MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolicc2 24697
Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ovolicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
ovolicc2.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolicc2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝐵,𝑓,𝑦   𝑦,𝑀   𝜑,𝑓,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑓)

Proof of Theorem ovolicc2
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑡 𝑢 𝑣 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
21elovolm 24650 . . . . 5 (𝑧𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
3 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))
4 unieq 4856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓))
54sseq2d 3958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓)))
6 pweq 4555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝒫 𝑢 = 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
76ineq1d 4151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → (𝒫 𝑢 ∩ Fin) = (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
87rexeqdv 3348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
95, 8imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ran ((,) ∘ 𝑓) → (((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)))
10 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
12 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
13 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
1412, 13icccmp 23999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
1510, 11, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
16 retop 23936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
17 iccssre 13172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1810, 11, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
19 uniretop 23937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ = (topGen‘ran (,))
2019cmpsub 22562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)))
2116, 18, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)))
2215, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ∀𝑢 ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,))((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
24 ioof 13190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
25 ffn 6598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
27 dffn3 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶ran (,))
2826, 27mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶ran (,)
29 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ))
30 elovolmlem 24649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
32 inss2 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
33 rexpssxrxp 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3432, 33sstri 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
35 fss 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
3631, 34, 35sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
37 fco 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶ran (,) ∧ 𝑓:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝑓):ℕ⟶ran (,))
3828, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((,) ∘ 𝑓):ℕ⟶ran (,))
3938adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((,) ∘ 𝑓):ℕ⟶ran (,))
4039frnd 6606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ran (,))
41 retopbas 23935 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (,) ∈ TopBases
42 bastg 22127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4440, 43sstrdi 3938 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,)))
45 fvex 6784 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ V
4645elpw2 5273 . . . . . . . . . . . . 13 (ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,)) ↔ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,)))
4744, 46sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ 𝒫 (topGen‘ran (,)))
489, 23, 47rspcdva 3563 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣))
493, 48mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)
50 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
51 elin 3908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
5352simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ∈ Fin)
5452simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓))
5554elpwid 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → 𝑣 ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))
5655sseld 3925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑡𝑣𝑡 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓)))
5738ffnd 6599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((,) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ((,) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
59 fvelrnb 6827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((,) ∘ 𝑓) Fn ℕ → (𝑡 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑡 ∈ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡))
6156, 60sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝑡𝑣 → ∃𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡))
6261ralrimiv 3109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ∀𝑡𝑣𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡)
63 fveqeq2 6780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑔𝑡) → ((((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡 ↔ (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))
6463ac6sfi 9046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ ∀𝑡𝑣𝑘 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = 𝑡) → ∃𝑔(𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))
6553, 62, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑔(𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))
6610ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6711ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝐵 ∈ ℝ)
68 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝐵)
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝐴𝐵)
70 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
7131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
72 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin))
73 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)
74 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → 𝑔:𝑣⟶ℕ)
75 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡)
76 2fveq3 6776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑥 → (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)))
77 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑥𝑡 = 𝑥)
7876, 77eqeq12d 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑥 → ((((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡 ↔ (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)) = 𝑥))
7978rspccva 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡𝑥𝑣) → (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)) = 𝑥)
8075, 79sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) ∧ 𝑥𝑣) → (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑥)) = 𝑥)
81 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑢𝑣 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅} = {𝑢𝑣 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
8266, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 80, 81ovolicc2lem5 24696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ ((𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣) ∧ (𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡))) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8382expr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → ((𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8483exlimdv 1940 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (∃𝑔(𝑔:𝑣⟶ℕ ∧ ∀𝑡𝑣 (((,) ∘ 𝑓)‘(𝑔𝑡)) = 𝑡) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8565, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣)) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
8685rexlimdvaa 3216 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣 → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8786adantrr 714 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑣 → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
8849, 87mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
89 breq2 5083 . . . . . . . . 9 (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → ((𝐵𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐵𝐴) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
9088, 89syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
9190expr 457 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧)))
9291impd 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
9392rexlimdva 3215 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)((𝐴[,]𝐵) ⊆ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
942, 93syl5bi 241 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑀 → (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
9594ralrimiv 3109 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝑀 (𝐵𝐴) ≤ 𝑧)
961ssrab3 4020 . . . 4 𝑀 ⊆ ℝ*
9711, 10resubcld 11414 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9897rexrd 11036 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
99 infxrgelb 13080 . . . 4 ((𝑀 ⊆ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐵𝐴) ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝑀 (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
10096, 98, 99sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝑀 (𝐵𝐴) ≤ 𝑧))
10195, 100mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ))
1021ovolval 24648 . . 3 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
10318, 102syl 17 . 2 (𝜑 → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
104101, 103breqtrrd 5107 1 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  wrex 3067  {crab 3070  cin 3891  wss 3892  c0 4262  𝒫 cpw 4539   cuni 4845   class class class wbr 5079   × cxp 5588  ran crn 5591  ccom 5594   Fn wfn 6427  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7272  m cmap 8607  Fincfn 8725  supcsup 9187  infcinf 9188  cr 10881  1c1 10883   + caddc 10885  *cxr 11019   < clt 11020  cle 11021  cmin 11216  cn 11984  (,)cioo 13090  [,]cicc 13093  seqcseq 13732  abscabs 14956  t crest 17142  topGenctg 17159  Topctop 22053  TopBasesctb 22106  Compccmp 22548  vol*covol 24637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-ioo 13094  df-ico 13096  df-icc 13097  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-seq 13733  df-exp 13794  df-hash 14056  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-clim 15208  df-sum 15409  df-rest 17144  df-topgen 17165  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-top 22054  df-topon 22071  df-bases 22107  df-cmp 22549  df-ovol 24639
This theorem is referenced by:  ovolicc  24698
  Copyright terms: Public domain W3C validator