knoppndvlem14 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem14 37114

Description: Lemma for knoppndv 37123. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 7-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem14.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem14.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem14.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem14.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem14.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem14.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem14.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem14.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem14.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem14	⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖 𝐵,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝑇(𝑥,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛) 𝐽(𝑥) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem14.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem14.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem14.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
5		knoppndvlem14.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem14.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0zd 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8		knoppndvlem14.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	peano2zd 12698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10	5, 7, 9	knoppndvlem1 37101	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
11	4, 10	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		knoppndvlem14.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
13	12	knoppndvlem3 37103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
14	13	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	1, 2, 11, 14, 5	knoppndvlem5 37105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
16		knoppndvlem14.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
18	5, 7, 8	knoppndvlem1 37101	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
19	17, 18	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	1, 2, 19, 14, 5	knoppndvlem5 37105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
21	15, 20	resubcld 11637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
23	22	abscld 15486	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
24	11, 19	resubcld 11637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
27		fzfid 14005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
28		2re 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 12235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	5, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
32	29, 31	remulcld 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
33	14	recnd 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 15486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		elfznn0 13644	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
40	27, 39	fsumrecl 15781	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
41	26, 40	remulcld 11234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
42	34, 6	reexpcld 14195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
43		2ne0 12342	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
45	42, 29, 44	redivcld 12038	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
46		1red 11204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	35, 46	resubcld 11637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
48		0red 11206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
49		0lt1 11731	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
51		knoppndvlem14.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
52	12, 5, 51	knoppndvlem12 37112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
53	52	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
54	48, 46, 47, 50, 53	lttrd 11366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
55	48, 54	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
56		ltne 11302	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
57	55, 56	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
58	46, 47, 57	redivcld 12038	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
59	45, 58	remulcld 11234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
60	1, 2, 19, 11, 12, 6, 5	knoppndvlem11 37111	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
61	4, 17	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
62	29	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
63	31	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
64		nnge1 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
65	5, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
66	48, 46, 31, 50, 65	ltletrd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
67	48, 66	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
68		ltne 11302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
70	62, 63, 44, 69	mulne0d 11861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
71	7	znegcld 12697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
72	32, 70, 71	reexpclzd 14281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
73	72, 29, 44	redivcld 12038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
75	9	zcnd 12696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
76	8	zcnd 12696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	subdid 11665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
78	77	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)))
79		1cnd 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
80	76, 79	pncan2d 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑀) = 1)
81	80	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1))
82	74	mulridd 11221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
83	78, 81, 82	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
84	61, 83	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
85	84	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
86	72	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
87	86, 62, 44	absdivd 15505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)))
88	62, 63	mulcld 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	88, 70, 71	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
90		absexpz 15352	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ) → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
91	89, 90	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
92	62, 63	absmuld 15504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93		0le2 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
94	28, 93	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
95		absid 15343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘2) = 2
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘2) = 2)
98	48, 31, 66	ltled 11353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
99	31, 98	absidd 15470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
100	97, 99	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
101	92, 100	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
102	101	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
103	91, 102	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
104	103, 97	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
105	87, 104	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
106	85, 105	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
107	35	recnd 11232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℂ)
108	52	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
109	107, 108, 6	geoser 15917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))))
110	107, 6	expcld 14178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℂ)
111	108	necomd 3013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
112	79, 110, 79, 107, 111	div2subd 12036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
113	109, 112	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
114	106, 113	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
115	113, 40	eqeltrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
116	35, 6	reexpcld 14195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
117	116, 47, 57	redivcld 12038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
118		2rp 13016	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
119	118	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
120	119	rpgt0d 13058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
121	29, 31, 120, 66	mulgt0d 11360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
122	32, 71, 121	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
123		expgt0 14127	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
124	122, 123	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
125	48, 72, 124	ltled 11353	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
126	72, 119, 125	divge0d 13095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
127	116, 46	resubcld 11637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ∈ ℝ)
128	47, 54	elrpd 13052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ⁺)
129	116	lem1d 12143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
130	127, 116, 128, 129	lediv1dd 13113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
131	115, 117, 73, 126, 130	lemul2ad 12150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
132	47	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℂ)
133	110, 132, 57	divrecd 11989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
134	133	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
135	58	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℂ)
136	74, 110, 135	mulassd 11227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
137	136	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
138	86, 110, 62, 44	div23d 12023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)))
139	138	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2))
140	88, 70	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
141	34	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
142	12, 5, 51	knoppndvlem13 37113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
143	33, 142	absne0d 15497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
144	141, 143	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
145	140, 144, 7	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
146		mulexpz 14134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
147	145, 146	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
148	147	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
149	88, 6	expcld 14178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
150	42	recnd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
151	86, 149, 150	mulassd 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
152	151	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
153	140, 71, 7	jca32 524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)))
154		expaddz 14138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
155	153, 154	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
156	155	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)))
157	71	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
158	6	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
159	157, 158	addcomd 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = (𝐽 + -𝐽))
160	158	negidd 11554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + -𝐽) = 0)
161	159, 160	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = 0)
162	161	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑0))
163	88	exp0d 14172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
164	156, 162, 163	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = 1)
165	164	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
166	150	mullidd 11222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
167	165, 166	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
168	148, 152, 167	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
169	168	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
170	139, 169	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
171	170	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
172	134, 137, 171	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
173	131, 172	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
174	114, 173	eqbrtrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
175	23, 41, 59, 60, 174	letrd 11362	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 400 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 class class class wbr 5109 ↦ cmpt 5192 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11093 ℝcr 11094 0cc0 11095 1c1 11096 + caddc 11098 · cmul 11100 < clt 11238 ≤ cle 11239 − cmin 11436 -cneg 11437 / cdiv 11866 ℕcn 12228 2c2 12290 ℕ₀cn0 12499 ℤcz 12586 ℝ⁺crp 13011 (,)cioo 13367 ...cfz 13530 ⌊cfl 13819 ↑cexp 14093 abscabs 15281 Σcsu 15733

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-inf2 9606 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172 ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-se 5615 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9398 df-inf 9399 df-oi 9468 df-card 9921 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-div 11867 df-nn 12229 df-2 12298 df-3 12299 df-n0 12500 df-z 12587 df-uz 12858 df-rp 13012 df-ioo 13371 df-ico 13373 df-fz 13531 df-fzo 13679 df-fl 13821 df-seq 14034 df-exp 14094 df-hash 14363 df-cj 15146 df-re 15147 df-im 15148 df-sqrt 15282 df-abs 15283 df-clim 15535 df-sum 15734

This theorem is referenced by: knoppndvlem15 37115

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