Theorem bj-bary1 38424

Description: Barycentric coordinates in one dimension (complex line). In the statement, 𝑋 is the barycenter of the two points 𝐴, 𝐵 with respective normalized coefficients 𝑆, 𝑇. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
bj-bary1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Proof of Theorem bj-bary1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝐴) ∈ ℂ)
4		bj-bary1.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
5		bj-bary1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
7	3, 6	addcomd 11536	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)))
8	7	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
9	8	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) → 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
10	1, 4	addcomd 11536	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑆))
11	10	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 ↔ (𝑇 + 𝑆) = 1))
12	11	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (𝑇 + 𝑆) = 1))
13		bj-bary1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14		bj-bary1.neq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	14	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
16	5, 2, 13, 15, 4, 1	bj-bary1lem1 38423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)) ∧ (𝑇 + 𝑆) = 1) → 𝑆 = ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
17	9, 12, 16	syl2and 620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
18	13, 5, 2, 5, 14	div2subd 12167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)))
19	18	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴))))
20	17, 19	sylibd 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴))))
21	2, 5, 13, 14, 1, 4	bj-bary1lem1 38423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
22	20, 21	jcad 522	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))
23	2, 5, 13, 14	bj-bary1lem 38422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
24		oveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) → (𝑆 · 𝐴) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴))
25		oveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) → (𝑇 · 𝐵) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))
26	24, 25	oveqan12d 7459	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))))
28		eqtr3 2785	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
29	23, 27, 28	syl6an 697	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))))
30		oveq12 7449	. . . 4 ⊢ ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
31	5, 13	subcld 11693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
32	13, 2	subcld 11693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
33	5, 2	subcld 11693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
34	5, 2, 15	subne0d 11703	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
35	31, 32, 33, 34	divdird 12155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) + (𝑋 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
36	5, 13, 2	npncand 11717	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) + (𝑋 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
37	33, 34, 36	diveq1bd 12165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) + (𝑋 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = 1)
38	35, 37	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) = 1)
39	38	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) ↔ (𝑆 + 𝑇) = 1))
40	30, 39	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = 1))
41	29, 40	jcad 522	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1)))
42	22, 41	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   − cmin 11565   / cdiv 11997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998

This theorem is used by: (None)