Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolmge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolmge0 24191
 Description: The set 𝑀 is composed of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
elovolm.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolmge0 (𝐵𝑀 → 0 ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolmge0
StepHypRef Expression
1 elovolm.1 . . 3 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
21elovolm 24189 . 2 (𝐵𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
3 elovolmlem 24188 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)
5 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
64, 5ovolsf 24186 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
7 1nn 11698 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 ffvelrn 6846 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ (0[,)+∞))
96, 7, 8sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ (0[,)+∞))
10 elrege0 12899 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1)))
1110simprbi 500 . . . . . . . 8 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1))
136frnd 6510 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ (0[,)+∞))
14 icossxr 12877 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
1513, 14sstrdi 3906 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ*)
166ffnd 6504 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) Fn ℕ)
17 fnfvelrn 6845 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
1816, 7, 17sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
19 supxrub 12771 . . . . . . . 8 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
2015, 18, 19syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
21 0xr 10739 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2214, 9sseldi 3892 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ℝ*)
23 supxrcl 12762 . . . . . . . . 9 (ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2415, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
25 xrletr 12605 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∈ ℝ* ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
2621, 22, 24, 25mp3an2i 1463 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((0 ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))‘1) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
2712, 20, 26mp2and 698 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
283, 27sylbi 220 . . . . 5 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
29 breq2 5040 . . . . 5 (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
3028, 29syl5ibrcom 250 . . . 4 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → 0 ≤ 𝐵))
3130adantld 494 . . 3 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 0 ≤ 𝐵))
3231rexlimiv 3204 . 2 (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 0 ≤ 𝐵)
332, 32sylbi 220 1 (𝐵𝑀 → 0 ≤ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  {crab 3074   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ∪ cuni 4801   class class class wbr 5036   × cxp 5526  ran crn 5529   ∘ ccom 5532   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ↑m cmap 8422  supcsup 8950  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591  +∞cpnf 10723  ℝ*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727   − cmin 10921  ℕcn 11687  (,)cioo 12792  [,)cico 12794  seqcseq 13431  abscabs 14654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-ico 12798  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656 This theorem is referenced by:  ovolge0  24195
 Copyright terms: Public domain W3C validator