![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ltmuldiv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmuldiv | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ต / ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp1 1133 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ด โ โ) | |
2 | simp3l 1198 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ถ โ โ) | |
3 | 1, 2 | remulcld 11243 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
4 | ltdiv1 12077 | . . 3 โข (((๐ด ยท ๐ถ) โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))) | |
5 | 3, 4 | syld3an1 1407 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))) |
6 | 1 | recnd 11241 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ด โ โ) |
7 | 2 | recnd 11241 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ถ โ โ) |
8 | simp3r 1199 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ 0 < ๐ถ) | |
9 | 8 | gt0ne0d 11777 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ถ โ 0) |
10 | 6, 7, 9 | divcan4d 11995 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ถ) = ๐ด) |
11 | 10 | breq1d 5149 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ) โ ๐ด < (๐ต / ๐ถ))) |
12 | 5, 11 | bitrd 279 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ต / ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 โ wcel 2098 class class class wbr 5139 (class class class)co 7402 โcr 11106 0cc0 11107 ยท cmul 11112 < clt 11247 / cdiv 11870 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-id 5565 df-po 5579 df-so 5580 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 |
This theorem is referenced by: ltmuldiv2 12087 lt2mul2div 12091 ltrec 12095 ltmuldivi 12133 avglt1 12449 3halfnz 12640 ltmuldivd 13064 expmulnbnd 14199 geomulcvg 15824 prmind2 16625 isprm5 16647 hashgcdlem 16726 nlmvscnlem2 24546 nmoleub2lem3 24986 ipcnlem2 25116 opnmbllem 25474 abelthlem7 26315 tangtx 26380 logdivlti 26494 logf1o2 26524 ang180lem2 26682 mersenne 27100 chebbnd1lem3 27344 chtppilim 27348 opnmbllem0 37027 pellfundex 42174 divgt1b 47442 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |