Theorem fldivexpfllog2 49882

Description: The floor of a positive real number divided by 2 to the power of the floor of the logarithm to base 2 of the number is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fldivexpfllog2	⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)

Proof of Theorem fldivexpfllog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12755	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 13007	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
3	1, 2	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
4		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ+)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (⌊‘(2 logb 𝑋)) = (⌊‘(2 logb 𝑋))
6	3, 4, 5	fllogbd 49877	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))))
7		2re 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
9		2ne0 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
11		relogbzcl 27132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
12	3, 4, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13	12	flcld 13965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ)
14	8, 10, 13	reexpclzd 14420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ)
15		2pos 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < 2)
17		expgt0 14265	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
18	8, 13, 16, 17	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
19	14, 18	elrpd 13188	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+)
20		rpre 13156	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ)
21		divge1b 49829	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
22	21	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
23	19, 20, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
24	23	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 → 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
25		2cnd 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
26	25, 10, 13	expp1zd 14325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) = ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2))
27	26	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
28		ltdivmul 12219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
29	20, 8, 14, 18, 28	syl112anc 1402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
30	27, 29	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
31	30	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
32		1p1e2 12493	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
33	32	breq2i 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2)
34	31, 33	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
35	24, 34	anim12d 621	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
36	6, 35	mpd 16	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
37	25, 10, 13	expne0d 14322	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≠ 0)
38	20, 14, 37	redivcld 12172	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ)
39		1zzd 12754	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℤ)
40		flbi 13983	. . 3 ⊢ (((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
41	38, 39, 40	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
42	36, 41	mpbird 260	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   / cdiv 12000  2c2 12424  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ℝ⁺crp 13147  ⌊cfl 13957  ↑cexp 14231   log_b clogb 27122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-limc 26216  df-dv 26217  df-log 26914  df-cxp 26915  df-logb 27123

This theorem is used by:  dig2nn1st  49922