MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovolm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elovolm 25524
Description: Elementhood in the set 𝑀 of approximations to the outer measure. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
elovolm.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
elovolm (𝐵𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem elovolm
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2739 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
21anbi2d 630 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
32rexbidv 3177 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
4 elovolm.1 . . 3 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
53, 4elrab2 3698 . 2 (𝐵𝑀 ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
6 elovolmlem 25523 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
7 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)
8 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
97, 8ovolsf 25521 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
106, 9sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
11 icossxr 13469 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
12 fss 6753 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶ℝ*)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶ℝ*)
14 frn 6744 . . . . . . . 8 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶ℝ* → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ*)
15 supxrcl 13354 . . . . . . . 8 (ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*))
1816, 17syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → 𝐵 ∈ ℝ*))
1918imp 406 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2019adantrl 716 . . . 4 ((𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2120rexlimiva 3145 . . 3 (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2221pm4.71ri 560 . 2 (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
235, 22bitr4i 278 1 (𝐵𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  cin 3962  wss 3963   cuni 4912   × cxp 5687  ran crn 5690  ccom 5693  wf 6559  (class class class)co 7431  m cmap 8865  supcsup 9478  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  seqcseq 14039  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  elovolmr  25525  ovolmge0  25526  ovolicc2  25571
  Copyright terms: Public domain W3C validator