MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolunlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolunlem1 24877
Description: Lemma for ovolun 24879. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ))
ovolun.b (πœ‘ β†’ (𝐡 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΅) ∈ ℝ))
ovolun.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
ovolun.s 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
ovolun.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
ovolun.u π‘ˆ = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻))
ovolun.f1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•))
ovolun.f2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
ovolun.f3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π΄) + (𝐢 / 2)))
ovolun.g1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•))
ovolun.g2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
ovolun.g3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π΅) + (𝐢 / 2)))
ovolun.h 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if((𝑛 / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(𝑛 / 2)), (πΉβ€˜((𝑛 + 1) / 2))))
Assertion
Ref Expression
ovolunlem1 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑛   𝑛,𝐹   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝑛,𝐺   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   π‘ˆ(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem ovolunlem1
Dummy variables π‘˜ 𝑧 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ))
21simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 ovolun.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΅) ∈ ℝ))
43simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
52, 4unssd 4147 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† ℝ)
6 ovolun.g1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•))
7 elovolmlem 24854 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ↔ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
86, 7sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
98adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
109ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (𝑛 / 2) ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑛 / 2)) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
11 nneo 12592 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 / 2) ∈ β„• ↔ Β¬ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„•))
1211adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 / 2) ∈ β„• ↔ Β¬ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„•))
1312con2bid 355 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„• ↔ Β¬ (𝑛 / 2) ∈ β„•))
1413biimpar 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ (𝑛 / 2) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„•)
15 ovolun.f1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•))
16 elovolmlem 24854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ↔ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
1817adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
1918ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜((𝑛 + 1) / 2)) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2014, 19syldan 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ (𝑛 / 2) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜((𝑛 + 1) / 2)) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2110, 20ifclda 4522 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if((𝑛 / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(𝑛 / 2)), (πΉβ€˜((𝑛 + 1) / 2))) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
22 ovolun.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if((𝑛 / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(𝑛 / 2)), (πΉβ€˜((𝑛 + 1) / 2))))
2321, 22fmptd 7063 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
24 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻) = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻)
25 ovolun.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻))
2624, 25ovolsf 24852 . . . . . . 7 (𝐻:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ π‘ˆ:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
2723, 26syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
28 rge0ssre 13379 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
29 fss 6686 . . . . . 6 ((π‘ˆ:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ π‘ˆ:β„•βŸΆβ„)
3027, 28, 29sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:β„•βŸΆβ„)
3130frnd 6677 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ βŠ† ℝ)
32 1nn 12169 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
33 1z 12538 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
34 seqfn 13924 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻)) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻)) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
3625fneq1i 6600 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ Fn β„• ↔ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻)) Fn β„•)
37 nnuz 12811 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3837fneq2i 6601 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻)) Fn β„• ↔ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻)) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
3936, 38bitri 275 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ Fn β„• ↔ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐻)) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4035, 39sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ Fn β„•)
4140fndmd 6608 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = β„•)
4232, 41eleqtrrid 2841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ dom π‘ˆ)
4342ne0d 4296 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ β‰  βˆ…)
44 dm0rn0 5881 . . . . . 6 (dom π‘ˆ = βˆ… ↔ ran π‘ˆ = βˆ…)
4544necon3bii 2993 . . . . 5 (dom π‘ˆ β‰  βˆ… ↔ ran π‘ˆ β‰  βˆ…)
4643, 45sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ β‰  βˆ…)
471simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ)
483simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΅) ∈ ℝ)
4947, 48readdcld 11189 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) ∈ ℝ)
50 ovolun.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
5150rpred 12962 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5249, 51readdcld 11189 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢) ∈ ℝ)
53 ovolun.s . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
54 ovolun.t . . . . . . . . 9 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
55 ovolun.f2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
56 ovolun.f3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π΄) + (𝐢 / 2)))
57 ovolun.g2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
58 ovolun.g3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π΅) + (𝐢 / 2)))
591, 3, 50, 53, 54, 25, 15, 55, 56, 6, 57, 58, 22ovolunlem1a 24876 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘˜) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢))
6059ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘ˆβ€˜π‘˜) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢))
61 breq1 5109 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (π‘ˆβ€˜π‘˜) β†’ (𝑧 ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢) ↔ (π‘ˆβ€˜π‘˜) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢)))
6261ralrn 7039 . . . . . . . 8 (π‘ˆ Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘ˆβ€˜π‘˜) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢)))
6340, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘ˆβ€˜π‘˜) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢)))
6460, 63mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢))
