Theorem esumlub 34061

Description: The extended sum is the lowest upper bound for the partial sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumlub.f	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumlub.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumlub.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumlub.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
esumlub.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumlub	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝐴   𝐵,𝑎   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘,𝑎)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem esumlub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumlub.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
2		esumlub.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4		esumlub.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		esumlub.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
7	2, 3, 4, 5, 6	esumval 34047	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ))
8	7	breq2d 5155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ 𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < )))
9		iccssxr 13470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		xrge0base 33016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
11		xrge0cmn 21426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13		inss2 4238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
14		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
15	13, 14	sselid 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
16		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
17	2, 16	nfan 1899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18		simpll 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
19		inss1 4237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
20	19	sseli 3979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
22	21	elpwid 4609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
24	22, 23	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25	18, 24, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
27	17, 26	ralrimi 3257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	10, 12, 15, 27	gsummptcl 19985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
29	9, 28	sselid 3981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
30	29	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
31		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
32	31	rnmptss 7143	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
33	30, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
34		esumlub.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
35		supxrlub 13367	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦))
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦))
37	8, 36	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦))
38	1, 37	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦)
39		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ V
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ V)
41		mpteq1 5235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
42	41	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
43	42	cbvmptv 5255	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
44	43, 39	elrnmpti 5973	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))))
46		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))) → 𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
47	46	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))) → (𝑋 < 𝑦 ↔ 𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))))
48	40, 45, 47	rexxfr2d 5411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))))
49	38, 48	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
50		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
51	2, 50	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
52		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
53	13, 52	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
54		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝜑)
55	19	sseli 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
56	55	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
57	56	elpwid 4609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
58		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝑎)
59	57, 58	sseldd 3984	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝐴)
60	54, 59, 5	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
61	51, 53, 60	gsumesum 34060	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵)
62	61	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ↔ 𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵))
63	62	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) → 𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵))
64	63	reximdva 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵))
65	49, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295  [,]cicc 13390   ↾_s cress 17274   Σ_g cgsu 17485  ℝ^*_𝑠cxrs 17545  CMndccmn 19798  Σ^*cesum 34028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-cn 23235  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135  df-esum 34029

This theorem is referenced by:  esumfsup  34071  esum2d  34094