Theorem rereccld 12154

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rereccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rereccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 12045	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   / cdiv 11983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984

This theorem is used by:  recgt0  12173  prodgt0  12174  ltdiv1  12191  ltrec  12209  lerec  12210  lediv12a  12220  nnrecl  12614  rpnnen1lem5  13119  nnge2recico01  13648  expnlbnd  14387  cnsubrg  21745  evth  25292  ncvs1  25490  reeff1o  26786  rtprmirr  27100  isosctrlem2  27159  chordthmlem2  27173  cxplim  27311  nv1  31289  nmblolbii  31413  norm1  31863  norm1exi  31864  nmbdoplbi  32638  nmcoplbi  32642  nmbdfnlbi  32663  nmcfnlbi  32666  branmfn  32719  strlem1  32864  constrdircl  34450  constrreinvcl  34457  dya2icoseg  34962  logdivsqrle  35332  readvrec2  43552  readvrec  43553  irrapxlem2  43970  irrapxlem5  43973  pell1234qrreccl  44001  pell14qrdich  44016  radcnvrat  45438  hashnzfzclim  45446  reclt0  46541  ltdiv23neg  46544  sumnnodd  46781  ioodvbdlimc1lem2  47081  ioodvbdlimc2lem  47083  stoweidlem7  47156  stoweidlem11  47160  stoweidlem14  47163  stoweidlem25  47174  stoweidlem36  47185  stoweidlem42  47191  stirlinglem10  47232  stirlinglem11  47233  stirlinglem12  47234  fourierdlem40  47296  fourierdlem78  47333  pimrecltpos  47857  pimrecltneg  47873  eenglngeehlnmlem1  49989