65 brralrspcev 5166 . . . . . 6 (((((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ π‘˜)
6652, 64, 65syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ π‘˜)
67 ressxr 11204 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
6831, 67sstrdi 3957 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ βŠ† ℝ*)
69 supxrbnd2 13247 . . . . . 6 (ran π‘ˆ βŠ† ℝ* β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ π‘˜ ↔ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) < +∞))
7068, 69syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ π‘˜ ↔ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) < +∞))
7166, 70mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) < +∞)
72 supxrbnd 13253 . . . 4 ((ran π‘ˆ βŠ† ℝ ∧ ran π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) < +∞) β†’ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
7331, 46, 71, 72syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
74 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
76 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
77752timesd 12401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘š) = (π‘š + π‘š))
7877oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) = ((π‘š + π‘š) βˆ’ 1))
7975, 75, 76, 78assraddsubd 11574 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) = (π‘š + (π‘š βˆ’ 1)))
80 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
81 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ β„•0)
82 nnnn0addcl 12448 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ β„• ∧ (π‘š βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (π‘š + (π‘š βˆ’ 1)) ∈ β„•)
8380, 81, 82syl2anc2 586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + (π‘š βˆ’ 1)) ∈ β„•)
8479, 83eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„•)
85 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) β†’ (𝑛 / 2) = (((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2))
8685eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) β†’ ((𝑛 / 2) ∈ β„• ↔ (((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•))
8785fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) β†’ (πΊβ€˜(𝑛 / 2)) = (πΊβ€˜(((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2)))
88 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) β†’ (𝑛 + 1) = (((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1))
8988fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) β†’ (πΉβ€˜((𝑛 + 1) / 2)) = (πΉβ€˜((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2)))
9086, 87, 89ifbieq12d 4515 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) β†’ if((𝑛 / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(𝑛 / 2)), (πΉβ€˜((𝑛 + 1) / 2))) = if((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2)), (πΉβ€˜((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2))))
91 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΊβ€˜(((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2)) ∈ V
92 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΉβ€˜((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2)) ∈ V
9391, 92ifex 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 if((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2)), (πΉβ€˜((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2))) ∈ V
9490, 22, 93fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„• β†’ (π»β€˜((2 Β· π‘š) βˆ’ 1)) = if((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2)), (πΉβ€˜((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2))))
9584, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜((2 Β· π‘š) βˆ’ 1)) = if((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2)), (πΉβ€˜((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2))))
96 2nn 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„•
97 nnmulcl 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘š) ∈ β„•)
9896, 80, 97sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘š) ∈ β„•)
9998nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘š) ∈ β„‚)
100 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ β„‚
101 npcan 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 Β· π‘š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) = (2 Β· π‘š))
10299, 100, 101sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) = (2 Β· π‘š))
103102oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2) = ((2 Β· π‘š) / 2))
104 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ β„‚
105 2ne0 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 β‰  0
106 divcan3 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((2 Β· π‘š) / 2) = π‘š)
107104, 105, 106mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· π‘š) / 2) = π‘š)
10875, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘š) / 2) = π‘š)
109103, 108eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2) = π‘š)
110109, 80eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2) ∈ β„•)
111 nneo 12592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„• ↔ Β¬ ((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2) ∈ β„•))
11284, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„• ↔ Β¬ ((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2) ∈ β„•))
113112con2bid 355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2) ∈ β„• ↔ Β¬ (((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•))
114110, 113mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Β¬ (((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
115114iffalsed 4498 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ if((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) / 2)), (πΉβ€˜((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2))) = (πΉβ€˜((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2)))
116109fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) + 1) / 2)) = (πΉβ€˜π‘š))
11795, 115, 1163eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜((2 Β· π‘š) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜π‘š))
118 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = ((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) β†’ ((π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š) ↔ (π»β€˜((2 Β· π‘š) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜π‘š)))
119118rspcev 3580 . . . . . . . . . . 11 ((((2 Β· π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ (π»β€˜((2 Β· π‘š) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜π‘š)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
12084, 117, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
121 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š) β†’ (1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
122121breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 ((π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š) β†’ ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ↔ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧))
123 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š) β†’ (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
124123breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . 13 ((π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š) β†’ (𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)) ↔ 𝑧 < (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š))))
125122, 124anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 ((π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š) β†’ (((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š)))))
126125biimprcd 250 . . . . . . . . . . 11 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š))) β†’ ((π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š) β†’ ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
127126reximdv 3164 . . . . . . . . . 10 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
