Theorem divdir 11798

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
divdir	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		reccl 11780	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	adddird 11134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) · (1 / 𝐶)) = ((𝐴 · (1 / 𝐶)) + (𝐵 · (1 / 𝐶))))
6	1, 2	addcld 11128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
7		simp3l 1202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		simp3r 1203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ≠ 0)
9		divrec 11789	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) · (1 / 𝐶)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) · (1 / 𝐶)))
11		divrec 11789	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
12	1, 7, 8, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
13		divrec 11789	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
14	2, 7, 8, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
15	12, 14	oveq12d 7364	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · (1 / 𝐶)) + (𝐵 · (1 / 𝐶))))
16	5, 10, 15	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008   / cdiv 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772

This theorem is referenced by:  muldivdir  11811  divsubdir  11812  divadddiv  11833  divdirzi  11870  divdird  11932  2halves  12336  halfaddsub  12351  zdivadd  12541  nneo  12554  rpnnen1lem5  12876  2tnp1ge0ge0  13730  fldiv  13761  modcyc  13807  mulsubdivbinom2  14166  crim  15019  efival  16058  flodddiv4  16323  divgcdcoprm0  16573  pythagtriplem17  16740  ptolemy  26430  relogbmul  26712  harmonicbnd4  26946  ppiub  27140  logfacrlim  27160  bposlem9  27228  2lgslem3a  27332  2lgslem3b  27333  2lgslem3c  27334  2lgslem3d  27335  chpchtlim  27415  mudivsum  27466  selberglem2  27482  pntrsumo1  27501  pntibndlem2  27527  pntibndlem3  27528  pntlemb  27533  dpfrac1  32867  heiborlem6  37855  zofldiv2ALTV  47692  zofldiv2  48562  sinhpcosh  49771  onetansqsecsq  49792