MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolunlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolunlem1a 23568
Description: Lemma for ovolun 23571. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
ovolun.b (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
ovolun.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ovolun.s 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ovolun.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ovolun.u 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ovolun.f1 (𝜑𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ))
ovolun.f2 (𝜑𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹))
ovolun.f3 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)))
ovolun.g1 (𝜑𝐺 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ))
ovolun.g2 (𝜑𝐵 ran ((,) ∘ 𝐺))
ovolun.g3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)))
ovolun.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))))
Assertion
Ref Expression
ovolunlem1a ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈𝑘) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐶   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐻   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑘,𝑛   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑈,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem ovolunlem1a
Dummy variables 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.g1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ))
2 elovolmlem 23546 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
31, 2sylib 209 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
43adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
54ffvelrnda 6553 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑛 / 2)) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
6 nneo 11713 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ))
76adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ))
87con2bid 345 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
98biimpar 469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ)
10 ovolun.f1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ))
11 elovolmlem 23546 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
1210, 11sylib 209 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
1312adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
1413ffvelrnda 6553 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
159, 14syldan 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
165, 15ifclda 4279 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
17 ovolun.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))))
1816, 17fmptd 6578 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
19 eqid 2765 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)
20 ovolun.u . . . . . 6 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
2119, 20ovolsf 23544 . . . . 5 (𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑈:ℕ⟶(0[,)+∞))
2218, 21syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈:ℕ⟶(0[,)+∞))
23 rge0ssre 12489 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
24 fss 6238 . . . 4 ((𝑈:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝑈:ℕ⟶ℝ)
2522, 23, 24sylancl 580 . . 3 (𝜑𝑈:ℕ⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6553 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈𝑘) ∈ ℝ)
27 2nn 11349 . . . 4 2 ∈ ℕ
28 peano2nn 11292 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2928adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3029nnred 11295 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
3130rehalfcld 11529 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℝ)
3231flcld 12812 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
33 ax-1cn 10251 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
34332timesi 11421 . . . . . . . 8 (2 · 1) = (1 + 1)
35 nnge1 11307 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
3635adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
37 nnre 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3837adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
39 1re 10297 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
40 leadd1 10754 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ (𝑘 + 1)))
4139, 39, 40mp3an13 1576 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ (𝑘 + 1)))
4238, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ (𝑘 + 1)))
4336, 42mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
4434, 43syl5eqbr 4846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 1) ≤ (𝑘 + 1))
45 2re 11350 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
46 2pos 11386 . . . . . . . . . 10 0 < 2
4745, 46pm3.2i 462 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
48 lemuldiv2 11162 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 1) ≤ (𝑘 + 1) ↔ 1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2)))
4939, 47, 48mp3an13 1576 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) ∈ ℝ → ((2 · 1) ≤ (𝑘 + 1) ↔ 1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2)))
5030, 49syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 1) ≤ (𝑘 + 1) ↔ 1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2)))
5144, 50mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2))
52 1z 11659 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
53 flge 12819 . . . . . . 7 ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
5431, 52, 53sylancl 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
5551, 54mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))
56 elnnz1 11655 . . . . 5 ((⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
5732, 55, 56sylanbrc 578 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ)
58 nnmulcl 11303 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ) → (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ)
5927, 57, 58sylancr 581 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ)
6025ffvelrnda 6553 . . 3 ((𝜑 ∧ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) ∈ ℝ)
6159, 60syldan 585 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) ∈ ℝ)
62 ovolun.a . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
6362simprd 489 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
64 ovolun.b . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
6564simprd 489 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
6663, 65readdcld 10327 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
67 ovolun.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
6867rpred 12075 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6966, 68readdcld 10327 . . 3 (𝜑 → (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝐶) ∈ ℝ)
7069adantr 472 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝐶) ∈ ℝ)
71 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
72 nnuz 11928 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
7371, 72syl6eleq 2854 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
74 nnz 11651 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
7574adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
76 flhalf 12844 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
7775, 76syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
78 nnz 11651 . . . . . . 7 ((2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ → (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
79 eluz 11905 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → ((2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ (ℤ𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
8074, 78, 79syl2an 589 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ) → ((2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ (ℤ𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
8171, 59, 80syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ (ℤ𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
8277, 81mpbird 248 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ (ℤ𝑘))
83 elfznn 12582 . . . . 5 (𝑗 ∈ (1...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) → 𝑗 ∈ ℕ)
8419ovolfsf 23543 . . . . . . . . . 10 (𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻):ℕ⟶(0[,)+∞))
8518, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻):ℕ⟶(0[,)+∞))
