Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1 37278
Description: Barycentric coordinates in one dimension (complex line). In the statement, 𝑋 is the barycenter of the two points 𝐴, 𝐵 with respective normalized coefficients 𝑆, 𝑇. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
bj-bary1.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))

Proof of Theorem bj-bary1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 11310 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · 𝐴) ∈ ℂ)
4 bj-bary1.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5 bj-bary1.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
64, 5mulcld 11310 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
73, 6addcomd 11492 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)))
87eqeq2d 2751 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
98biimpd 229 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) → 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
101, 4addcomd 11492 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑆))
1110eqeq1d 2742 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 ↔ (𝑇 + 𝑆) = 1))
1211biimpd 229 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (𝑇 + 𝑆) = 1))
13 bj-bary1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
14 bj-bary1.neq . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1514necomd 3002 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
165, 2, 13, 15, 4, 1bj-bary1lem1 37277 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)) ∧ (𝑇 + 𝑆) = 1) → 𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵))))
179, 12, 16syl2and 607 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵))))
1813, 5, 2, 5, 14div2subd 12120 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)))
1918eqeq2d 2751 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵)) ↔ 𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴))))
2017, 19sylibd 239 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴))))
212, 5, 13, 14, 1, 4bj-bary1lem1 37277 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
2220, 21jcad 512 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))
232, 5, 13, 14bj-bary1lem 37276 . . . 4 (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
24 oveq1 7455 . . . . . 6 (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) → (𝑆 · 𝐴) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴))
25 oveq1 7455 . . . . . 6 (𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) → (𝑇 · 𝐵) = (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))
2624, 25oveqan12d 7467 . . . . 5 ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))))
28 eqtr3 2766 . . . 4 ((𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
2923, 27, 28syl6an 683 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))))
30 oveq12 7457 . . . 4 ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
315, 13subcld 11647 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
3213, 2subcld 11647 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
335, 2subcld 11647 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
345, 2, 15subne0d 11656 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
3531, 32, 33, 34divdird 12108 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
365, 13, 2npncand 11671 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) = (𝐵𝐴))
3733, 34, 36diveq1bd 12118 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) / (𝐵𝐴)) = 1)
3835, 37eqtr3d 2782 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) = 1)
3938eqeq2d 2751 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) ↔ (𝑆 + 𝑇) = 1))
4030, 39imbitrid 244 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = 1))
4129, 40jcad 512 . 2 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1)))
4222, 41impbid 212 1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  (class class class)co 7448  cc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  cmin 11520   / cdiv 11947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator