem5  42807  pell1234qrreccl  42835  pell14qrdich  42850  radcnvrat  44296  hashnzfzclim  44304  reclt0  45380  ltdiv23neg  45383  sumnnodd  45621  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  stoweidlem7  45998  stoweidlem11  46002  stoweidlem14  46005  stoweidlem25  46016  stoweidlem36  46027  stoweidlem42  46033  stirlinglem10  46074  stirlinglem11  46075  stirlinglem12  46076  fourierdlem40  46138  fourierdlem78  46175  pimrecltpos  46699  pimrecltneg  46715  eenglngeehlnmlem1  48719