knoppndvlem14 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem14 36559

Description: Lemma for knoppndv 36568. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 7-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem14.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem14.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem14.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem14.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem14.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem14.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem14.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem14.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem14.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem14	⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖 𝐵,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝑇(𝑥,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛) 𝐽(𝑥) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem14.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem14.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem14.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
5		knoppndvlem14.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem14.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0zd 12489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8		knoppndvlem14.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	peano2zd 12575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10	5, 7, 9	knoppndvlem1 36546	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
11	4, 10	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		knoppndvlem14.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
13	12	knoppndvlem3 36548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
14	13	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	1, 2, 11, 14, 5	knoppndvlem5 36550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
16		knoppndvlem14.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
18	5, 7, 8	knoppndvlem1 36546	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
19	17, 18	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	1, 2, 19, 14, 5	knoppndvlem5 36550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
21	15, 20	resubcld 11540	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
23	22	abscld 15341	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
24	11, 19	resubcld 11540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15341	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
27		fzfid 13875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
28		2re 12194	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 12127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
32	29, 31	remulcld 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
33	14	recnd 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 15341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		elfznn0 13515	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14065	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
40	27, 39	fsumrecl 15636	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
41	26, 40	remulcld 11137	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
42	34, 6	reexpcld 14065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
43		2ne0 12224	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
45	42, 29, 44	redivcld 11944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
46		1red 11108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	35, 46	resubcld 11540	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
48		0red 11110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
49		0lt1 11634	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
51		knoppndvlem14.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
52	12, 5, 51	knoppndvlem12 36557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
53	52	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
54	48, 46, 47, 50, 53	lttrd 11269	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
55	48, 54	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
56		ltne 11205	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
57	55, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
58	46, 47, 57	redivcld 11944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
59	45, 58	remulcld 11137	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
60	1, 2, 19, 11, 12, 6, 5	knoppndvlem11 36556	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
61	4, 17	oveq12d 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
62	29	recnd 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
63	31	recnd 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
64		nnge1 12148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
65	5, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
66	48, 46, 31, 50, 65	ltletrd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
67	48, 66	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
68		ltne 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
70	62, 63, 44, 69	mulne0d 11764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
71	7	znegcld 12574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
72	32, 70, 71	reexpclzd 14151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
73	72, 29, 44	redivcld 11944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
75	9	zcnd 12573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
76	8	zcnd 12573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	subdid 11568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
78	77	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)))
79		1cnd 11102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
80	76, 79	pncan2d 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑀) = 1)
81	80	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1))
82	74	mulridd 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
83	78, 81, 82	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
84	61, 83	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
85	84	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
86	72	recnd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
87	86, 62, 44	absdivd 15360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)))
88	62, 63	mulcld 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	88, 70, 71	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
90		absexpz 15207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ) → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
92	62, 63	absmuld 15359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93		0le2 12222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
94	28, 93	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
95		absid 15198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘2) = 2
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘2) = 2)
98	48, 31, 66	ltled 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
99	31, 98	absidd 15325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
100	97, 99	oveq12d 7359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
101	92, 100	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
102	101	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
103	91, 102	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
104	103, 97	oveq12d 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
105	87, 104	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
106	85, 105	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
107	35	recnd 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℂ)
108	52	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
109	107, 108, 6	geoser 15769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))))
110	107, 6	expcld 14048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℂ)
111	108	necomd 2983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
112	79, 110, 79, 107, 111	div2subd 11942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
113	109, 112	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
114	106, 113	oveq12d 7359	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
115	113, 40	eqeltrrd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
116	35, 6	reexpcld 14065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
117	116, 47, 57	redivcld 11944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
118		2rp 12890	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
119	118	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
120	119	rpgt0d 12932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
121	29, 31, 120, 66	mulgt0d 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
122	32, 71, 121	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
123		expgt0 13997	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
124	122, 123	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
125	48, 72, 124	ltled 11256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
126	72, 119, 125	divge0d 12969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
127	116, 46	resubcld 11540	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ∈ ℝ)
128	47, 54	elrpd 12926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ⁺)
129	116	lem1d 12050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
130	127, 116, 128, 129	lediv1dd 12987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
131	115, 117, 73, 126, 130	lemul2ad 12057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
132	47	recnd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℂ)
133	110, 132, 57	divrecd 11895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
134	133	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
135	58	recnd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℂ)
136	74, 110, 135	mulassd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
137	136	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
138	86, 110, 62, 44	div23d 11929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)))
139	138	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2))
140	88, 70	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
141	34	recnd 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
142	12, 5, 51	knoppndvlem13 36558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
143	33, 142	absne0d 15352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
144	141, 143	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
145	140, 144, 7	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
146		mulexpz 14004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
148	147	oveq2d 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
149	88, 6	expcld 14048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
150	42	recnd 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
151	86, 149, 150	mulassd 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
152	151	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
153	140, 71, 7	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)))
154		expaddz 14008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
156	155	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)))
157	71	zcnd 12573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
158	6	nn0cnd 12439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
159	157, 158	addcomd 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = (𝐽 + -𝐽))
160	158	negidd 11457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + -𝐽) = 0)
161	159, 160	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = 0)
162	161	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑0))
163	88	exp0d 14042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
164	156, 162, 163	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = 1)
165	164	oveq1d 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
166	150	mullidd 11125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
167	165, 166	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
168	148, 152, 167	3eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
169	168	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
170	139, 169	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
171	170	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
172	134, 137, 171	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
173	131, 172	breqtrd 5112	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
174	114, 173	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
175	23, 41, 59, 60, 174	letrd 11265	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 class class class wbr 5086 ↦ cmpt 5167 ‘cfv 6476 (class class class)co 7341 ℂcc 10999 ℝcr 11000 0cc0 11001 1c1 11002 + caddc 11004 · cmul 11006 < clt 11141 ≤ cle 11142 − cmin 11339 -cneg 11340 / cdiv 11769 ℕcn 12120 2c2 12175 ℕ₀cn0 12376 ℤcz 12463 ℝ⁺crp 12885 (,)cioo 13240 ...cfz 13402 ⌊cfl 13689 ↑cexp 13963 abscabs 15136 Σcsu 15588

