Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls 33873
Description: The open sets of the Zariski topology are the complements of the closed sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zarcls.1 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
zarcls.2 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃𝑖𝑗})
Assertion
Ref Expression
zarcls (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗,𝑠   𝑅,𝑖,𝑗,𝑠   𝑉,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗,𝑠)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls
StepHypRef Expression
1 zartop.2 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
2 zartop.1 . . . 4 𝑆 = (Spec‘𝑅)
3 eqid 2737 . . . 4 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4 zarcls.1 . . . 4 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
5 eqid 2737 . . . 4 ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
62, 3, 4, 5rspectopn 33866 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
71, 6eqtr4id 2796 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
8 nfv 1914 . . 3 𝑠 𝑅 ∈ Ring
9 nfcv 2905 . . 3 𝑠ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
10 nfrab1 3457 . . 3 𝑠{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉}
11 notrab 4322 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}
1211eqeq2i 2750 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ 𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
13 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → {𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃)
15 elpwi 4607 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠𝑃)
16 ssdifsym 4274 . . . . . . . . . . 11 (({𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃𝑠𝑃) → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ {𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠)))
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ {𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠)))
18 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 ({𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠) ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗})
1917, 18bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2012, 19bitr3id 285 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2120ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2221rexbidva 3177 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) → (∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
23 zarcls.2 . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃𝑖𝑗})
244fvexi 6920 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ V
2524rabex 5339 . . . . . . 7 {𝑗𝑃𝑖𝑗} ∈ V
2623, 25elrnmpti 5973 . . . . . 6 ((𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗})
2722, 26bitr4di 289 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) → (∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉))
2827pm5.32da 579 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉)))
29 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ⊆ 𝑃
3024elpw2 5334 . . . . . . . . . 10 ({𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 ↔ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ⊆ 𝑃)
3129, 30mpbir 231 . . . . . . . . 9 {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
3231rgenw 3065 . . . . . . . 8 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
33 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
3433rnmptss 7143 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ⊆ 𝒫 𝑃)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ⊆ 𝒫 𝑃
3635sseli 3979 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃)
3736pm4.71ri 560 . . . . 5 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})))
38 vex 3484 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
3933elrnmpt 5969 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
4140anbi2i 623 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
4237, 41bitri 275 . . . 4 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
43 rabid 3458 . . . 4 (𝑠 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉))
4428, 42, 433bitr4g 314 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ 𝑠 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉}))
458, 9, 10, 44eqrd 4003 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
467, 45eqtrd 2777 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  TopOpenctopn 17466  Ringcrg 20230  LIdealclidl 21216  PrmIdealcprmidl 33463  Speccrspec 33861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-rest 17467  df-topn 17468  df-prmidl 33464  df-idlsrg 33529  df-rspec 33862
This theorem is referenced by:  zartopn  33874
  Copyright terms: Public domain W3C validator