MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubgcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubgcyg 19834
Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubgcyg.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubgcyg.t · = (.g𝐺)
cycsubgcyg.s 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cycsubgcyg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺s 𝑆) ∈ CycGrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cycsubgcyg
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
2 eqid 2737 . 2 (.g‘(𝐺s 𝑆)) = (.g‘(𝐺s 𝑆))
3 cycsubgcyg.s . . . 4 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
4 cycsubgcyg.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 cycsubgcyg.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
74, 5, 6cycsubgcl 19139 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))))
87simpld 494 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
93, 8eqeltrid 2841 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 eqid 2737 . . . 4 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
1110subggrp 19063 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
129, 11syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
137simprd 495 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
1413, 3eleqtrrdi 2848 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑆)
1510subgbas 19064 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
169, 15syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
1714, 16eleqtrd 2839 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
1816eleq2d 2823 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))))
1918biimpar 477 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))) → 𝑦𝑆)
20 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2120, 3eleqtrdi 2847 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
22 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
2322cbvmptv 5190 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
24 ovex 7391 . . . . . 6 (𝑛 · 𝐴) ∈ V
2523, 24elrnmpti 5909 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
2621, 25sylib 218 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
279ad2antrr 727 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
2914ad2antrr 727 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴𝑆)
305, 10, 2subgmulg 19074 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1374 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
3231eqeq2d 2748 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴)))
3332rexbidva 3160 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴)))
3426, 33mpbid 232 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
3519, 34syldan 592 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
361, 2, 12, 17, 35iscygd 19820 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺s 𝑆) ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3062  cmpt 5167  ran crn 5623  cfv 6490  (class class class)co 7358  cz 12489  Basecbs 17137  s cress 17158  Grpcgrp 18867  .gcmg 19001  SubGrpcsubg 19054  CycGrpccyg 19810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-seq 13926  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-cyg 19811
This theorem is referenced by:  cycsubgcyg2  19835
  Copyright terms: Public domain W3C validator