Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1 36279
Description: Barycentric coordinates in one dimension (complex line). In the statement, ๐‘‹ is the barycenter of the two points ๐ด, ๐ต with respective normalized coefficients ๐‘†, ๐‘‡. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
bj-bary1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
bj-bary1.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
bj-bary1.neq (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
bj-bary1.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
bj-bary1.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†” (๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))))

Proof of Theorem bj-bary1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2mulcld 11236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 bj-bary1.t . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
5 bj-bary1.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
64, 5mulcld 11236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
73, 6addcomd 11418 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐‘† ยท ๐ด)))
87eqeq2d 2743 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โ†” ๐‘‹ = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐‘† ยท ๐ด))))
98biimpd 228 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐‘† ยท ๐ด))))
101, 4addcomd 11418 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† + ๐‘‡) = (๐‘‡ + ๐‘†))
1110eqeq1d 2734 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† + ๐‘‡) = 1 โ†” (๐‘‡ + ๐‘†) = 1))
1211biimpd 228 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† + ๐‘‡) = 1 โ†’ (๐‘‡ + ๐‘†) = 1))
13 bj-bary1.x . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
14 bj-bary1.neq . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
1514necomd 2996 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ด)
165, 2, 13, 15, 4, 1bj-bary1lem1 36278 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐‘† ยท ๐ด)) โˆง (๐‘‡ + ๐‘†) = 1) โ†’ ๐‘† = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต))))
179, 12, 16syl2and 608 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†’ ๐‘† = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต))))
1813, 5, 2, 5, 14div2subd 12042 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))
1918eqeq2d 2743 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†” ๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
2017, 19sylibd 238 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†’ ๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
212, 5, 13, 14, 1, 4bj-bary1lem1 36278 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†’ ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
2220, 21jcad 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†’ (๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
232, 5, 13, 14bj-bary1lem 36277 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต)))
24 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ (๐‘† ยท ๐ด) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด))
25 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ต) = (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต))
2624, 25oveqan12d 7430 . . . . 5 ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต)))
2726a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต))))
28 eqtr3 2758 . . . 4 ((๐‘‹ = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต)) โˆง ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ต))) โ†’ ๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)))
2923, 27, 28syl6an 682 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต))))
30 oveq12 7420 . . . 4 ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘† + ๐‘‡) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
315, 13subcld 11573 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
3213, 2subcld 11573 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
335, 2subcld 11573 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
345, 2, 15subne0d 11582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
3531, 32, 33, 34divdird 12030 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) + (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))))
365, 13, 2npncand 11597 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) + (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
3733, 34, 36diveq1bd 12040 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) + (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) = 1)
3835, 37eqtr3d 2774 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) = 1)
3938eqeq2d 2743 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† + ๐‘‡) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†” (๐‘† + ๐‘‡) = 1))
4030, 39imbitrid 243 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘† + ๐‘‡) = 1))
4129, 40jcad 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1)))
4222, 41impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((๐‘† ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘† + ๐‘‡) = 1) โ†” (๐‘† = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘‡ = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator