Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrfirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrfirn 41065
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐡   𝑣,𝐹,𝑦   𝑣,𝐼   𝑣,𝑉   𝑦,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem elrfirn
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frn 6679 . . 3 (𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐡)
2 elrfi 41064 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀)))
31, 2sylan2 594 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀)))
4 imassrn 6028 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ran 𝐹
5 pwexg 5337 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐡 ∈ V)
6 ssexg 5284 . . . . . . . 8 ((ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ 𝒫 𝐡 ∈ V) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
71, 5, 6syl2anr 598 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
8 elpw2g 5305 . . . . . . 7 (ran 𝐹 ∈ V β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝒫 ran 𝐹 ↔ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ran 𝐹))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝒫 ran 𝐹 ↔ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ran 𝐹))
104, 9mpbiri 258 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝒫 ran 𝐹)
1110adantr 482 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝒫 ran 𝐹)
12 ffun 6675 . . . . . 6 (𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡 β†’ Fun 𝐹)
1312ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ Fun 𝐹)
14 inss2 4193 . . . . . . 7 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) βŠ† Fin
1514sseli 3944 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ Fin)
1615adantl 483 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ 𝑣 ∈ Fin)
17 imafi 9125 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ Fin) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ Fin)
1813, 16, 17syl2anc 585 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ Fin)
1911, 18elind 4158 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin))
20 ffn 6672 . . . . . 6 (𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
2120ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
22 inss1 4192 . . . . . . . 8 (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 ran 𝐹
2322sseli 3944 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) β†’ 𝑀 ∈ 𝒫 ran 𝐹)
2423elpwid 4573 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) β†’ 𝑀 βŠ† ran 𝐹)
2524adantl 483 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ 𝑀 βŠ† ran 𝐹)
26 inss2 4193 . . . . . . 7 (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) βŠ† Fin
2726sseli 3944 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
2827adantl 483 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
29 fipreima 9308 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝑀 βŠ† ran 𝐹 ∧ 𝑀 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)(𝐹 β€œ 𝑣) = 𝑀)
3021, 25, 28, 29syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)(𝐹 β€œ 𝑣) = 𝑀)
31 eqcom 2740 . . . . 5 ((𝐹 β€œ 𝑣) = 𝑀 ↔ 𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣))
3231rexbii 3094 . . . 4 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)(𝐹 β€œ 𝑣) = 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣))
3330, 32sylib 217 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣))
34 inteq 4914 . . . . . 6 (𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣) β†’ ∩ 𝑀 = ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))
3534ineq2d 4176 . . . . 5 (𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣) β†’ (𝐡 ∩ ∩ 𝑀) = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)))
3635eqeq2d 2744 . . . 4 (𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))))
3736adantl 483 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣)) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))))
3819, 33, 37rexxfrd 5368 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))))
3920ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
40 inss1 4192 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝐼
4140sseli 3944 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 𝐼)
4241elpwid 4573 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
4342adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
44 imaiinfv 41063 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦) = ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))
4539, 43, 44syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦) = ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))
4645eqcomd 2739 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))
4746ineq2d 4176 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)) = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦)))
4847eqeq2d 2744 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))))
4948rexbidva 3170 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))))
503, 38, 493bitrd 305 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆ© cint 4911  βˆ© ciin 4959  ran crn 5638   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  Fincfn 8889  ficfi 9354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1o 8416  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355
This theorem is referenced by:  elrfirn2  41066
  Copyright terms: Public domain W3C validator