Theorem fldivexpfllog2 43378

Description: The floor of a positive real number divided by 2 to the power of the floor of the logarithm to base 2 of the number is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fldivexpfllog2	⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)

Proof of Theorem fldivexpfllog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11761	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12007	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ+)
5		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (⌊‘(2 logb 𝑋)) = (⌊‘(2 logb 𝑋))
6	3, 4, 5	fllogbd 43373	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))))
7		2re 11449	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
9		2ne0 11486	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
11		relogbzcl 24952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
12	3, 4, 11	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13	12	flcld 12918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ)
14	8, 10, 13	reexpclzd 13355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ)
15		2pos 11485	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < 2)
17		expgt0 13211	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
18	8, 13, 16, 17	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
19	14, 18	elrpd 12178	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+)
20		rpre 12145	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ)
21		divge1b 43321	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
22	21	bicomd 215	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
23	19, 20, 22	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
24	23	biimprd 240	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 → 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
25		2cnd 11453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
26	25, 10, 13	expp1zd 13336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) = ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2))
27	26	breq2d 4898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
28		ltdivmul 11252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
29	20, 8, 14, 18, 28	syl112anc 1442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
30	27, 29	bitr4d 274	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
31	30	biimpd 221	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
32		1p1e2 11507	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
33	32	breq2i 4894	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2)
34	31, 33	syl6ibr 244	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
35	24, 34	anim12d 602	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
36	6, 35	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
37	25, 10, 13	expne0d 13333	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≠ 0)
38	20, 14, 37	redivcld 11203	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ)
39		1zzd 11760	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℤ)
40		flbi 12936	. . 3 ⊢ (((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
41	38, 39, 40	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
42	36, 41	mpbird 249	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411   ≤ cle 10412   / cdiv 11032  2c2 11430  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992  ℝ⁺crp 12137  ⌊cfl 12910  ↑cexp 13178   log_b clogb 24942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-cxp 24741  df-logb 24943

This theorem is referenced by:  dig2nn1st  43418