Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls 32455
Description: The open sets of the Zariski topology are the complements of the closed sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zarcls.1 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
zarcls.2 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃𝑖𝑗})
Assertion
Ref Expression
zarcls (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗,𝑠   𝑅,𝑖,𝑗,𝑠   𝑉,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗,𝑠)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls
StepHypRef Expression
1 zartop.2 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
2 zartop.1 . . . 4 𝑆 = (Spec‘𝑅)
3 eqid 2736 . . . 4 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4 zarcls.1 . . . 4 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
5 eqid 2736 . . . 4 ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
62, 3, 4, 5rspectopn 32448 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
71, 6eqtr4id 2795 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
8 nfv 1917 . . 3 𝑠 𝑅 ∈ Ring
9 nfcv 2907 . . 3 𝑠ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
10 nfrab1 3426 . . 3 𝑠{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉}
11 notrab 4271 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}
1211eqeq2i 2749 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ 𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
13 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → {𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃)
15 elpwi 4567 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠𝑃)
16 ssdifsym 4223 . . . . . . . . . . 11 (({𝑗𝑃𝑖𝑗} ⊆ 𝑃𝑠𝑃) → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ {𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠)))
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ {𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠)))
18 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 ({𝑗𝑃𝑖𝑗} = (𝑃𝑠) ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗})
1917, 18bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = (𝑃 ∖ {𝑗𝑃𝑖𝑗}) ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2012, 19bitr3id 284 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 → (𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2120ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
2221rexbidva 3173 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) → (∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗}))
23 zarcls.2 . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃𝑖𝑗})
244fvexi 6856 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ V
2524rabex 5289 . . . . . . 7 {𝑗𝑃𝑖𝑗} ∈ V
2623, 25elrnmpti 5915 . . . . . 6 ((𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑃𝑠) = {𝑗𝑃𝑖𝑗})
2722, 26bitr4di 288 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃) → (∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ↔ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉))
2827pm5.32da 579 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉)))
29 ssrab2 4037 . . . . . . . . . 10 {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ⊆ 𝑃
3024elpw2 5302 . . . . . . . . . 10 ({𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 ↔ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ⊆ 𝑃)
3129, 30mpbir 230 . . . . . . . . 9 {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
3231rgenw 3068 . . . . . . . 8 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
33 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
3433rnmptss 7070 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ⊆ 𝒫 𝑃)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ⊆ 𝒫 𝑃
3635sseli 3940 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑃)
3736pm4.71ri 561 . . . . 5 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})))
38 vex 3449 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
3933elrnmpt 5911 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
4140anbi2i 623 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑃𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗})) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
4237, 41bitri 274 . . . 4 (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ ∃𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)𝑠 = {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
43 rabid 3427 . . . 4 (𝑠 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉))
4428, 42, 433bitr4g 313 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑠 ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) ↔ 𝑠 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉}))
458, 9, 10, 44eqrd 3963 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗𝑃 ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
467, 45eqtrd 2776 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃𝑠) ∈ ran 𝑉})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  𝒫 cpw 4560  cmpt 5188  ran crn 5634  cfv 6496  TopOpenctopn 17303  Ringcrg 19964  LIdealclidl 20631  PrmIdealcprmidl 32207  Speccrspec 32443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-tset 17152  df-ple 17153  df-rest 17304  df-topn 17305  df-prmidl 32208  df-idlsrg 32243  df-rspec 32444
This theorem is referenced by:  zartopn  32456
  Copyright terms: Public domain W3C validator