Theorem esumlub 32324

Description: The extended sum is the lowest upper bound for the partial sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumlub.f	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumlub.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumlub.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumlub.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
esumlub.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumlub	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝐴   𝐵,𝑎   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘,𝑎)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem esumlub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumlub.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
2		esumlub.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4		esumlub.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		esumlub.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
7	2, 3, 4, 5, 6	esumval 32310	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ))
8	7	breq2d 5109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ 𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < )))
9		iccssxr 13268	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		xrge0base 31579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
11		xrge0cmn 20746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13		inss2 4181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
14		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
15	13, 14	sselid 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
16		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
17	2, 16	nfan 1902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
19		inss1 4180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
20	19	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
22	21	elpwid 4561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
23		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
24	22, 23	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25	18, 24, 5	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
26	25	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
27	17, 26	ralrimi 3237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	10, 12, 15, 27	gsummptcl 19663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
29	9, 28	sselid 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
30	29	ralrimiva 3140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
31		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
32	31	rnmptss 7057	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
33	30, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
34		esumlub.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
35		supxrlub 13165	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦))
36	33, 34, 35	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦))
37	8, 36	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦))
38	1, 37	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦)
39		ovex 7375	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ V
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ V)
41		mpteq1 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
42	41	oveq2d 7358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
43	42	cbvmptv 5210	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
44	43, 39	elrnmpti 5906	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))))
46		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))) → 𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
47	46	breq2d 5109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))) → (𝑋 < 𝑦 ↔ 𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))))
48	40, 45, 47	rexxfr2d 5359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))𝑋 < 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))))
49	38, 48	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
50		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
51	2, 50	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
52		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
53	13, 52	sselid 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
54		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝜑)
55	19	sseli 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
56	55	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
57	56	elpwid 4561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
58		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝑎)
59	57, 58	sseldd 3937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝐴)
60	54, 59, 5	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
61	51, 53, 60	gsumesum 32323	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵)
62	61	breq2d 5109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ↔ 𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵))
63	62	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) → 𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵))
64	63	reximdva 3162	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵))
65	49, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘 ∈ 𝑎𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3442   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5180  ran crn 5626  (class class class)co 7342  Fincfn 8809  supcsup 9302  0cc0 10977  +∞cpnf 11112  ℝ^*cxr 11114   < clt 11115  [,]cicc 13188   ↾_s cress 17039   Σ_g cgsu 17249  ℝ^*_𝑠cxrs 17309  CMndccmn 19482  Σ^*cesum 32291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-xadd 12955  df-ioo 13189  df-ioc 13190  df-ico 13191  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-hash 14151  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-ordt 17310  df-xrs 17311  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-ps 18382  df-tsr 18383  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-ntr 22277  df-nei 22355  df-cn 22484  df-haus 22572  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-tsms 23384  df-esum 32292

This theorem is referenced by:  esumfsup  32334  esum2d  32357