MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angpieqvdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem angpieqvdlem 26569
Description: Equivalence used in the proof of angpieqvd 26572. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
angpieqvdlem.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.C (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.AneB (𝜑𝐴𝐵)
angpieqvdlem.AneC (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
angpieqvdlem (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem angpieqvdlem
StepHypRef Expression
1 angpieqvdlem.C . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 angpieqvdlem.B . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31, 2subcld 11575 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
4 angpieqvdlem.A . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
54, 2subcld 11575 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
6 angpieqvdlem.AneB . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
74, 2, 6subne0d 11584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)
83, 5, 7divcld 11994 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
98negcld 11562 . . 3 (𝜑 → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
10 1cnd 11213 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11 angpieqvdlem.AneC . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐶)
1211necomd 2994 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
131, 4, 2, 12subneintr2d 11621 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ (𝐴𝐵))
143, 5, 7, 13divne1d 12005 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ≠ 1)
158, 10, 14negned 11572 . . 3 (𝜑 → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ≠ -1)
169, 15xov1plusxeqvd 13479 . 2 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) / (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
173, 5, 7divnegd 12007 . . . . . 6 (𝜑 → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) = (-(𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))
181, 2negsubdi2d 11591 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐶𝐵) = (𝐵𝐶))
1918oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐶) / (𝐴𝐵)))
2017, 19eqtrd 2770 . . . . 5 (𝜑 → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐶) / (𝐴𝐵)))
215, 7dividd 11992 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / (𝐴𝐵)) = 1)
2221oveq1d 7426 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / (𝐴𝐵)) − ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))) = (1 − ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))))
235, 3, 5, 7divsubdird 12033 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵) − (𝐶𝐵)) / (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) / (𝐴𝐵)) − ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))))
2410, 8negsubd 11581 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))) = (1 − ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))))
2522, 23, 243eqtr4rd 2781 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))) = (((𝐴𝐵) − (𝐶𝐵)) / (𝐴𝐵)))
264, 1, 2nnncan2d 11610 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐵) − (𝐶𝐵)) = (𝐴𝐶))
2726oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐵) − (𝐶𝐵)) / (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐶) / (𝐴𝐵)))
2825, 27eqtrd 2770 . . . . 5 (𝜑 → (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))) = ((𝐴𝐶) / (𝐴𝐵)))
2920, 28oveq12d 7429 . . . 4 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) / (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))) = (((𝐵𝐶) / (𝐴𝐵)) / ((𝐴𝐶) / (𝐴𝐵))))
302, 1subcld 11575 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
314, 1subcld 11575 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
324, 1, 11subne0d 11584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐶) ≠ 0)
3330, 31, 5, 32, 7divcan7d 12022 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐶) / (𝐴𝐵)) / ((𝐴𝐶) / (𝐴𝐵))) = ((𝐵𝐶) / (𝐴𝐶)))
342, 1, 4, 1, 11div2subd 12044 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐶) / (𝐴𝐶)) = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)))
3529, 33, 343eqtrrd 2775 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) = (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) / (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))))
3635eleq1d 2816 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1) ↔ (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) / (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
3716, 36bitr4d 281 1 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2104  wne 2938  (class class class)co 7411  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  +crp 12978  (,)cioo 13328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-rp 12979  df-ioo 13332
This theorem is referenced by:  angpieqvd  26572
  Copyright terms: Public domain W3C validator