8685adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻):ℕ⟶(0[,)+∞))
8786ffvelrnda 6553 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (0[,)+∞))
88 elrege0 12487 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗)))
8987, 88sylib 209 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗)))
9089simpld 488 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ ℝ)
9183, 90sylan2 586 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ ℝ)
92 elfzuz 12550 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ((𝑘 + 1)...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
93 eluznn 11964 . . . . . 6 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
9429, 92, 93syl2an 589 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑘 + 1)...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))) → 𝑗 ∈ ℕ)
9589simprd 489 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗))
9694, 95syldan 585 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑘 + 1)...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))) → 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗))
9773, 82, 91, 96sermono 13045 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘𝑘) ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
9820fveq1i 6380 . . 3 (𝑈𝑘) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘𝑘)
9920fveq1i 6380 . . 3 (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
10097, 98, 993brtr4g 4845 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈𝑘) ≤ (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
101 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
102 ovolun.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
103101, 102ovolsf 23544 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
10412, 103syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
105104frnd 6232 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
106105, 23syl6ss 3775 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
107106adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
108104ffnd 6226 . . . . . 6 (𝜑𝑆 Fn ℕ)
109 fnfvelrn 6550 . . . . . 6 ((𝑆 Fn ℕ ∧ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑆)
110108, 57, 109syl2an2r 675 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑆)
111107, 110sseldd 3764 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
112 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
113 ovolun.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
114112, 113ovolsf 23544 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
1153, 114syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
116115frnd 6232 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
117116, 23syl6ss 3775 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
118117adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
119115ffnd 6226 . . . . . 6 (𝜑𝑇 Fn ℕ)
120 fnfvelrn 6550 . . . . . 6 ((𝑇 Fn ℕ ∧ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑇)
121119, 57, 120syl2an2r 675 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑇)
122118, 121sseldd 3764 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
12368rehalfcld 11529 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
12463, 123readdcld 10327 . . . . 5 (𝜑 → ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
125124adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
12665, 123readdcld 10327 . . . . 5 (𝜑 → ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
127126adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
128 ressxr 10341 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
129106, 128syl6ss 3775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
130 supxrcl 12352 . . . . . . . 8 (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
131129, 130syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
132 1nn 11291 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
133104fdmd 6234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑆 = ℕ)
134132, 133syl5eleqr 2851 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑆)
135134ne0d 4088 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑆 ≠ ∅)
136 dm0rn0 5512 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 = ∅ ↔ ran 𝑆 = ∅)
137136necon3bii 2989 . . . . . . . . 9 (dom 𝑆 ≠ ∅ ↔ ran 𝑆 ≠ ∅)
138135, 137sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝑆 ≠ ∅)
139 supxrgtmnf 12366 . . . . . . . 8 ((ran 𝑆 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑆 ≠ ∅) → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
140106, 138, 139syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
141 ovolun.f3 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)))
142 xrre 12207 . . . . . . 7 (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
143131, 124, 140, 141, 142syl22anc 867 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
144143adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
145 supxrub 12361 . . . . . 6 ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
146129, 110, 145syl2an2r 675 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
147141adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)))
148111, 144, 125, 146, 147letrd 10452 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)))
149117, 128syl6ss 3775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
150 supxrcl 12352 . . . . . . . 8 (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
151149, 150syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
152115fdmd 6234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
153132, 152syl5eleqr 2851 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
154153ne0d 4088 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
155 dm0rn0 5512 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
156155necon3bii 2989 . . . . . . . . 9 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
157154, 156sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
158 supxrgtmnf 12366 . . . . . . . 8 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅) → -∞ < sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
159117, 157, 158syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
160 ovolun.g3 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)))
161 xrre 12207 . . . . . . 7 (((sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)))) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
162151, 126, 159, 160, 161syl22anc 867 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
163162adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
164 supxrub 12361 . . . . . 6 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ* ∧ (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑇) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
165149, 121, 164syl2an2r 675 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
166160adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)))
167122, 163, 127, 165, 166letrd 10452 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)))
168111, 122, 125, 127, 148, 167le2addd 10904 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) ≤ (((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)) + ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2))))
169 oveq2 6854 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (2 · 𝑧) = (2 · 1))
170169fveq2d 6383 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = (𝑈‘(2 · 1)))
171 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (𝑆𝑧) = (𝑆‘1))
172 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (𝑇𝑧) = (𝑇‘1))
173171, 172oveq12d 6864 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)) = ((𝑆‘1) + (𝑇‘1)))
174170, 173eqeq12d 2780 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → ((𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)) ↔ (𝑈‘(2 · 1)) = ((𝑆‘1) + (𝑇‘1))))
175174imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝑈‘(2 · 1)) = ((𝑆‘1) + (𝑇‘1)))))
176 oveq2 6854 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑘 → (2 · 𝑧) = (2 · 𝑘))
177176fveq2d 6383 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑘 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = (𝑈‘(2 · 𝑘)))
178 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑘 → (𝑆𝑧) = (𝑆𝑘))
179 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑘 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑘))
