MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolicc2 24902
Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ovolicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ovolicc2.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolicc2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝐡,𝑓,𝑦   𝑦,𝑀   πœ‘,𝑓,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑓)

Proof of Theorem ovolicc2
Dummy variables 𝑔 π‘˜ 𝑑 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
21elovolm 24855 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
3 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
4 unieq 4877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ βˆͺ 𝑒 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
54sseq2d 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)))
6 pweq 4575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ 𝒫 𝑒 = 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
76ineq1d 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) = (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
87rexeqdv 3313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣))
95, 8imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ (((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ↔ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
10 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
1412, 13icccmp 24204 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
1510, 11, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
16 retop 24141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
17 iccssre 13352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1810, 11, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
19 uniretop 24142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2019cmpsub 22767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,))((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
2116, 18, 20sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,))((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
2215, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,))((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,))((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣))
24 ioof 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
25 ffn 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
27 dffn3 6682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ↔ (,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢ran (,))
2826, 27mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢ran (,)
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•))
30 elovolmlem 24854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
32 inss2 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
33 rexpssxrxp 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
3432, 33sstri 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
35 fss 6686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
3631, 34, 35sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
37 fco 6693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢ran (,) ∧ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆran (,))
3828, 36, 37sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆran (,))
3938adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ((,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆran (,))
4039frnd 6677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† ran (,))
41 retopbas 24140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (,) ∈ TopBases
42 bastg 22332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
4440, 43sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
45 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ V
4645elpw2 5303 . . . . . . . . . . . . 13 (ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
4744, 46sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,)))
489, 23, 47rspcdva 3581 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣))
493, 48mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)
50 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
51 elin 3927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5352simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ Fin)
5452simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
5554elpwid 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 βŠ† ran ((,) ∘ 𝑓))
5655sseld 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑣 β†’ 𝑑 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓)))
5738ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((,) ∘ 𝑓) Fn β„•)
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ ((,) ∘ 𝑓) Fn β„•)
59 fvelrnb 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,) ∘ 𝑓) Fn β„• β†’ (𝑑 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑))
6156, 60sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑))
6261ralrimiv 3139 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑)
63 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (π‘”β€˜π‘‘) β†’ ((((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑 ↔ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))
6463ac6sfi 9234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))
6553, 62, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))
6610ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6711ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
68 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
70 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
7131adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
72 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
73 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)
74 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝑔:π‘£βŸΆβ„•)
75 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑)
76 2fveq3 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = π‘₯ β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘₯)))
77 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = π‘₯ β†’ 𝑑 = π‘₯)
7876, 77eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑 ↔ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = π‘₯))
7978rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑 ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = π‘₯)
8075, 79sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = π‘₯)
81 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑒 ∈ 𝑣 ∣ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…} = {𝑒 ∈ 𝑣 ∣ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…}
8266, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 80, 81ovolicc2lem5 24901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8382expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ ((𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8483exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8565, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8685rexlimdvaa 3150 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣 β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8786adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣 β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8849, 87mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
89 breq2 5110 . . . . . . . . 9 (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
9088, 89syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
9190expr 458 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧)))
9291impd 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ (((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
9392rexlimdva 3149 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
942, 93biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
9594ralrimiv 3139 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧)
961ssrab3 4041 . . . 4 𝑀 βŠ† ℝ*
9711, 10resubcld 11588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
9897rexrd 11210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ*)
99 infxrgelb 13260 . . . 4 ((𝑀 βŠ† ℝ* ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
10096, 98, 99sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
10195, 100mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ))
1021ovolval 24853 . . 3 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
10318, 102syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
104101, 103breqtrrd 5134 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  supcsup 9381  infcinf 9382  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  (,)cioo 13270  [,]cicc 13273  seqcseq 13912  abscabs 15125   β†Ύt crest 17307  topGenctg 17324  Topctop 22258  TopBasesctb 22311  Compccmp 22753  vol*covol 24842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844
This theorem is referenced by:  ovolicc  24903
  Copyright terms: Public domain W3C validator