Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1 36193
Description: Barycentric coordinates in one dimension (complex line). In the statement, ๐‘‹ is the barycenter of the two points ๐ด, ๐ต with respective normalized coefficients ๐‘†, ๐‘‡. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
bj-bary1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
bj-bary1.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
bj-bary1.neq (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
bj-bary1.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
bj-bary1.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†” (๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))))

Proof of Theorem bj-bary1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2mulcld 11234 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 bj-bary1.t . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
5 bj-bary1.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
64, 5mulcld 11234 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
73, 6addcomd 11416 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐‘† ยท ๐ด)))
87eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โ†” ๐‘‹ = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐‘† ยท ๐ด))))
98biimpd 228 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐‘† ยท ๐ด))))
101, 4addcomd 11416 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† + ๐‘‡) = (๐‘‡ + ๐‘†))
1110eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† + ๐‘‡) = 1 โ†” (๐‘‡ + ๐‘†) = 1))
1211biimpd 228 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† + ๐‘‡) = 1 โ†’ (๐‘‡ + ๐‘†) = 1))
13 bj-bary1.x . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
14 bj-bary1.neq . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
1514necomd 2997 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ด)
165, 2, 13, 15, 4, 1bj-bary1lem1 36192 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐‘† ยท ๐ด)) โˆง (๐‘‡ + ๐‘†) = 1) โ†’ ๐‘† = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต))))
179, 12, 16syl2and 609 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†’ ๐‘† = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต))))
1813, 5, 2, 5, 14div2subd 12040 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))
1918eqeq2d 2744 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†” ๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
2017, 19sylibd 238 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†’ ๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
212, 5, 13, 14, 1, 4bj-bary1lem1 36192 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†’ ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
2220, 21jcad 514 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†’ (๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
232, 5, 13, 14bj-bary1lem 36191 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต)))
24 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ (๐‘† ยท ๐ด) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด))
25 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ต) = (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต))
2624, 25oveqan12d 7428 . . . . 5 ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต)))
2726a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต))))
28 eqtr3 2759 . . . 4 ((๐‘‹ = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต)) โˆง ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต))) โ†’ ๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)))
2923, 27, 28syl6an 683 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต))))
30 oveq12 7418 . . . 4 ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘† + ๐‘‡) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
315, 13subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
3213, 2subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
335, 2subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
345, 2, 15subne0d 11580 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
3531, 32, 33, 34divdird 12028 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) + (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
365, 13, 2npncand 11595 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) + (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
3733, 34, 36diveq1bd 12038 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) + (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) = 1)
3835, 37eqtr3d 2775 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) = 1)
3938eqeq2d 2744 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† + ๐‘‡) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†” (๐‘† + ๐‘‡) = 1))
4030, 39imbitrid 243 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘† + ๐‘‡) = 1))
4129, 40jcad 514 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1)))
4222, 41impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†” (๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator