Theorem elovolmlem 25459

Description: Lemma for elovolm 25460 and related theorems. (Contributed by BJ, 23-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elovolmlem	⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶(𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem elovolmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11120	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1, 1	xpex 7696	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
3	2	inex2 5246	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ∈ V
4		nnex 12171	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
5	3, 4	elmap 8809	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶(𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   × cxp 5616  ⟶wf 6481  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  ℝcr 11028  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-map 8765  df-nn 12166

This theorem is referenced by:  elovolm  25460  elovolmr  25461  ovolmge0  25462  ovolgelb  25465  ovolunlem1a  25481  ovolunlem1  25482  ovoliunlem1  25487  ovoliunlem2  25488  ovolshftlem2  25495  ovolicc2  25507  ioombl1  25547