knoppndvlem14 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem14 34988

Description: Lemma for knoppndv 34997. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 7-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem14.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem14.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem14.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem14.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem14.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem14.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem14.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem14.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem14.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem14	⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖 𝐵,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝑇(𝑥,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛) 𝐽(𝑥) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem14.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem14.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem14.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
5		knoppndvlem14.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem14.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0zd 12525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8		knoppndvlem14.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	peano2zd 12610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10	5, 7, 9	knoppndvlem1 34975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
11	4, 10	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		knoppndvlem14.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
13	12	knoppndvlem3 34977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
14	13	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	1, 2, 11, 14, 5	knoppndvlem5 34979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
16		knoppndvlem14.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
18	5, 7, 8	knoppndvlem1 34975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
19	17, 18	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	1, 2, 19, 14, 5	knoppndvlem5 34979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
21	15, 20	resubcld 11583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
23	22	abscld 15321	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
24	11, 19	resubcld 11583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
27		fzfid 13878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
28		2re 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 12160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
32	29, 31	remulcld 11185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
33	14	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 15321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		elfznn0 13534	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
40	27, 39	fsumrecl 15619	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
41	26, 40	remulcld 11185	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
42	34, 6	reexpcld 14068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
43		2ne0 12257	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
45	42, 29, 44	redivcld 11983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
46		1red 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	35, 46	resubcld 11583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
48		0red 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
49		0lt1 11677	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
51		knoppndvlem14.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
52	12, 5, 51	knoppndvlem12 34986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
53	52	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
54	48, 46, 47, 50, 53	lttrd 11316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
55	48, 54	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
56		ltne 11252	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
57	55, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
58	46, 47, 57	redivcld 11983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
59	45, 58	remulcld 11185	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
60	1, 2, 19, 11, 12, 6, 5	knoppndvlem11 34985	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
61	4, 17	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
62	29	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
63	31	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
64		nnge1 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
65	5, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
66	48, 46, 31, 50, 65	ltletrd 11315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
67	48, 66	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
68		ltne 11252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
70	62, 63, 44, 69	mulne0d 11807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
71	7	znegcld 12609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
72	32, 70, 71	reexpclzd 14152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
73	72, 29, 44	redivcld 11983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
75	9	zcnd 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
76	8	zcnd 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	subdid 11611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
78	77	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)))
79		1cnd 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
80	76, 79	pncan2d 11514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑀) = 1)
81	80	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1))
82	74	mulid1d 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
83	78, 81, 82	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
84	61, 83	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
85	84	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
86	72	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
87	86, 62, 44	absdivd 15340	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)))
88	62, 63	mulcld 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	88, 70, 71	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
90		absexpz 15190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ) → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
92	62, 63	absmuld 15339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93		0le2 12255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
94	28, 93	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
95		absid 15181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘2) = 2
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘2) = 2)
98	48, 31, 66	ltled 11303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
99	31, 98	absidd 15307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
100	97, 99	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
101	92, 100	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
102	101	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
103	91, 102	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
104	103, 97	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
105	87, 104	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
106	85, 105	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
107	35	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℂ)
108	52	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
109	107, 108, 6	geoser 15752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))))
110	107, 6	expcld 14051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℂ)
111	108	necomd 2999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
112	79, 110, 79, 107, 111	div2subd 11981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
113	109, 112	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
114	106, 113	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
115	113, 40	eqeltrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
116	35, 6	reexpcld 14068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
117	116, 47, 57	redivcld 11983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
118		2rp 12920	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
119	118	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
120	119	rpgt0d 12960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
121	29, 31, 120, 66	mulgt0d 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
122	32, 71, 121	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
123		expgt0 14001	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
124	122, 123	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
125	48, 72, 124	ltled 11303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
126	72, 119, 125	divge0d 12997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
127	116, 46	resubcld 11583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ∈ ℝ)
128	47, 54	elrpd 12954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ⁺)
129	116	lem1d 12088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
130	127, 116, 128, 129	lediv1dd 13015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
131	115, 117, 73, 126, 130	lemul2ad 12095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
132	47	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℂ)
133	110, 132, 57	divrecd 11934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
134	133	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
135	58	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℂ)
136	74, 110, 135	mulassd 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
137	136	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
138	86, 110, 62, 44	div23d 11968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)))
139	138	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2))
140	88, 70	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
141	34	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
142	12, 5, 51	knoppndvlem13 34987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
143	33, 142	absne0d 15332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
144	141, 143	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
145	140, 144, 7	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
146		mulexpz 14008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
148	147	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
149	88, 6	expcld 14051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
150	42	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
151	86, 149, 150	mulassd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
152	151	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
153	140, 71, 7	jca32 516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)))
154		expaddz 14012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
156	155	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)))
157	71	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
158	6	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
159	157, 158	addcomd 11357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = (𝐽 + -𝐽))
160	158	negidd 11502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + -𝐽) = 0)
161	159, 160	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = 0)
162	161	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑0))
163	88	exp0d 14045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
164	156, 162, 163	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = 1)
165	164	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
166	150	mulid2d 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
167	165, 166	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
168	148, 152, 167	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
169	168	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
170	139, 169	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
171	170	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
172	134, 137, 171	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
173	131, 172	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
174	114, 173	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
175	23, 41, 59, 60, 174	letrd 11312	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 -cneg 11386 / cdiv 11812 ℕcn 12153 2c2 12208 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12499 ℝ⁺crp 12915 (,)cioo 13264 ...cfz 13424 ⌊cfl 13695 ↑cexp 13967 abscabs 15119 Σcsu 15570

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-rp 12916 df-ioo 13268 df-ico 13270 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-seq 13907 df-exp 13968 df-hash 14231 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-clim 15370 df-sum 15571

This theorem is referenced by: knoppndvlem15 34989

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