Theorem angpieqvdlem 26333

Description: Equivalence used in the proof of angpieqvd 26336. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
angpieqvdlem.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.AneB	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
angpieqvdlem.AneC	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
angpieqvdlem	⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem angpieqvdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angpieqvdlem.C	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		angpieqvdlem.B	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		angpieqvdlem.A	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4, 2	subcld 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
6		angpieqvdlem.AneB	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	4, 2, 6	subne0d 11580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
8	3, 5, 7	divcld 11990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
9	8	negcld 11558	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
10		1cnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11		angpieqvdlem.AneC	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
12	11	necomd 2997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
13	1, 4, 2, 12	subneintr2d 11617	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ (𝐴 − 𝐵))
14	3, 5, 7, 13	divne1d 12001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ 1)
15	8, 10, 14	negned 11568	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ -1)
16	9, 15	xov1plusxeqvd 13475	. 2 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
17	3, 5, 7	divnegd 12003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))
18	1, 2	negsubdi2d 11587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
19	18	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
21	5, 7	dividd 11988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = 1)
22	21	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
23	5, 3, 5, 7	divsubdird 12029	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
24	10, 8	negsubd 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
25	22, 23, 24	3eqtr4rd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)))
26	4, 1, 2	nnncan2d 11606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐶))
27	26	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
28	25, 27	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
29	20, 28	oveq12d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) = (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))))
30	2, 1	subcld 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
31	4, 1	subcld 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
32	4, 1, 11	subne0d 11580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
33	30, 31, 5, 32, 7	divcan7d 12018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)))
34	2, 1, 4, 1, 11	div2subd 12040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)))
35	29, 33, 34	3eqtrrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))))
36	35	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
37	16, 36	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   − cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  ℝ⁺crp 12974  (,)cioo 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-rp 12975  df-ioo 13328

This theorem is referenced by:  angpieqvd  26336