Theorem elovolmlem 25462

Description: Lemma for elovolm 25463 and related theorems. (Contributed by BJ, 23-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elovolmlem	⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶(𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem elovolmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11125	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1, 1	xpex 7699	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
3	2	inex2 5248	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ∈ V
4		nnex 12175	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
5	3, 4	elmap 8813	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶(𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2121   ∩ cin 3883   × cxp 5618  ⟶wf 6484  (class class class)co 7359   ↑_m cmap 8767  ℝcr 11033  ℕcn 12169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-addcl 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-map 8769  df-nn 12170

This theorem is referenced by:  elovolm  25463  elovolmr  25464  ovolmge0  25465  ovolgelb  25468  ovolunlem1a  25484  ovolunlem1  25485  ovoliunlem1  25490  ovoliunlem2  25491  ovolshftlem2  25498  ovolicc2  25510  ioombl1  25550