Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls 33835
Description: The open sets of the Zariski topology are the complements of the closed sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zarcls.1 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
zarcls.2 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃𝑖𝑗})
Assertion
Ref Expression
zarcls (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗,𝑠   𝑅,𝑖,𝑗,𝑠   𝑉,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗,𝑠)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls
StepHypRef Expression
1 zartop.2 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
2 zartop.1 . . . 4 𝑆 = (Spec‘𝑅)
3 eqid 2735 . . . 4 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4 zarcls.1 . . . 4 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
5 eqid 2735 . . . 4 ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
62, 3, 4, 5rspectopn 33828 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
71, 6eqtr4id 2794 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
8 nfv 1912 . . 3 𝑠 𝑅 ∈ Ring
9 nfcv 2903 . . 3 𝑠ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
10 nfrab1 3454 . . 3 𝑠{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉}
11 notrab 4328 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}
1211eqeq2i 2748 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ 𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
13 ssrab2 4090 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → {𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃)
15 elpwi 4612 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠𝑃)
16 ssdifsym 4280 . . . . . . . . . . 11 (({𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃𝑠𝑃) → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ {𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠)))
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ {𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠)))
18 eqcom 2742 . . . . . . . . . 10 ({𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠) ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗})
1917, 18bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2012, 19bitr3id 285 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2120ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2221rexbidva 3175 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) → (∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
23 zarcls.2 . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃𝑖𝑗})
244fvexi 6921 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ V
2524rabex 5345 . . . . . . 7 {𝑗𝑃𝑖𝑗} ∈ V
2623, 25elrnmpti 5976 . . . . . 6 ((𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗})
2722, 26bitr4di 289 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) → (∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉))
2827pm5.32da 579 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉)))
29 ssrab2 4090 . . . . . . . . . 10 {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ⊆ 𝑃
3024elpw2 5340 . . . . . . . . . 10 ({𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 ↔ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ⊆ 𝑃)
3129, 30mpbir 231 . . . . . . . . 9 {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
3231rgenw 3063 . . . . . . . 8 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
33 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
3433rnmptss 7143 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ⊆ 𝒫 𝑃)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ⊆ 𝒫 𝑃
3635sseli 3991 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃)
3736pm4.71ri 560 . . . . 5 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})))
38 vex 3482 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
3933elrnmpt 5972 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
4140anbi2i 623 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
4237, 41bitri 275 . . . 4 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
43 rabid 3455 . . . 4 (𝑠 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉))
4428, 42, 433bitr4g 314 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ 𝑠 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉}))
458, 9, 10, 44eqrd 4015 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
467, 45eqtrd 2775 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  𝒫 cpw 4605  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  TopOpenctopn 17468  Ringcrg 20251  LIdealclidl 21234  PrmIdealcprmidl 33443  Speccrspec 33823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-rest 17469  df-topn 17470  df-prmidl 33444  df-idlsrg 33509  df-rspec 33824
This theorem is referenced by:  zartopn  33836
  Copyright terms: Public domain W3C validator