Theorem bj-bary1 35410

Description: Barycentric coordinates in one dimension (complex line). In the statement, 𝑋 is the barycenter of the two points 𝐴, 𝐵 with respective normalized coefficients 𝑆, 𝑇. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
bj-bary1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Proof of Theorem bj-bary1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝐴) ∈ ℂ)
4		bj-bary1.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
5		bj-bary1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
7	3, 6	addcomd 11107	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)))
8	7	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
9	8	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) → 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
10	1, 4	addcomd 11107	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑆))
11	10	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 ↔ (𝑇 + 𝑆) = 1))
12	11	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (𝑇 + 𝑆) = 1))
13		bj-bary1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14		bj-bary1.neq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	14	necomd 2998	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
16	5, 2, 13, 15, 4, 1	bj-bary1lem1 35409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)) ∧ (𝑇 + 𝑆) = 1) → 𝑆 = ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
17	9, 12, 16	syl2and 607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
18	13, 5, 2, 5, 14	div2subd 11731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)))
19	18	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ((𝑋 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴))))
20	17, 19	sylibd 238	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴))))
21	2, 5, 13, 14, 1, 4	bj-bary1lem1 35409	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
22	20, 21	jcad 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))
23	2, 5, 13, 14	bj-bary1lem 35408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
24		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) → (𝑆 · 𝐴) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴))
25		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) → (𝑇 · 𝐵) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))
26	24, 25	oveqan12d 7274	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))))
28		eqtr3 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
29	23, 27, 28	syl6an 680	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))))
30		oveq12 7264	. . . 4 ⊢ ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
31	5, 13	subcld 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
32	13, 2	subcld 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
33	5, 2	subcld 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
34	5, 2, 15	subne0d 11271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
35	31, 32, 33, 34	divdird 11719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) + (𝑋 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
36	5, 13, 2	npncand 11286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) + (𝑋 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
37	33, 34, 36	diveq1bd 11729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) + (𝑋 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = 1)
38	35, 37	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) = 1)
39	38	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) + ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) ↔ (𝑆 + 𝑇) = 1))
40	30, 39	syl5ib 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = 1))
41	29, 40	jcad 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1)))
42	22, 41	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by: (None)