MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolicc2 25272
Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ovolicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ovolicc2.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolicc2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝐡,𝑓,𝑦   𝑦,𝑀   πœ‘,𝑓,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑓)

Proof of Theorem ovolicc2
Dummy variables 𝑔 π‘˜ 𝑑 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
21elovolm 25225 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
3 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
4 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ βˆͺ 𝑒 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
54sseq2d 4014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)))
6 pweq 4616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ 𝒫 𝑒 = 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
76ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) = (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
87rexeqdv 3325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣))
95, 8imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ (((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ↔ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
10 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
12 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
13 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
1412, 13icccmp 24562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
1510, 11, 14syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
16 retop 24499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
17 iccssre 13411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1810, 11, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
19 uniretop 24500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2019cmpsub 23125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,))((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
2116, 18, 20sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,))((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
2215, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,))((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,))((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣))
24 ioof 13429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
25 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
27 dffn3 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ↔ (,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢ran (,))
2826, 27mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢ran (,)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•))
30 elovolmlem 25224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
32 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
33 rexpssxrxp 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
3432, 33sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
35 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
3631, 34, 35sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
37 fco 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢ran (,) ∧ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆran (,))
3828, 36, 37sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆran (,))
3938adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ((,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆran (,))
4039frnd 6725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† ran (,))
41 retopbas 24498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (,) ∈ TopBases
42 bastg 22690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
4440, 43sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
45 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ V
4645elpw2 5345 . . . . . . . . . . . . 13 (ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
4744, 46sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGenβ€˜ran (,)))
489, 23, 47rspcdva 3613 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣))
493, 48mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)
50 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
51 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5352simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ Fin)
5452simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
5554elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 βŠ† ran ((,) ∘ 𝑓))
5655sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑣 β†’ 𝑑 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓)))
5738ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((,) ∘ 𝑓) Fn β„•)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ ((,) ∘ 𝑓) Fn β„•)
59 fvelrnb 6952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,) ∘ 𝑓) Fn β„• β†’ (𝑑 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑))
6156, 60sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑))
6261ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑)
63 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (π‘”β€˜π‘‘) β†’ ((((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑 ↔ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))
6463ac6sfi 9290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = 𝑑) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))
6553, 62, 64syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))
6610ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6711ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
68 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
70 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
7131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
72 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
73 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)
74 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ 𝑔:π‘£βŸΆβ„•)
75 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑)
76 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = π‘₯ β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘₯)))
77 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = π‘₯ β†’ 𝑑 = π‘₯)
7876, 77eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑 ↔ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = π‘₯))
7978rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑 ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = π‘₯)
8075, 79sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = π‘₯)
81 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑒 ∈ 𝑣 ∣ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…} = {𝑒 ∈ 𝑣 ∣ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…}
8266, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 80, 81ovolicc2lem5 25271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8382expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ ((𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8483exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔:π‘£βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (((,) ∘ 𝑓)β€˜(π‘”β€˜π‘‘)) = 𝑑) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8565, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8685rexlimdvaa 3155 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣 β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8786adantrr 714 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑣 β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8849, 87mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
89 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
9088, 89syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))) β†’ (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
9190expr 456 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) β†’ (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧)))
9291impd 410 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ (((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
9392rexlimdva 3154 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
942, 93biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
9594ralrimiv 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧)
961ssrab3 4080 . . . 4 𝑀 βŠ† ℝ*
9711, 10resubcld 11647 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
9897rexrd 11269 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ*)
99 infxrgelb 13319 . . . 4 ((𝑀 βŠ† ℝ* ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
10096, 98, 99sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝑧))
10195, 100mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ))
1021ovolval 25223 . . 3 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
10318, 102syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
104101, 103breqtrrd 5176 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  Fincfn 8942  supcsup 9438  infcinf 9439  β„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  seqcseq 13971  abscabs 15186   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388  Topctop 22616  TopBasesctb 22669  Compccmp 23111  vol*covol 25212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214
This theorem is referenced by:  ovolicc  25273
  Copyright terms: Public domain W3C validator