Theorem angpieqvdlem 26811

Description: Equivalence used in the proof of angpieqvd 26814. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
angpieqvdlem.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.AneB	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
angpieqvdlem.AneC	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
angpieqvdlem	⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem angpieqvdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angpieqvdlem.C	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		angpieqvdlem.B	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		angpieqvdlem.A	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4, 2	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
6		angpieqvdlem.AneB	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	4, 2, 6	subne0d 11506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
8	3, 5, 7	divcld 11923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
9	8	negcld 11484	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
10		1cnd 11131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11		angpieqvdlem.AneC	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
12	11	necomd 2989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
13	1, 4, 2, 12	subneintr2d 11543	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ (𝐴 − 𝐵))
14	3, 5, 7, 13	divne1d 11934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ 1)
15	8, 10, 14	negned 11494	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ -1)
16	9, 15	xov1plusxeqvd 13443	. 2 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
17	3, 5, 7	divnegd 11936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))
18	1, 2	negsubdi2d 11513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
19	18	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
21	5, 7	dividd 11921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = 1)
22	21	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
23	5, 3, 5, 7	divsubdird 11962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
24	10, 8	negsubd 11503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
25	22, 23, 24	3eqtr4rd 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)))
26	4, 1, 2	nnncan2d 11532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐶))
27	26	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
28	25, 27	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
29	20, 28	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) = (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))))
30	2, 1	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
31	4, 1	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
32	4, 1, 11	subne0d 11506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
33	30, 31, 5, 32, 7	divcan7d 11951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)))
34	2, 1, 4, 1, 11	div2subd 11973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)))
35	29, 33, 34	3eqtrrd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))))
36	35	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
37	16, 36	bitr4d 283	1 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   − cmin 11369  -cneg 11370   / cdiv 11799  ℝ⁺crp 12934  (,)cioo 13290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-rp 12935  df-ioo 13294

This theorem is referenced by:  angpieqvd  26814