Theorem fldivexpfllog2 48919

Description: The floor of a positive real number divided by 2 to the power of the floor of the logarithm to base 2 of the number is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fldivexpfllog2	⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)

Proof of Theorem fldivexpfllog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12535	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12778	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ+)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (⌊‘(2 logb 𝑋)) = (⌊‘(2 logb 𝑋))
6	3, 4, 5	fllogbd 48914	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))))
7		2re 12231	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
9		2ne0 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
11		relogbzcl 26752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
12	3, 4, 11	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13	12	flcld 13730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ)
14	8, 10, 13	reexpclzd 14184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ)
15		2pos 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < 2)
17		expgt0 14030	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
18	8, 13, 16, 17	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
19	14, 18	elrpd 12958	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+)
20		rpre 12926	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ)
21		divge1b 48866	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
22	21	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
23	19, 20, 22	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
24	23	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 → 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
25		2cnd 12235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
26	25, 10, 13	expp1zd 14090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) = ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2))
27	26	breq2d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
28		ltdivmul 12029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
29	20, 8, 14, 18, 28	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
30	27, 29	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
31	30	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
32		1p1e2 12277	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
33	32	breq2i 5108	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2)
34	31, 33	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
35	24, 34	anim12d 610	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
36	6, 35	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
37	25, 10, 13	expne0d 14087	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≠ 0)
38	20, 14, 37	redivcld 11981	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ)
39		1zzd 12534	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℤ)
40		flbi 13748	. . 3 ⊢ (((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
41	38, 39, 40	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
42	36, 41	mpbird 257	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  2c2 12212  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12917  ⌊cfl 13722  ↑cexp 13996   log_b clogb 26742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-cxp 26534  df-logb 26743

This theorem is referenced by:  dig2nn1st  48959