Theorem elovolmlem 25464

Description: Lemma for elovolm 25465 and related theorems. (Contributed by BJ, 23-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elovolmlem	⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶(𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem elovolmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11229	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1, 1	xpex 7756	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
3	2	inex2 5300	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ∈ V
4		nnex 12255	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
5	3, 4	elmap 8894	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶(𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3932   × cxp 5665  ⟶wf 6538  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8849  ℝcr 11137  ℕcn 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-map 8851  df-nn 12250

This theorem is referenced by:  elovolm  25465  elovolmr  25466  ovolmge0  25467  ovolgelb  25470  ovolunlem1a  25486  ovolunlem1  25487  ovoliunlem1  25492  ovoliunlem2  25493  ovolshftlem2  25500  ovolicc2  25512  ioombl1  25552