MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolicc2 24886
Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ovolicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
ovolicc2.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolicc2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝐵,𝑓,𝑦   𝑦,𝑀   𝜑,𝑓,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑓)

Proof of Theorem ovolicc2
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑡 𝑢 𝑣 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
21elovolm 24839 . . . . 5 (𝑧𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
3 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))
4 unieq 4876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓))
54sseq2d 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓)))
6 pweq 4574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝒫 𝑢 = 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
76ineq1d 4171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → (𝒫 𝑢 ∩ Fin) = (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
87rexeqdv 3314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
95, 8imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → (((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)))
10 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
12 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
13 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
1412, 13icccmp 24188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
1510, 11, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
16 retop 24125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
17 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1810, 11, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
19 uniretop 24126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ = (topGen‘ran (,))
2019cmpsub 22751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)))
2116, 18, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)))
2215, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
24 ioof 13364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
25 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
27 dffn3 6681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶ran (,))
2826, 27mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶ran (,)
29 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ))
30 elovolmlem 24838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
32 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
33 rexpssxrxp 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3432, 33sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
35 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
3631, 34, 35sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
37 fco 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶ran (,) ∧ 𝑓:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝑓):ℕ⟶ran (,))
3828, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((,) ∘ 𝑓):ℕ⟶ran (,))
3938adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((,) ∘ 𝑓):ℕ⟶ran (,))
4039frnd 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ran (,))
41 retopbas 24124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (,) ∈ TopBases
42 bastg 22316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4440, 43sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,)))
45 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ V
4645elpw2 5302 . . . . . . . . . . . . 13 (ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,)) ↔ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,)))
4744, 46sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,)))
489, 23, 47rspcdva 3582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
493, 48mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)
50 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
51 elin 3926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5352simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ∈ Fin)
5452simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
5554elpwid 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))
5655sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑡𝑣𝑡 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓)))
5738ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((,) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ((,) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
59 fvelrnb 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,) ∘ 𝑓) Fn ℕ → (𝑡 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑡 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡))
6156, 60sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑡𝑣 → ∃𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡))
6261ralrimiv 3142 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ∀𝑡𝑣𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡)
63 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑔𝑡) → ((((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡 ↔ (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))
6463ac6sfi 9231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ ∀𝑡𝑣𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡) → ∃𝑔(𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))
6553, 62, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑔(𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))
6610ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6711ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝐵 ∈ ℝ)
68 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝐵)
6968ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝐴𝐵)
70 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
7131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
72 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
73 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)
74 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝑔:𝑣⟶ℕ)
75 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡)
76 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑥 → (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)))
77 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑥𝑡 = 𝑥)
7876, 77eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑥 → ((((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡 ↔ (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)) = 𝑥))
7978rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡𝑥𝑣) → (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)) = 𝑥)
8075, 79sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) ∧ 𝑥𝑣) → (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)) = 𝑥)
81 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑢𝑣 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅} = {𝑢𝑣 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
8266, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 80, 81ovolicc2lem5 24885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8382expr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ((𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8483exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (∃𝑔(𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8565, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8685rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣 → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8786adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣 → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8849, 87mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
89 breq2 5109 . . . . . . . . 9 (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → ((𝐵𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
9088, 89syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
9190expr 457 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧)))
9291impd 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
9392rexlimdva 3152 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
942, 93biimtrid 241 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑀 → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
9594ralrimiv 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝑀 (𝐵𝐴) ≤ 𝑧)
961ssrab3 4040 . . . 4 𝑀 ⊆ ℝ*
9711, 10resubcld 11583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9897rexrd 11205 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
99 infxrgelb 13254 . . . 4 ((𝑀 ⊆ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐵𝐴) ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝑀 (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
10096, 98, 99sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝑀 (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
10195, 100mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ))
1021ovolval 24837 . . 3 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
10318, 102syl 17 . 2 (𝜑 → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
104101, 103breqtrrd 5133 1 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   cuni 4865   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ran crn 5634  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  supcsup 9376  infcinf 9377  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  seqcseq 13906  abscabs 15119  t crest 17302  topGenctg 17319  Topctop 22242  TopBasesctb 22295  Compccmp 22737  vol*covol 24826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828
This theorem is referenced by:  ovolicc  24887
  Copyright terms: Public domain W3C validator