Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumlub 33712
Description: The extended sum is the lowest upper bound for the partial sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumlub.f 𝑘𝜑
esumlub.0 (𝜑𝐴𝑉)
esumlub.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumlub.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
esumlub.3 (𝜑𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumlub (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝐴   𝐵,𝑎   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘,𝑎)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem esumlub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumlub.3 . . . 4 (𝜑𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵)
2 esumlub.f . . . . . . 7 𝑘𝜑
3 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑘𝐴
4 esumlub.0 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
5 esumlub.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 eqidd 2729 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
72, 3, 4, 5, 6esumval 33698 . . . . . 6 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ))
87breq2d 5164 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < )))
9 iccssxr 13447 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 xrge0base 32762 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
11 xrge0cmn 21348 . . . . . . . . . . 11 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13 inss2 4232 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
14 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1513, 14sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
16 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
19 inss1 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
2019sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
2120ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
2221elpwid 4615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
23 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
2422, 23sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
2518, 24, 5syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2625ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
2717, 26ralrimi 3252 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2810, 12, 15, 27gsummptcl 19929 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
299, 28sselid 3980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
3029ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
31 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
3231rnmptss 7138 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
3330, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
34 esumlub.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
35 supxrlub 13344 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦))
3633, 34, 35syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦))
378, 36bitrd 278 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦))
381, 37mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦)
39 ovex 7459 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ V)
41 mpteq1 5245 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘𝑥𝐵) = (𝑘𝑎𝐵))
4241oveq2d 7442 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4342cbvmptv 5265 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4443, 39elrnmpti 5966 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4544a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))))
46 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))) → 𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4746breq2d 5164 . . . 4 ((𝜑𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))) → (𝑋 < 𝑦𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))))
4840, 45, 47rexxfr2d 5415 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))))
4938, 48mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
50 nfv 1909 . . . . . . 7 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
512, 50nfan 1894 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
52 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5313, 52sselid 3980 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
54 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝜑)
5519sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
5655ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
5756elpwid 4615 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎𝐴)
58 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
5957, 58sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝐴)
6054, 59, 5syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6151, 53, 60gsumesum 33711 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) = Σ*𝑘𝑎𝐵)
6261breq2d 5164 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ↔ 𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵))
6362biimpd 228 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) → 𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵))
6463reximdva 3165 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵))
6549, 64mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3473  cin 3948  wss 3949  𝒫 cpw 4606   class class class wbr 5152  cmpt 5235  ran crn 5683  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  supcsup 9471  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286  [,]cicc 13367  s cress 17216   Σg cgsu 17429  *𝑠cxrs 17489  CMndccmn 19742  Σ*cesum 33679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-ordt 17490  df-xrs 17491  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-ntr 22944  df-nei 23022  df-cn 23151  df-haus 23239  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tsms 24051  df-esum 33680
This theorem is referenced by:  esumfsup  33722  esum2d  33745
  Copyright terms: Public domain W3C validator