MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qaddcl 12755
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)

Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12740 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
2 elq 12740 . 2 (๐ต โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
3 nnz 12392 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
4 zmulcl 12419 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
53, 4sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
65ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
7 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
8 nnz 12392 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
98adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
10 zmulcl 12419 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
117, 9, 10syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
126, 11zaddcld 12480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
14 nnmulcl 12047 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
1514ad2ant2l 744 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
1615adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
17 oveq12 7316 . . . . . . . . 9 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) + (๐‘ง / ๐‘ค)))
18 zcn 12374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
19 zcn 12374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
2018, 19anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚))
21 nncn 12031 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
22 nnne0 12057 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
2321, 22jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
24 nncn 12031 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
25 nnne0 12057 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
2624, 25jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โ‰  0))
2723, 26anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โ‰  0)))
28 divadddiv 11740 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) + (๐‘ง / ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
2920, 27, 28syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) + (๐‘ง / ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
3029an4s 658 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) + (๐‘ง / ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
3117, 30sylan9eqr 2798 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
32 rspceov 7354 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + ๐ต) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐‘ข / ๐‘ฃ))
33 elq 12740 . . . . . . . . 9 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐‘ข / ๐‘ฃ))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + ๐ต) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
3513, 16, 31, 34syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
3635an4s 658 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
3736exp43 438 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š))))
3837rexlimivv 3193 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)))
3938rexlimdvv 3201 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š))
4039imp 408 . 2 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
411, 2, 40syl2anb 599 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1087   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  (class class class)co 7307  โ„‚cc 10919  0cc0 10921   + caddc 10924   ยท cmul 10926   / cdiv 11682  โ„•cn 12023  โ„คcz 12369  โ„šcq 12738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-n0 12284  df-z 12370  df-q 12739
This theorem is referenced by:  qsubcl  12758  qrevaddcl  12761  pcaddlem  16638  pcadd2  16640  qsubdrg  20699  vitalilem1  24821  qaa  25532  padicabv  26827  ostth3  26835  dp2clq  31204  irrdifflemf  35544  irrdiff  35545  mblfinlem1  35862  3cubes  40707  rmxyadd  40939  mpaaeu  41171  aacllem  46749
  Copyright terms: Public domain W3C validator