Theorem qaddcl 12178

Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		elq 12163	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3		nnz 11816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℤ)
4		zmulcl 11843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan2 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
6	5	ad2ant2rl 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
7		simpl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
8		nnz 11816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
9	8	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		zmulcl 11843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	syl2anr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
12	6, 11	zaddcld 11903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ)
13	12	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → ((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ)
14		nnmulcl 11463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
15	14	ad2ant2l 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
16	15	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
17		oveq12 6984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)))
18		zcn 11797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
19		zcn 11797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
20	18, 19	anim12i 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
21		nncn 11447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
22		nnne0 11473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
23	21, 22	jca 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
24		nncn 11447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
25		nnne0 11473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ≠ 0)
26	24, 25	jca 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
27	23, 26	anim12i 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)))
28		divadddiv 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
29	20, 27, 28	syl2an 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
30	29	an4s 648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
31	17, 30	sylan9eqr 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
32		rspceov 7021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝑢 / 𝑣))
33		elq 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝑢 / 𝑣))
34	32, 33	sylibr 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
35	13, 16, 31, 34	syl3anc 1352	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
36	35	an4s 648	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
37	36	exp43 429	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))))
38	37	rexlimivv 3232	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
39	38	rexlimdvv 3233	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
40	39	imp 398	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
41	1, 2, 40	syl2anb 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2962  ∃wrex 3084  (class class class)co 6975  ℂcc 10332  0cc0 10334   + caddc 10337   · cmul 10339   / cdiv 11097  ℕcn 11438  ℤcz 11792  ℚcq 12161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-q 12162

This theorem is referenced by:  qsubcl  12181  qrevaddcl  12184  pcaddlem  16079  pcadd2  16081  qsubdrg  20315  vitalilem1  23928  qaa  24631  padicabv  25924  ostth3  25932  dp2clq  30328  mblfinlem1  34403  rmxyadd  38948  mpaaeu  39180  aacllem  44299