Theorem angpieqvdlem 25883

Description: Equivalence used in the proof of angpieqvd 25886. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
angpieqvdlem.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.AneB	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
angpieqvdlem.AneC	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
angpieqvdlem	⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem angpieqvdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angpieqvdlem.C	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		angpieqvdlem.B	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		angpieqvdlem.A	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4, 2	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
6		angpieqvdlem.AneB	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	4, 2, 6	subne0d 11271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
8	3, 5, 7	divcld 11681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
9	8	negcld 11249	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
10		1cnd 10901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11		angpieqvdlem.AneC	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
12	11	necomd 2998	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
13	1, 4, 2, 12	subneintr2d 11308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ (𝐴 − 𝐵))
14	3, 5, 7, 13	divne1d 11692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ 1)
15	8, 10, 14	negned 11259	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ -1)
16	9, 15	xov1plusxeqvd 13159	. 2 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
17	3, 5, 7	divnegd 11694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))
18	1, 2	negsubdi2d 11278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
19	18	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
21	5, 7	dividd 11679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = 1)
22	21	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
23	5, 3, 5, 7	divsubdird 11720	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
24	10, 8	negsubd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
25	22, 23, 24	3eqtr4rd 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)))
26	4, 1, 2	nnncan2d 11297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐶))
27	26	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
28	25, 27	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
29	20, 28	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) = (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))))
30	2, 1	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
31	4, 1	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
32	4, 1, 11	subne0d 11271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
33	30, 31, 5, 32, 7	divcan7d 11709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)))
34	2, 1, 4, 1, 11	div2subd 11731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)))
35	29, 33, 34	3eqtrrd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))))
36	35	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
37	16, 36	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-rp 12660  df-ioo 13012

This theorem is referenced by:  angpieqvd  25886