Theorem angpieqvdlem 26809

Description: Equivalence used in the proof of angpieqvd 26812. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
angpieqvdlem.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.AneB	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
angpieqvdlem.AneC	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
angpieqvdlem	⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem angpieqvdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angpieqvdlem.C	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		angpieqvdlem.B	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		angpieqvdlem.A	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4, 2	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
6		angpieqvdlem.AneB	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	4, 2, 6	subne0d 11509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
8	3, 5, 7	divcld 11926	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
9	8	negcld 11487	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
10		1cnd 11134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11		angpieqvdlem.AneC	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
12	11	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
13	1, 4, 2, 12	subneintr2d 11546	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ (𝐴 − 𝐵))
14	3, 5, 7, 13	divne1d 11937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ 1)
15	8, 10, 14	negned 11497	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ -1)
16	9, 15	xov1plusxeqvd 13446	. 2 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
17	3, 5, 7	divnegd 11939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))
18	1, 2	negsubdi2d 11516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
19	18	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
21	5, 7	dividd 11924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = 1)
22	21	oveq1d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
23	5, 3, 5, 7	divsubdird 11965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
24	10, 8	negsubd 11506	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
25	22, 23, 24	3eqtr4rd 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)))
26	4, 1, 2	nnncan2d 11535	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐶))
27	26	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
28	25, 27	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
29	20, 28	oveq12d 7380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) = (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))))
30	2, 1	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
31	4, 1	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
32	4, 1, 11	subne0d 11509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
33	30, 31, 5, 32, 7	divcan7d 11954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)))
34	2, 1, 4, 1, 11	div2subd 11976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)))
35	29, 33, 34	3eqtrrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))))
36	35	eleq1d 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
37	16, 36	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   − cmin 11372  -cneg 11373   / cdiv 11802  ℝ⁺crp 12937  (,)cioo 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-rp 12938  df-ioo 13297

This theorem is referenced by:  angpieqvd  26812