Theorem bj-bary1 37307

Description: Barycentric coordinates in one dimension (complex line). In the statement, 𝑋 is the barycenter of the two points 𝐴, 𝐵 with respective normalized coefficients 𝑆, 𝑇. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
bj-bary1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Proof of Theorem bj-bary1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝐴) ∈ ℂ)
4		bj-bary1.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
5		bj-bary1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
7	3, 6	addcomd 11383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)))
8	7	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
9	8	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) → 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
10	1, 4	addcomd 11383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑆))
11	10	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 ↔ (𝑇 + 𝑆) = 1))
12	11	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (𝑇 + 𝑆) = 1))
13		bj-bary1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14		bj-bary1.neq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	14	necomd 2981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
16	5, 2, 13, 15, 4, 1	bj-bary1lem1 37306	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)) ∧ (𝑇 + 𝑆) = 1) → 𝑆 = ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
17	9, 12, 16	syl2and 608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
18	13, 5, 2, 5, 14	div2subd 12015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)))
19	18	eqeq2d 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴))))
20	17, 19	sylibd 239	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴))))
21	2, 5, 13, 14, 1, 4	bj-bary1lem1 37306	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
22	20, 21	jcad 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))
23	2, 5, 13, 14	bj-bary1lem 37305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
24		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) → (𝑆 · 𝐴) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴))
25		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) → (𝑇 · 𝐵) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))
26	24, 25	oveqan12d 7409	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))))
28		eqtr3 2752	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
29	23, 27, 28	syl6an 684	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))))
30		oveq12 7399	. . . 4 ⊢ ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
31	5, 13	subcld 11540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
32	13, 2	subcld 11540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
33	5, 2	subcld 11540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
34	5, 2, 15	subne0d 11549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
35	31, 32, 33, 34	divdird 12003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) + (𝑋 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
36	5, 13, 2	npncand 11564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) + (𝑋 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
37	33, 34, 36	diveq1bd 12013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) + (𝑋 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = 1)
38	35, 37	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) = 1)
39	38	eqeq2d 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) ↔ (𝑆 + 𝑇) = 1))
40	30, 39	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = 1))
41	29, 40	jcad 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1)))
42	22, 41	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by: (None)