MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovolm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elovolm 24401
Description: Elementhood in the set 𝑀 of approximations to the outer measure. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
elovolm.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
elovolm (𝐵𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem elovolm
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2743 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
21anbi2d 632 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
32rexbidv 3225 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
4 elovolm.1 . . 3 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
53, 4elrab2 3619 . 2 (𝐵𝑀 ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
6 elovolmlem 24400 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
7 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)
8 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
97, 8ovolsf 24398 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
106, 9sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
11 icossxr 13047 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
12 fss 6583 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶ℝ*)
1310, 11, 12sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶ℝ*)
14 frn 6573 . . . . . . . 8 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶ℝ* → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ*)
15 supxrcl 12932 . . . . . . . 8 (ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*))
1816, 17syl5ibrcom 250 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → 𝐵 ∈ ℝ*))
1918imp 410 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2019adantrl 716 . . . 4 ((𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2120rexlimiva 3209 . . 3 (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2221pm4.71ri 564 . 2 (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
235, 22bitr4i 281 1 (𝐵𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wrex 3064  {crab 3067  cin 3881  wss 3882   cuni 4835   × cxp 5566  ran crn 5569  ccom 5572  wf 6396  (class class class)co 7234  m cmap 8531  supcsup 9083  cr 10755  0cc0 10756  1c1 10757   + caddc 10759  +∞cpnf 10891  *cxr 10893   < clt 10894  cle 10895  cmin 11089  cn 11857  (,)cioo 12962  [,)cico 12964  seqcseq 13603  abscabs 14827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10812  ax-resscn 10813  ax-1cn 10814  ax-icn 10815  ax-addcl 10816  ax-addrcl 10817  ax-mulcl 10818  ax-mulrcl 10819  ax-mulcom 10820  ax-addass 10821  ax-mulass 10822  ax-distr 10823  ax-i2m1 10824  ax-1ne0 10825  ax-1rid 10826  ax-rnegex 10827  ax-rrecex 10828  ax-cnre 10829  ax-pre-lttri 10830  ax-pre-lttrn 10831  ax-pre-ltadd 10832  ax-pre-mulgt0 10833  ax-pre-sup 10834
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-er 8414  df-map 8533  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-sup 9085  df-pnf 10896  df-mnf 10897  df-xr 10898  df-ltxr 10899  df-le 10900  df-sub 11091  df-neg 11092  df-div 11517  df-nn 11858  df-2 11920  df-3 11921  df-n0 12118  df-z 12204  df-uz 12466  df-rp 12614  df-ico 12968  df-fz 13123  df-seq 13604  df-exp 13665  df-cj 14692  df-re 14693  df-im 14694  df-sqrt 14828  df-abs 14829
This theorem is referenced by:  elovolmr  24402  ovolmge0  24403  ovolicc2  24448
  Copyright terms: Public domain W3C validator