MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovolmr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elovolmr 23584
Description: Sufficient condition for elementhood in the set 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elovolm.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
elovolmr.2 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
elovolmr ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝑓,𝐹   𝐴,𝑓   𝑆,𝑓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem elovolmr
StepHypRef Expression
1 elovolmlem 23582 . . 3 (𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 elovolmr.2 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
43eqcomd 2805 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹𝐹 = 𝑓)
54coeq2d 5488 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
65seqeq3d 13063 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
72, 6syl5eq 2845 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
87rneqd 5556 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑆 = ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
98supeq1d 8594 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
109biantrud 528 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
11 coeq2 5484 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((,) ∘ 𝑓) = ((,) ∘ 𝐹))
1211rneqd 5556 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ran ((,) ∘ 𝑓) = ran ((,) ∘ 𝐹))
1312unieqd 4638 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 ran ((,) ∘ 𝑓) = ran ((,) ∘ 𝐹))
1413sseq2d 3829 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)))
1510, 14bitr3d 273 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)))
1615rspcev 3497 . . 3 ((𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
171, 16sylanbr 578 . 2 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
18 elovolm.1 . . 3 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
1918elovolm 23583 . 2 (sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
2017, 19sylibr 226 1 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090  {crab 3093  cin 3768  wss 3769   cuni 4628   × cxp 5310  ran crn 5313  ccom 5316  wf 6097  (class class class)co 6878  𝑚 cmap 8095  supcsup 8588  cr 10223  1c1 10225   + caddc 10227  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556  cn 11312  (,)cioo 12424  seqcseq 13055  abscabs 14315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-ico 12430  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317
This theorem is referenced by:  ovollb  23587  ovolshftlem1  23617
  Copyright terms: Public domain W3C validator