Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1 37313
Description: Barycentric coordinates in one dimension (complex line). In the statement, 𝑋 is the barycenter of the two points 𝐴, 𝐵 with respective normalized coefficients 𝑆, 𝑇. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
bj-bary1.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))

Proof of Theorem bj-bary1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · 𝐴) ∈ ℂ)
4 bj-bary1.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5 bj-bary1.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
64, 5mulcld 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
73, 6addcomd 11463 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)))
87eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
98biimpd 229 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) → 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
101, 4addcomd 11463 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑆))
1110eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 ↔ (𝑇 + 𝑆) = 1))
1211biimpd 229 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (𝑇 + 𝑆) = 1))
13 bj-bary1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
14 bj-bary1.neq . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1514necomd 2996 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
165, 2, 13, 15, 4, 1bj-bary1lem1 37312 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)) ∧ (𝑇 + 𝑆) = 1) → 𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵))))
179, 12, 16syl2and 608 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵))))
1813, 5, 2, 5, 14div2subd 12093 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)))
1918eqeq2d 2748 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵)) ↔ 𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴))))
2017, 19sylibd 239 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴))))
212, 5, 13, 14, 1, 4bj-bary1lem1 37312 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
2220, 21jcad 512 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))
232, 5, 13, 14bj-bary1lem 37311 . . . 4 (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
24 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) → (𝑆 · 𝐴) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴))
25 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) → (𝑇 · 𝐵) = (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))
2624, 25oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))))
28 eqtr3 2763 . . . 4 ((𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
2923, 27, 28syl6an 684 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))))
30 oveq12 7440 . . . 4 ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
315, 13subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
3213, 2subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
335, 2subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
345, 2, 15subne0d 11629 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
3531, 32, 33, 34divdird 12081 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
365, 13, 2npncand 11644 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) = (𝐵𝐴))
3733, 34, 36diveq1bd 12091 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) / (𝐵𝐴)) = 1)
3835, 37eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) = 1)
3938eqeq2d 2748 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) ↔ (𝑆 + 𝑇) = 1))
4030, 39imbitrid 244 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = 1))
4129, 40jcad 512 . 2 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1)))
4222, 41impbid 212 1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator