Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrfirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrfirn 41423
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐡   𝑣,𝐹,𝑦   𝑣,𝐼   𝑣,𝑉   𝑦,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem elrfirn
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frn 6724 . . 3 (𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐡)
2 elrfi 41422 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀)))
31, 2sylan2 593 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀)))
4 imassrn 6070 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ran 𝐹
5 pwexg 5376 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐡 ∈ V)
6 ssexg 5323 . . . . . . . 8 ((ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ 𝒫 𝐡 ∈ V) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
71, 5, 6syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
8 elpw2g 5344 . . . . . . 7 (ran 𝐹 ∈ V β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝒫 ran 𝐹 ↔ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ran 𝐹))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝒫 ran 𝐹 ↔ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ran 𝐹))
104, 9mpbiri 257 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝒫 ran 𝐹)
1110adantr 481 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝒫 ran 𝐹)
12 ffun 6720 . . . . . 6 (𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡 β†’ Fun 𝐹)
1312ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ Fun 𝐹)
14 inss2 4229 . . . . . . 7 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) βŠ† Fin
1514sseli 3978 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ Fin)
1615adantl 482 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ 𝑣 ∈ Fin)
17 imafi 9174 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ Fin) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ Fin)
1813, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ Fin)
1911, 18elind 4194 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin))
20 ffn 6717 . . . . . 6 (𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
2120ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
22 inss1 4228 . . . . . . . 8 (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 ran 𝐹
2322sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) β†’ 𝑀 ∈ 𝒫 ran 𝐹)
2423elpwid 4611 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) β†’ 𝑀 βŠ† ran 𝐹)
2524adantl 482 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ 𝑀 βŠ† ran 𝐹)
26 inss2 4229 . . . . . . 7 (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) βŠ† Fin
2726sseli 3978 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
2827adantl 482 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
29 fipreima 9357 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝑀 βŠ† ran 𝐹 ∧ 𝑀 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)(𝐹 β€œ 𝑣) = 𝑀)
3021, 25, 28, 29syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)(𝐹 β€œ 𝑣) = 𝑀)
31 eqcom 2739 . . . . 5 ((𝐹 β€œ 𝑣) = 𝑀 ↔ 𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣))
3231rexbii 3094 . . . 4 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)(𝐹 β€œ 𝑣) = 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣))
3330, 32sylib 217 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣))
34 inteq 4953 . . . . . 6 (𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣) β†’ ∩ 𝑀 = ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))
3534ineq2d 4212 . . . . 5 (𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣) β†’ (𝐡 ∩ ∩ 𝑀) = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)))
3635eqeq2d 2743 . . . 4 (𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))))
3736adantl 482 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑀 = (𝐹 β€œ 𝑣)) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))))
3819, 33, 37rexxfrd 5407 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 ran 𝐹 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))))
3920ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
40 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝐼
4140sseli 3978 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 𝐼)
4241elpwid 4611 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
4342adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
44 imaiinfv 41421 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦) = ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))
4539, 43, 44syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦) = ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))
4645eqcomd 2738 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))
4746ineq2d 4212 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)) = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦)))
4847eqeq2d 2743 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))))
4948rexbidva 3176 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))))
503, 38, 493bitrd 304 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 (πΉβ€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆ© cint 4950  βˆ© ciin 4998  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Fincfn 8938  ficfi 9404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405
This theorem is referenced by:  elrfirn2  41424
  Copyright terms: Public domain W3C validator