128120, 127syl5com 31 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
129128rexlimdva 3149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„• ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
130129ralimdv 3163 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘š ∈ β„• ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
131 ovolfioo 24847 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘š ∈ β„• ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š)))))
1322, 17, 131syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘š ∈ β„• ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘š)))))
133 ovolfioo 24847 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐻:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
1342, 23, 133syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
135130, 132, 1343imtr4d 294 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻)))
13655, 135mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻))
137 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (2 Β· π‘š) β†’ (𝑛 / 2) = ((2 Β· π‘š) / 2))
138137eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (2 Β· π‘š) β†’ ((𝑛 / 2) ∈ β„• ↔ ((2 Β· π‘š) / 2) ∈ β„•))
139137fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (2 Β· π‘š) β†’ (πΊβ€˜(𝑛 / 2)) = (πΊβ€˜((2 Β· π‘š) / 2)))
140 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (2 Β· π‘š) β†’ (𝑛 + 1) = ((2 Β· π‘š) + 1))
141140fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (2 Β· π‘š) β†’ (πΉβ€˜((𝑛 + 1) / 2)) = (πΉβ€˜(((2 Β· π‘š) + 1) / 2)))
142138, 139, 141ifbieq12d 4515 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (2 Β· π‘š) β†’ if((𝑛 / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜(𝑛 / 2)), (πΉβ€˜((𝑛 + 1) / 2))) = if(((2 Β· π‘š) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜((2 Β· π‘š) / 2)), (πΉβ€˜(((2 Β· π‘š) + 1) / 2))))
143 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΊβ€˜((2 Β· π‘š) / 2)) ∈ V
144 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΉβ€˜(((2 Β· π‘š) + 1) / 2)) ∈ V
145143, 144ifex 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 if(((2 Β· π‘š) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜((2 Β· π‘š) / 2)), (πΉβ€˜(((2 Β· π‘š) + 1) / 2))) ∈ V
146142, 22, 145fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 Β· π‘š) ∈ β„• β†’ (π»β€˜(2 Β· π‘š)) = if(((2 Β· π‘š) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜((2 Β· π‘š) / 2)), (πΉβ€˜(((2 Β· π‘š) + 1) / 2))))
14798, 146syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜(2 Β· π‘š)) = if(((2 Β· π‘š) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜((2 Β· π‘š) / 2)), (πΉβ€˜(((2 Β· π‘š) + 1) / 2))))
148108, 80eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘š) / 2) ∈ β„•)
149148iftrued 4495 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ if(((2 Β· π‘š) / 2) ∈ β„•, (πΊβ€˜((2 Β· π‘š) / 2)), (πΉβ€˜(((2 Β· π‘š) + 1) / 2))) = (πΊβ€˜((2 Β· π‘š) / 2)))
150108fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜((2 Β· π‘š) / 2)) = (πΊβ€˜π‘š))
151147, 149, 1503eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜(2 Β· π‘š)) = (πΊβ€˜π‘š))
152 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (2 Β· π‘š) β†’ ((π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š) ↔ (π»β€˜(2 Β· π‘š)) = (πΊβ€˜π‘š)))
153152rspcev 3580 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· π‘š) ∈ β„• ∧ (π»β€˜(2 Β· π‘š)) = (πΊβ€˜π‘š)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š))
15498, 151, 153syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š))
155 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š) β†’ (1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)))
156155breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 ((π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š) β†’ ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ↔ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)) < 𝑧))
157 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š) β†’ (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š)))
158157breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . 13 ((π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š) β†’ (𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)) ↔ 𝑧 < (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š))))
159156, 158anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 ((π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š) β†’ (((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š)))))
160159biimprcd 250 . . . . . . . . . . 11 (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š))) β†’ ((π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š) β†’ ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
161160reximdv 3164 . . . . . . . . . 10 (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π»β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
162154, 161syl5com 31 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
163162rexlimdva 3149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„• ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
164163ralimdv 3163 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘š ∈ β„• ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
165 ovolfioo 24847 . . . . . . . 8 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))) β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘š ∈ β„• ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š)))))
1664, 8, 165syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘š ∈ β„• ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘š)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘š)))))
167 ovolfioo 24847 . . . . . . . 8 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐻:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))) β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
1684, 23, 167syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((1st β€˜(π»β€˜π‘˜)) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (2nd β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
169164, 166, 1683imtr4d 294 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻)))
17057, 169mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻))
171136, 170unssd 4147 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻))
17225ovollb 24859 . . . 4 ((𝐻:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐻)) β†’ (vol*β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ))
17323, 171, 172syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ))
174 ovollecl 24863 . . 3 (((𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† ℝ ∧ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < )) β†’ (vol*β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ ℝ)
1755, 73, 173, 174syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ ℝ)
17652rexrd 11210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢) ∈ ℝ*)
177 supxrleub 13251 . . . 4 ((ran π‘ˆ βŠ† ℝ* ∧ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢)))
17868, 176, 177syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran π‘ˆ 𝑧 ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢)))
17964, 178mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran π‘ˆ, ℝ*, < ) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢))
180175, 73, 52, 173, 179letrd 11317 1 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ (((vol*β€˜π΄) + (vol*β€˜π΅)) + 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921   ↑m cmap 8768  supcsup 9381  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,)cico 13272  seqcseq 13912  abscabs 15125  vol*covol 24842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-ovol 24844
This theorem is referenced by:  ovolunlem2  24878
  Copyright terms: Public domain W3C validator