Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1 33528
Description: Barycentric coordinates in one dimension. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
bj-bary1.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))

Proof of Theorem bj-bary1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 10313 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · 𝐴) ∈ ℂ)
4 bj-bary1.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5 bj-bary1.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
64, 5mulcld 10313 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
73, 6addcomd 10491 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)))
87eqeq2d 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
98biimpd 220 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) → 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
101, 4addcomd 10491 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑆))
1110eqeq1d 2766 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 ↔ (𝑇 + 𝑆) = 1))
1211biimpd 220 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (𝑇 + 𝑆) = 1))
13 bj-bary1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
14 bj-bary1.neq . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1514necomd 2991 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
165, 2, 13, 15, 4, 1bj-bary1lem1 33527 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)) ∧ (𝑇 + 𝑆) = 1) → 𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵))))
179, 12, 16syl2and 601 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵))))
1813, 5, 2, 5, 14div2subd 11104 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)))
1918eqeq2d 2774 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵)) ↔ 𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴))))
2017, 19sylibd 230 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴))))
212, 5, 13, 14, 1, 4bj-bary1lem1 33527 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
2220, 21jcad 508 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))
232, 5, 13, 14bj-bary1lem 33526 . . . 4 (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
24 oveq1 6848 . . . . . 6 (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) → (𝑆 · 𝐴) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴))
25 oveq1 6848 . . . . . 6 (𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) → (𝑇 · 𝐵) = (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))
2624, 25oveqan12d 6860 . . . . 5 ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))))
28 eqtr3 2785 . . . 4 ((𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
2923, 27, 28syl6an 674 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))))
30 oveq12 6850 . . . 4 ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
315, 13subcld 10645 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
3213, 2subcld 10645 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
335, 2subcld 10645 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
345, 2, 15subne0d 10654 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
3531, 32, 33, 34divdird 11092 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
365, 13, 2npncand 10669 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) = (𝐵𝐴))
3733, 34, 36diveq1bd 11102 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) / (𝐵𝐴)) = 1)
3835, 37eqtr3d 2800 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) = 1)
3938eqeq2d 2774 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) ↔ (𝑆 + 𝑇) = 1))
4030, 39syl5ib 235 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = 1))
4129, 40jcad 508 . 2 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1)))
4222, 41impbid 203 1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  (class class class)co 6841  cc 10186  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  cmin 10519   / cdiv 10937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-po 5197  df-so 5198  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator