Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumlub 32699
Description: The extended sum is the lowest upper bound for the partial sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumlub.f 𝑘𝜑
esumlub.0 (𝜑𝐴𝑉)
esumlub.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumlub.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
esumlub.3 (𝜑𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumlub (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝐴   𝐵,𝑎   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘,𝑎)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem esumlub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumlub.3 . . . 4 (𝜑𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵)
2 esumlub.f . . . . . . 7 𝑘𝜑
3 nfcv 2908 . . . . . . 7 𝑘𝐴
4 esumlub.0 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
5 esumlub.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
72, 3, 4, 5, 6esumval 32685 . . . . . 6 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ))
87breq2d 5122 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < )))
9 iccssxr 13354 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 xrge0base 31918 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
11 xrge0cmn 20855 . . . . . . . . . . 11 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13 inss2 4194 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
14 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1513, 14sselid 3947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
16 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
19 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
2019sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
2221elpwid 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
2422, 23sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
2518, 24, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2625ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
2717, 26ralrimi 3243 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2810, 12, 15, 27gsummptcl 19751 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
299, 28sselid 3947 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
3029ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
31 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
3231rnmptss 7075 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
3330, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
34 esumlub.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
35 supxrlub 13251 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦))
3633, 34, 35syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦))
378, 36bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦))
381, 37mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦)
39 ovex 7395 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ V)
41 mpteq1 5203 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘𝑥𝐵) = (𝑘𝑎𝐵))
4241oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4342cbvmptv 5223 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4443, 39elrnmpti 5920 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4544a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))))
46 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))) → 𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4746breq2d 5122 . . . 4 ((𝜑𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))) → (𝑋 < 𝑦𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))))
4840, 45, 47rexxfr2d 5371 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))))
4938, 48mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
50 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
512, 50nfan 1903 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
52 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5313, 52sselid 3947 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
54 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝜑)
5519sseli 3945 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
5756elpwid 4574 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎𝐴)
58 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
5957, 58sseldd 3950 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝐴)
6054, 59, 5syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6151, 53, 60gsumesum 32698 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) = Σ*𝑘𝑎𝐵)
6261breq2d 5122 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ↔ 𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵))
6362biimpd 228 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) → 𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵))
6463reximdva 3166 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵))
6549, 64mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wral 3065  wrex 3074  Vcvv 3448  cin 3914  wss 3915  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5110  cmpt 5193  ran crn 5639  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  supcsup 9383  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  *cxr 11195   < clt 11196  [,]cicc 13274  s cress 17119   Σg cgsu 17329  *𝑠cxrs 17389  CMndccmn 19569  Σ*cesum 32666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-cn 22594  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-esum 32667
This theorem is referenced by:  esumfsup  32709  esum2d  32732
  Copyright terms: Public domain W3C validator