MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolmge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolmge0 25526
Description: The set 𝑀 is composed of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
elovolm.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolmge0 (𝐵𝑀 → 0 ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolmge0
StepHypRef Expression
1 elovolm.1 . . 3 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
21elovolm 25524 . 2 (𝐵𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
3 elovolmlem 25523 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)
5 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
64, 5ovolsf 25521 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
7 1nn 12275 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ (0[,)+∞))
96, 7, 8sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ (0[,)+∞))
10 elrege0 13491 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1)))
1110simprbi 496 . . . . . . . 8 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1))
136frnd 6745 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ (0[,)+∞))
14 icossxr 13469 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
1513, 14sstrdi 4008 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ*)
166ffnd 6738 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) Fn ℕ)
17 fnfvelrn 7100 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
1816, 7, 17sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
19 supxrub 13363 . . . . . . . 8 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
2015, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
21 0xr 11306 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2214, 9sselid 3993 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ℝ*)
23 supxrcl 13354 . . . . . . . . 9 (ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2415, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
25 xrletr 13197 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ℝ* ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
2621, 22, 24, 25mp3an2i 1465 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
2712, 20, 26mp2and 699 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
283, 27sylbi 217 . . . . 5 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
29 breq2 5152 . . . . 5 (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
3028, 29syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → 0 ≤ 𝐵))
3130adantld 490 . . 3 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 0 ≤ 𝐵))
3231rexlimiv 3146 . 2 (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 0 ≤ 𝐵)
332, 32sylbi 217 1 (𝐵𝑀 → 0 ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  cin 3962  wss 3963   cuni 4912   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ran crn 5690  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  supcsup 9478  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  seqcseq 14039  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  ovolge0  25530
  Copyright terms: Public domain W3C validator