MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div2sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div2sub 11988
Description: Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
div2sub (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)) = ((𝐵𝐴) / (𝐷𝐶)))

Proof of Theorem div2sub
StepHypRef Expression
1 subcl 11408 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2 subcl 11408 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
323adant3 1133 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐷) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
4 subeq0 11435 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷) = 0 ↔ 𝐶 = 𝐷))
54necon3bid 2985 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷) ≠ 0 ↔ 𝐶𝐷))
65biimp3ar 1471 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐷) → (𝐶𝐷) ≠ 0)
73, 6jca 513 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ≠ 0))
8 div2neg 11886 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ≠ 0) → (-(𝐴𝐵) / -(𝐶𝐷)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)))
983expb 1121 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ≠ 0)) → (-(𝐴𝐵) / -(𝐶𝐷)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)))
101, 7, 9syl2an 597 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐷)) → (-(𝐴𝐵) / -(𝐶𝐷)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)))
11 negsubdi2 11468 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
12 negsubdi2 11468 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → -(𝐶𝐷) = (𝐷𝐶))
13123adant3 1133 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐷) → -(𝐶𝐷) = (𝐷𝐶))
1411, 13oveqan12d 7380 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐷)) → (-(𝐴𝐵) / -(𝐶𝐷)) = ((𝐵𝐴) / (𝐷𝐶)))
1510, 14eqtr3d 2775 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)) = ((𝐵𝐴) / (𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  (class class class)co 7361  cc 11057  0cc0 11059  cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  div2subd  11989
  Copyright terms: Public domain W3C validator