Theorem divcan5 11944

Description: Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
divcan5	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴) / (𝐶 · 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divcan5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divid 11929	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐶) = 1)
2	1	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = (1 · (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = (1 · (𝐴 / 𝐵)))
4		simp3l 1220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
7		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
8		divmuldiv 11942	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → ((𝐶 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) / (𝐶 · 𝐵)))
9	4, 5, 6, 7, 8	syl22anc 852	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) / (𝐶 · 𝐵)))
10		divcl 11905	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
11	10	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
12	11	mullidd 11254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
13	12	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (1 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
14	3, 9, 13	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴) / (𝐶 · 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132   / cdiv 11898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899

This theorem is used by:  divcan7  11951  divadddiv  11957  divcan5d  12044  8th4div3  12491  modmulnn  13953  moddi  14006  sqoddm1div8  14310  reccn2  15687  bpoly3  16147  flodddiv4  16508  pigt3  26758  efif1olem4  26785  ang180lem1  27049  quart1  27096  divsqrtsumlem  27219  basellem1  27320  ppiub  27443  bposlem8  27530  chpchtlim  27718  pnt2  27852  dvasin  38456  heiborlem6  38569