180178, 179oveq12d 6864 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑘 → ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)) = ((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘)))
181177, 180eqeq12d 2780 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑘 → ((𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)) ↔ (𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘))))
182181imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘)))))
183 oveq2 6854 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑧) = (2 · (𝑘 + 1)))
184183fveq2d 6383 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))))
185 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝑆𝑧) = (𝑆‘(𝑘 + 1)))
186 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝑇𝑧) = (𝑇‘(𝑘 + 1)))
187185, 186oveq12d 6864 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))))
188184, 187eqeq12d 2780 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)) ↔ (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1)))))
189188imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))))))
190 oveq2 6854 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → (2 · 𝑧) = (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
191190fveq2d 6383 . . . . . . . 8 (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
192 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → (𝑆𝑧) = (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
193 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → (𝑇𝑧) = (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
194192, 193oveq12d 6864 . . . . . . . 8 (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
195191, 194eqeq12d 2780 . . . . . . 7 (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → ((𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)) ↔ (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))))
196195imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))))
19720fveq1i 6380 . . . . . . . 8 (𝑈‘(2 · 1)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 1))
19819ovolfsval 23542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 1 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘1) = ((2nd ‘(𝐻‘1)) − (1st ‘(𝐻‘1))))
19918, 132, 198sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘1) = ((2nd ‘(𝐻‘1)) − (1st ‘(𝐻‘1))))
200 halfnz 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
201 nnz 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (𝑛 / 2) ∈ ℤ)
202 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 1 → (𝑛 / 2) = (1 / 2))
203202eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 1 → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
204201, 203syl5ib 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℤ))
205200, 204mtoi 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
206205iffalsed 4256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)))
207 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
208 df-2 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
209207, 208syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
210209oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑛 + 1) / 2) = (2 / 2))
211 2div2e1 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 / 2) = 1
212210, 211syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → ((𝑛 + 1) / 2) = 1)
213212fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) = (𝐹‘1))
214206, 213eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = (𝐹‘1))
215 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹‘1) ∈ V
216214, 17, 215fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℕ → (𝐻‘1) = (𝐹‘1))
217132, 216ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻‘1) = (𝐹‘1)
218217fveq2i 6382 . . . . . . . . . . . 12 (2nd ‘(𝐻‘1)) = (2nd ‘(𝐹‘1))
219217fveq2i 6382 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘(𝐻‘1)) = (1st ‘(𝐹‘1))
220218, 219oveq12i 6858 . . . . . . . . . . 11 ((2nd ‘(𝐻‘1)) − (1st ‘(𝐻‘1))) = ((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1)))
221199, 220syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘1) = ((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1))))
22252, 221seq1i 13027 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘1) = ((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1))))
223 2t1e2 11445 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
224223fveq2i 6382 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(2 · 1)) = (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘2)
22519ovolfsval 23542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 2 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘2) = ((2nd ‘(𝐻‘2)) − (1st ‘(𝐻‘2))))
22618, 27, 225sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘2) = ((2nd ‘(𝐻‘2)) − (1st ‘(𝐻‘2))))
227 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 2 → (𝑛 / 2) = (2 / 2))
228227, 211syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 2 → (𝑛 / 2) = 1)
229228, 132syl6eqel 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 2 → (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
230229iftrued 4253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 2 → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = (𝐺‘(𝑛 / 2)))
231228fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 2 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘1))
232230, 231eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 2 → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = (𝐺‘1))
233 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺‘1) ∈ V
234232, 17, 233fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℕ → (𝐻‘2) = (𝐺‘1))
23527, 234ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻‘2) = (𝐺‘1)
236235fveq2i 6382 . . . . . . . . . . . 12 (2nd ‘(𝐻‘2)) = (2nd ‘(𝐺‘1))
237235fveq2i 6382 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘(𝐻‘2)) = (1st ‘(𝐺‘1))
238236, 237oveq12i 6858 . . . . . . . . . . 11 ((2nd ‘(𝐻‘2)) − (1st ‘(𝐻‘2))) = ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1)))
239226, 238syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘2) = ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1))))
240224, 239syl5eq 2811 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(2 · 1)) = ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1))))
24172, 132, 34, 222, 240seqp1i 13029 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 1)) = (((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1))) + ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1)))))
242197, 241syl5eq 2811 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈‘(2 · 1)) = (((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1))) + ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1)))))
243102fveq1i 6380 . . . . . . . . 9 (𝑆‘1) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘1)
244101ovolfsval 23542 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 1 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘1) = ((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1))))
24512, 132, 244sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘1) = ((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1))))
24652, 245seq1i 13027 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘1) = ((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1))))
247243, 246syl5eq 2811 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘1) = ((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1))))
248113fveq1i 6380 . . . . . . . . 9 (𝑇‘1) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘1)
249112ovolfsval 23542 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 1 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘1) = ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1))))
2503, 132, 249sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘1) = ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1))))
25152, 250seq1i 13027 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘1) = ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1))))
252248, 251syl5eq 2811 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘1) = ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1))))
253247, 252oveq12d 6864 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘1) + (𝑇‘1)) = (((2nd ‘(𝐹‘1)) − (1st ‘(𝐹‘1))) + ((2nd ‘(𝐺‘1)) − (1st ‘(𝐺‘1)))))
