knoppndvlem14 - Mathbox for Asger C. Ipsen

	Mathbox for Asger C. Ipsen		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > knoppndvlem14		Structured version Visualization version GIF version

Theorem knoppndvlem14 36508

Description: Lemma for knoppndv 36517. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 7-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem14.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem14.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem14.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem14.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem14.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem14.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem14.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem14.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem14.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem14	⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖 𝐵,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝑇(𝑥,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛) 𝐽(𝑥) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem14.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem14.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem14.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
5		knoppndvlem14.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem14.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0zd 12637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8		knoppndvlem14.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	peano2zd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10	5, 7, 9	knoppndvlem1 36495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
11	4, 10	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		knoppndvlem14.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
13	12	knoppndvlem3 36497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
14	13	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	1, 2, 11, 14, 5	knoppndvlem5 36499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
16		knoppndvlem14.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
18	5, 7, 8	knoppndvlem1 36495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
19	17, 18	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	1, 2, 19, 14, 5	knoppndvlem5 36499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
21	15, 20	resubcld 11689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
23	22	abscld 15472	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
24	11, 19	resubcld 11689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15472	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
27		fzfid 14011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
28		2re 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
32	29, 31	remulcld 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
33	14	recnd 11287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 15472	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		elfznn0 13657	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
40	27, 39	fsumrecl 15767	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
41	26, 40	remulcld 11289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
42	34, 6	reexpcld 14200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
43		2ne0 12368	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
45	42, 29, 44	redivcld 12093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
46		1red 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	35, 46	resubcld 11689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
48		0red 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
49		0lt1 11783	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
51		knoppndvlem14.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
52	12, 5, 51	knoppndvlem12 36506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
53	52	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
54	48, 46, 47, 50, 53	lttrd 11420	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
55	48, 54	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
56		ltne 11356	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
57	55, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
58	46, 47, 57	redivcld 12093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
59	45, 58	remulcld 11289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
60	1, 2, 19, 11, 12, 6, 5	knoppndvlem11 36505	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
61	4, 17	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
62	29	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
63	31	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
64		nnge1 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
65	5, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
66	48, 46, 31, 50, 65	ltletrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
67	48, 66	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
68		ltne 11356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
70	62, 63, 44, 69	mulne0d 11913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
71	7	znegcld 12722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
72	32, 70, 71	reexpclzd 14285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
73	72, 29, 44	redivcld 12093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
75	9	zcnd 12721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
76	8	zcnd 12721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	subdid 11717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
78	77	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)))
79		1cnd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
80	76, 79	pncan2d 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑀) = 1)
81	80	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1))
82	74	mulridd 11276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
83	78, 81, 82	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
84	61, 83	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
85	84	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
86	72	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
87	86, 62, 44	absdivd 15491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)))
88	62, 63	mulcld 11279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	88, 70, 71	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
90		absexpz 15341	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ) → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
92	62, 63	absmuld 15490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93		0le2 12366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
94	28, 93	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
95		absid 15332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘2) = 2
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘2) = 2)
98	48, 31, 66	ltled 11407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
99	31, 98	absidd 15458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
100	97, 99	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
101	92, 100	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
102	101	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
103	91, 102	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
104	103, 97	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
105	87, 104	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
106	85, 105	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
107	35	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℂ)
108	52	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
109	107, 108, 6	geoser 15900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))))
110	107, 6	expcld 14183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℂ)
111	108	necomd 2994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
112	79, 110, 79, 107, 111	div2subd 12091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
113	109, 112	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
114	106, 113	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
115	113, 40	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
116	35, 6	reexpcld 14200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
117	116, 47, 57	redivcld 12093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
118		2rp 13037	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
119	118	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
120	119	rpgt0d 13078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
121	29, 31, 120, 66	mulgt0d 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
122	32, 71, 121	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
123		expgt0 14133	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
124	122, 123	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
125	48, 72, 124	ltled 11407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
126	72, 119, 125	divge0d 13115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
127	116, 46	resubcld 11689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ∈ ℝ)
128	47, 54	elrpd 13072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ⁺)
129	116	lem1d 12199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
130	127, 116, 128, 129	lediv1dd 13133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
131	115, 117, 73, 126, 130	lemul2ad 12206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
132	47	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℂ)
133	110, 132, 57	divrecd 12044	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
134	133	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
135	58	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℂ)
136	74, 110, 135	mulassd 11282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
137	136	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
138	86, 110, 62, 44	div23d 12078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)))
139	138	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2))
140	88, 70	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
141	34	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
142	12, 5, 51	knoppndvlem13 36507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
143	33, 142	absne0d 15483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
144	141, 143	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
145	140, 144, 7	3jca 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
146		mulexpz 14140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
148	147	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
149	88, 6	expcld 14183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
150	42	recnd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
151	86, 149, 150	mulassd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
152	151	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
153	140, 71, 7	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)))
154		expaddz 14144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
156	155	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)))
157	71	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
158	6	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
159	157, 158	addcomd 11461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = (𝐽 + -𝐽))
160	158	negidd 11608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + -𝐽) = 0)
161	159, 160	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = 0)
162	161	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑0))
163	88	exp0d 14177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
164	156, 162, 163	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = 1)
165	164	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
166	150	mullidd 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
167	165, 166	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
168	148, 152, 167	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
169	168	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
170	139, 169	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
171	170	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
172	134, 137, 171	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
173	131, 172	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
174	114, 173	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
175	23, 41, 59, 60, 174	letrd 11416	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ‘cfv 6563 (class class class)co 7431 ℂcc 11151 ℝcr 11152 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 < clt 11293 ≤ cle 11294 − cmin 11490 -cneg 11491 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ℝ⁺crp 13032 (,)cioo 13384 ...cfz 13544 ⌊cfl 13827 ↑cexp 14099 abscabs 15270 Σcsu 15719

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-rep 5285 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-inf2 9679 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-op 4638 df-uni 4913 df-int 4952 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-se 5642 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-isom 6572 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8505 df-er 8744 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-sup 9480 df-inf 9481 df-oi 9548 df-card 9977 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-n0 12525 df-z 12612 df-uz 12877 df-rp 13033 df-ioo 13388 df-ico 13390 df-fz 13545 df-fzo 13692 df-fl 13829 df-seq 14040 df-exp 14100 df-hash 14367 df-cj 15135 df-re 15136 df-im 15137 df-sqrt 15271 df-abs 15272 df-clim 15521 df-sum 15720

This theorem is referenced by: knoppndvlem15 36509

W3C validator