Theorem cycsubgcyg 19870

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubgcyg.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubgcyg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubgcyg.s	⊢ 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cycsubgcyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ CycGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cycsubgcyg

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		cycsubgcyg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubgcyg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		cycsubgcyg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
7	4, 5, 6	cycsubgcl 19175	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))))
8	7	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	3, 8	eqeltrid 2840	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
11	10	subggrp 19099	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
13	7	simprd 496	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
14	13, 3	eleqtrrdi 2847	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑆)
15	10	subgbas 19100	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
16	9, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
17	14, 16	eleqtrd 2838	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
18	16	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
19	18	biimpar 478	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
20		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21	20, 3	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
22		oveq1 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
23	22	cbvmptv 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
24		ovex 7392	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 · 𝐴) ∈ V
25	23, 24	elrnmpti 5907	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
26	21, 25	sylib 219	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
27	9	ad2antrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
29	14	ad2antrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
30	5, 10, 2	subgmulg 19110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
32	31	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴)))
33	32	rexbidva 3158	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴)))
34	26, 33	mpbid 233	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
35	19, 34	syldan 593	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
36	1, 2, 12, 17, 35	iscygd 19856	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3060   ↦ cmpt 5156  ran crn 5622  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℤcz 12518  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  Grpcgrp 18903  ._gcmg 19037  SubGrpcsubg 19090  CycGrpccyg 19846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-seq 13958  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-cyg 19847

This theorem is referenced by:  cycsubgcyg2  19871