Theorem elovolmlem 25381

Description: Lemma for elovolm 25382 and related theorems. (Contributed by BJ, 23-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elovolmlem	⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶(𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem elovolmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11165	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1, 1	xpex 7731	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
3	2	inex2 5275	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ∈ V
4		nnex 12193	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
5	3, 4	elmap 8846	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶(𝐴 ∩ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3915   × cxp 5638  ⟶wf 6509  (class class class)co 7389   ↑_m cmap 8801  ℝcr 11073  ℕcn 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-addcl 11134

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-map 8803  df-nn 12188

This theorem is referenced by:  elovolm  25382  elovolmr  25383  ovolmge0  25384  ovolgelb  25387  ovolunlem1a  25403  ovolunlem1  25404  ovoliunlem1  25409  ovoliunlem2  25410  ovolshftlem2  25417  ovolicc2  25429  ioombl1  25469