MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovolm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elovolm 25216
Description: Elementhood in the set 𝑀 of approximations to the outer measure. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
elovolm.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
elovolm (𝐡 ∈ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑓)
Proof of Theorem elovolm
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2736 . . . . 5 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
21anbi2d 629 . . . 4 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
32rexbidv 3178 . . 3 (𝑦 = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
4 elovolm.1 . . 3 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
53, 4elrab2 3686 . 2 (𝐡 ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
6 elovolmlem 25215 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
7 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓) = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)
8 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
97, 8ovolsf 25213 . . . . . . . . . 10 (𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
106, 9sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
11 icossxr 13413 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
12 fss 6734 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)):β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ*) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)):β„•βŸΆβ„*)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)):β„•βŸΆβ„*)
14 frn 6724 . . . . . . . 8 (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)):β„•βŸΆβ„* β†’ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) βŠ† ℝ*)
15 supxrcl 13298 . . . . . . . 8 (ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17 eleq1 2821 . . . . . . 7 (𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) β†’ (𝐡 ∈ ℝ* ↔ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*))
1816, 17syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ (𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*))
1918imp 407 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2019adantrl 714 . . . 4 ((𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2120rexlimiva 3147 . . 3 (βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2221pm4.71ri 561 . 2 (βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
235, 22bitr4i 277 1 (𝐡 ∈ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐡 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  seqcseq 13970  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  elovolmr  25217  ovolmge0  25218  ovolicc2  25263
  Copyright terms: Public domain W3C validator