Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls 32122
Description: The open sets of the Zariski topology are the complements of the closed sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zarcls.1 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
zarcls.2 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃𝑖𝑗})
Assertion
Ref Expression
zarcls (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗,𝑠   𝑅,𝑖,𝑗,𝑠   𝑉,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗,𝑠)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls
StepHypRef Expression
1 zartop.2 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
2 zartop.1 . . . 4 𝑆 = (Spec‘𝑅)
3 eqid 2736 . . . 4 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4 zarcls.1 . . . 4 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
5 eqid 2736 . . . 4 ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
62, 3, 4, 5rspectopn 32115 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
71, 6eqtr4id 2795 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
8 nfv 1916 . . 3 𝑠 𝑅 ∈ Ring
9 nfcv 2904 . . 3 𝑠ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
10 nfrab1 3422 . . 3 𝑠{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉}
11 notrab 4258 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}
1211eqeq2i 2749 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ 𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
13 ssrab2 4025 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → {𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃)
15 elpwi 4554 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠𝑃)
16 ssdifsym 4210 . . . . . . . . . . 11 (({𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃𝑠𝑃) → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ {𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠)))
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ {𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠)))
18 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 ({𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠) ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗})
1917, 18bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2012, 19bitr3id 284 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2120ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2221rexbidva 3169 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) → (∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
23 zarcls.2 . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃𝑖𝑗})
244fvexi 6839 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ V
2524rabex 5276 . . . . . . 7 {𝑗𝑃𝑖𝑗} ∈ V
2623, 25elrnmpti 5901 . . . . . 6 ((𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗})
2722, 26bitr4di 288 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) → (∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉))
2827pm5.32da 579 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉)))
29 ssrab2 4025 . . . . . . . . . 10 {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ⊆ 𝑃
3024elpw2 5289 . . . . . . . . . 10 ({𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 ↔ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ⊆ 𝑃)
3129, 30mpbir 230 . . . . . . . . 9 {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
3231rgenw 3065 . . . . . . . 8 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
33 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
3433rnmptss 7052 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ⊆ 𝒫 𝑃)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ⊆ 𝒫 𝑃
3635sseli 3928 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃)
3736pm4.71ri 561 . . . . 5 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})))
38 vex 3445 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
3933elrnmpt 5897 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
4140anbi2i 623 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
4237, 41bitri 274 . . . 4 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
43 rabid 3423 . . . 4 (𝑠 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉))
4428, 42, 433bitr4g 313 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ 𝑠 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉}))
458, 9, 10, 44eqrd 3951 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
467, 45eqtrd 2776 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  {crab 3403  Vcvv 3441  cdif 3895  wss 3898  𝒫 cpw 4547  cmpt 5175  ran crn 5621  cfv 6479  TopOpenctopn 17229  Ringcrg 19878  LIdealclidl 20538  PrmIdealcprmidl 31907  Speccrspec 32110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-tset 17078  df-ple 17079  df-rest 17230  df-topn 17231  df-prmidl 31908  df-idlsrg 31943  df-rspec 32111
This theorem is referenced by:  zartopn  32123
  Copyright terms: Public domain W3C validator