254242, 253eqtr4d 2802 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈‘(2 · 1)) = ((𝑆‘1) + (𝑇‘1)))
255 oveq1 6853 . . . . . . . . 9 ((𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘)) → ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))) = (((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
25634oveq2i 6857 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1))
257 2cnd 11354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
25838recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
259 1cnd 10292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
260257, 258, 259adddid 10322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
261 nnmulcl 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
26227, 261mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
263262adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
264263nncnd 11296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
265264, 259, 259addassd 10320 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1)))
266256, 260, 2653eqtr4a 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) + 1))
267266fveq2d 6383 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = (𝑈‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))
26820fveq1i 6380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))
269263peano2nnd 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
270269, 72syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘1))
271 seqp1 13028 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘1) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))))
272270, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))))
273263, 72syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ (ℤ‘1))
274 seqp1 13028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑘) ∈ (ℤ‘1) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1))))
275273, 274syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1))))
27620fveq1i 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈‘(2 · 𝑘)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘))
277276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘)))
278 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝑛 / 2) = (((2 · 𝑘) + 1) / 2))
279278eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ ↔ (((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ))
280278fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)))
281 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝑛 + 1) = (((2 · 𝑘) + 1) + 1))
282281fvoveq1d 6868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) = (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2)))
283279, 280, 282ifbieq12d 4272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))))
284 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)) ∈ V
285 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2)) ∈ V
286284, 285ifex 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))) ∈ V
287283, 17, 286fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ → (𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)) = if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))))
288269, 287syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)) = if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))))
289 2ne0 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ≠ 0
290289a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
291258, 257, 290divcan3d 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) / 2) = 𝑘)
292291, 71eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) / 2) ∈ ℕ)
293 nneo 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ))
294263, 293syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ))
295292, 294mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ)
296295iffalsed 4256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))) = (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2)))
297266oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) = ((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))
29829nncnd 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
299 2cn 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℂ
300 divcan3 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) = (𝑘 + 1))
301299, 289, 300mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 + 1) ∈ ℂ → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) = (𝑘 + 1))
302298, 301syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) = (𝑘 + 1))
303297, 302eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2) = (𝑘 + 1))
304303fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
305288, 296, 3043eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
306305fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) = (2nd ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
307305fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) = (1st ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
308306, 307oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2nd ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) − (1st ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)))) = ((2nd ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) − (1st ‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
30919ovolfsval 23542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((2nd ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) − (1st ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)))))
31018, 269, 309syl2an2r 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((2nd ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) − (1st ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)))))
311101ovolfsval 23542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((2nd ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) − (1st ‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
31212, 28, 311syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((2nd ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) − (1st ‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
313308, 310, 3123eqtr4rd 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1)))
314277, 313oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1))))
315275, 314eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
316266fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘(2 · (𝑘 + 1))) = (𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))
317269peano2nnd 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) ∈ ℕ)
318266, 317eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
319 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → (𝑛 / 2) = ((2 · (𝑘 + 1)) / 2))
320319eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ ↔ ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ))
321319fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)))
322 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → (𝑛 + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
323322fvoveq1d 6868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) = (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2)))
324320, 321, 323ifbieq12d 4272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))))
325 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)) ∈ V
326 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2)) ∈ V
327325, 326ifex 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))) ∈ V
328324, 17, 327fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ → (𝐻‘(2 · (𝑘 + 1))) = if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))))
329318, 328syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘(2 · (𝑘 + 1))) = if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))))
330302, 29eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ)
331330iftrued 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))) = (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)))
332302fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
333329, 331, 3323eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘(2 · (𝑘 + 1))) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
334316, 333eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
335334fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) = (2nd ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
336334fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) = (1st ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
