MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolicc2 25570
Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ovolicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
ovolicc2.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolicc2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝐵,𝑓,𝑦   𝑦,𝑀   𝜑,𝑓,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑓)

Proof of Theorem ovolicc2
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑡 𝑢 𝑣 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
21elovolm 25523 . . . . 5 (𝑧𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
3 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))
4 unieq 4922 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓))
54sseq2d 4027 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓)))
6 pweq 4618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝒫 𝑢 = 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
76ineq1d 4226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → (𝒫 𝑢 ∩ Fin) = (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
87rexeqdv 3324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
95, 8imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → (((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)))
10 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
12 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
13 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
1412, 13icccmp 24860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
1510, 11, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
16 retop 24797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
17 iccssre 13465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1810, 11, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
19 uniretop 24798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ = (topGen‘ran (,))
2019cmpsub 23423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)))
2116, 18, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)))
2215, 21mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
24 ioof 13483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
25 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
27 dffn3 6748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶ran (,))
2826, 27mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶ran (,)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ))
30 elovolmlem 25522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3129, 30sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
32 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
33 rexpssxrxp 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3432, 33sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
35 fss 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
3631, 34, 35sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
37 fco 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶ran (,) ∧ 𝑓:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝑓):ℕ⟶ran (,))
3828, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((,) ∘ 𝑓):ℕ⟶ran (,))
3938adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((,) ∘ 𝑓):ℕ⟶ran (,))
4039frnd 6744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ran (,))
41 retopbas 24796 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (,) ∈ TopBases
42 bastg 22988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4440, 43sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,)))
45 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ V
4645elpw2 5339 . . . . . . . . . . . . 13 (ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,)) ↔ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,)))
4744, 46sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,)))
489, 23, 47rspcdva 3622 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
493, 48mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)
50 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
51 elin 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5250, 51sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5352simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ∈ Fin)
5452simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
5554elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))
5655sseld 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑡𝑣𝑡 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓)))
5738ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((,) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ((,) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
59 fvelrnb 6968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,) ∘ 𝑓) Fn ℕ → (𝑡 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑡 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡))
6156, 60sylibd 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑡𝑣 → ∃𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡))
6261ralrimiv 3142 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ∀𝑡𝑣𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡)
63 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑔𝑡) → ((((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡 ↔ (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))
6463ac6sfi 9317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ ∀𝑡𝑣𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡) → ∃𝑔(𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))
6553, 62, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑔(𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))
6610ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6711ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝐵 ∈ ℝ)
68 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝐵)
6968ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝐴𝐵)
70 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
7131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
72 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
73 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)
74 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝑔:𝑣⟶ℕ)
75 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡)
76 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑥 → (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)))
77 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑥𝑡 = 𝑥)
7876, 77eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑥 → ((((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡 ↔ (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)) = 𝑥))
7978rspccva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡𝑥𝑣) → (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)) = 𝑥)
8075, 79sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) ∧ 𝑥𝑣) → (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)) = 𝑥)
81 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑢𝑣 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅} = {𝑢𝑣 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
8266, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 80, 81ovolicc2lem5 25569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8382expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ((𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8483exlimdv 1930 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (∃𝑔(𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8565, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8685rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣 → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8786adantrr 717 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣 → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8849, 87mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
89 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → ((𝐵𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
9088, 89syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
9190expr 456 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧)))
9291impd 410 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
9392rexlimdva 3152 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
942, 93biimtrid 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑀 → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
9594ralrimiv 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝑀 (𝐵𝐴) ≤ 𝑧)
961ssrab3 4091 . . . 4 𝑀 ⊆ ℝ*
9711, 10resubcld 11688 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9897rexrd 11308 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
99 infxrgelb 13373 . . . 4 ((𝑀 ⊆ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐵𝐴) ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝑀 (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
10096, 98, 99sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝑀 (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
10195, 100mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ))
1021ovolval 25521 . . 3 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
10318, 102syl 17 . 2 (𝜑 → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
104101, 103breqtrrd 5175 1 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604   cuni 4911   class class class wbr 5147   × cxp 5686  ran crn 5689  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Fincfn 8983  supcsup 9477  infcinf 9478  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  seqcseq 14038  abscabs 15269  t crest 17466  topGenctg 17483  Topctop 22914  TopBasesctb 22967  Compccmp 23409  vol*covol 25510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cmp 23410  df-ovol 25512
This theorem is referenced by:  ovolicc  25571
  Copyright terms: Public domain W3C validator