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5212 ax-sep 5229 ax-nul 5239 ax-pow 5298 ax-pr 5365 ax-un 7663 ax-inf2 9526 ax-cnex 11057 ax-resscn 11058 ax-1cn 11059 ax-icn 11060 ax-addcl 11061 ax-addrcl 11062 ax-mulcl 11063 ax-mulrcl 11064 ax-mulcom 11065 ax-addass 11066 ax-mulass 11067 ax-distr 11068 ax-i2m1 11069 ax-1ne0 11070 ax-1rid 11071 ax-rnegex 11072 ax-rrecex 11073 ax-cnre 11074 ax-pre-lttri 11075 ax-pre-lttrn 11076 ax-pre-ltadd 11077 ax-pre-mulgt0 11078 ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-nul 4279 df-if 4471 df-pw 4547 df-sn 4572 df-pr 4574 df-op 4578 df-uni 4855 df-int 4893 df-iun 4938 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5506 df-eprel 5511 df-po 5519 df-so 5520 df-fr 5564 df-se 5565 df-we 5566 df-xp 5617 df-rel 5618 df-cnv 5619 df-co 5620 df-dm 5621 df-rn 5622 df-res 5623 df-ima 5624 df-pred 6243 df-ord 6304 df-on 6305 df-lim 6306 df-suc 6307 df-iota 6432 df-fun 6478 df-fn 6479 df-f 6480 df-f1 6481 df-fo 6482 df-f1o 6483 df-fv 6484 df-isom 6485 df-riota 7298 df-ov 7344 df-oprab 7345 df-mpo 7346 df-om 7792 df-1st 7916 df-2nd 7917 df-frecs 8206 df-wrecs 8237 df-recs 8286 df-rdg 8324 df-1o 8380 df-er 8617 df-en 8865 df-dom 8866 df-sdom 8867 df-fin 8868 df-sup 9321 df-inf 9322 df-oi 9391 df-card 9827 df-pnf 11143 df-mnf 11144 df-xr 11145 df-ltxr 11146 df-le 11147 df-sub 11341 df-neg 11342 df-div 11770 df-nn 12121 df-2 12183 df-3 12184 df-n0 12377 df-z 12464 df-uz 12728 df-rp 12886 df-ioo 13244 df-ico 13246 df-fz 13403 df-fzo 13550 df-fl 13691 df-seq 13904 df-exp 13964 df-hash 14233 df-cj 15001 df-re 15002 df-im 15003 df-sqrt 15137 df-abs 15138 df-clim 15390 df-sum 15589

This theorem is referenced by: knoppndvlem15 36560

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