337335, 336oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2nd ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) − (1st ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))) = ((2nd ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) − (1st ‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
33819ovolfsval 23542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ (((2 · 𝑘) + 1) + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2nd ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) − (1st ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))))
33918, 317, 338syl2an2r 675 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2nd ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) − (1st ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))))
340112ovolfsval 23542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) = ((2nd ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) − (1st ‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
3413, 28, 340syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) = ((2nd ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) − (1st ‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
342337, 339, 3413eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))
343315, 342oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) = (((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
344272, 343eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
345268, 344syl5eq 2811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
346 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
34722, 262, 346syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
34823, 347sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
349348recnd 10326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
350101ovolfsf 23543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶(0[,)+∞))
35112, 350syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶(0[,)+∞))
352 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ (0[,)+∞))
353351, 28, 352syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ (0[,)+∞))
35423, 353sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
355354recnd 10326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
356112ovolfsf 23543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺):ℕ⟶(0[,)+∞))
3573, 356syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺):ℕ⟶(0[,)+∞))
358 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐺):ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (0[,)+∞))
359357, 28, 358syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (0[,)+∞))
36023, 359sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
361360recnd 10326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
362349, 355, 361addassd 10320 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))) = ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
363267, 345, 3623eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
364 seqp1 13028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
36573, 364syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
366102fveq1i 6380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘(𝑘 + 1))
367102fveq1i 6380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝑘) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘𝑘)
368367oveq1i 6856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
369365, 366, 3683eqtr4g 2824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
370 seqp1 13028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
37173, 370syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
372113fveq1i 6380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(𝑘 + 1)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘(𝑘 + 1))
373113fveq1i 6380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇𝑘) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘𝑘)
374373oveq1i 6856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))
375371, 372, 3743eqtr4g 2824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑘 + 1)) = ((𝑇𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
376369, 375oveq12d 6864 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))) = (((𝑆𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + ((𝑇𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
377104ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ (0[,)+∞))
37823, 377sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
379378recnd 10326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℂ)
380115ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇𝑘) ∈ (0[,)+∞))
38123, 380sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ)
382381recnd 10326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
383379, 355, 382, 361add4d 10522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑆𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + ((𝑇𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))) = (((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
384376, 383eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))) = (((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
385363, 384eqeq12d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))) = (((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))))
386255, 385syl5ibr 237 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘)) → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1)))))
387386expcom 402 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘)) → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))))))
388387a2d 29 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑇𝑘))) → (𝜑 → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))))))
389175, 182, 189, 196, 254, 388nnind 11298 . . . . 5 ((⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ → (𝜑 → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))))
390389impcom 396 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
39157, 390syldan 585 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
39263adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
393392recnd 10326 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
39468adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
395394rehalfcld 11529 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
396395recnd 10326 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 / 2) ∈ ℂ)
39765adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
398397recnd 10326 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℂ)
399393, 396, 398, 396add4d 10522 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)) + ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2))) = (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
400394recnd 10326 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4014002halvesd 11528 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
402401oveq2d 6862 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))) = (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝐶))
403399, 402eqtr2d 2800 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝐶) = (((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)) + ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2))))
404168, 391, 4033brtr4d 4843 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝐶))
40526, 61, 70, 100, 404letrd 10452 1 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈𝑘) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cin 3733  wss 3734  c0 4081  ifcif 4245   cuni 4596   class class class wbr 4811  cmpt 4890   × cxp 5277  dom cdm 5279  ran crn 5280  ccom 5283   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  1st c1st 7368  2nd c2nd 7369  𝑚 cmap 8064  supcsup 8557  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  +∞cpnf 10329  -∞cmnf 10330  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524   / cdiv 10942  cn 11278  2c2 11331  cz 11628  cuz 11891  +crp 12033  (,)cioo 12382  [,)cico 12384  ...cfz 12538  cfl 12804  seqcseq 13013  abscabs 14273  vol*covol 23534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-ico 12388  df-fz 12539  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275
This theorem is referenced by:  ovolunlem1  23569
  Copyright terms: Public domain W3C validator