Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubgcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubgcyg 19018
 Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubgcyg.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubgcyg.t · = (.g𝐺)
cycsubgcyg.s 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cycsubgcyg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺s 𝑆) ∈ CycGrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cycsubgcyg
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . 2 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
2 eqid 2798 . 2 (.g‘(𝐺s 𝑆)) = (.g‘(𝐺s 𝑆))
3 cycsubgcyg.s . . . 4 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
4 cycsubgcyg.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 cycsubgcyg.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
6 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
74, 5, 6cycsubgcl 18345 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))))
87simpld 498 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
93, 8eqeltrid 2894 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 eqid 2798 . . . 4 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
1110subggrp 18278 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
129, 11syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
137simprd 499 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
1413, 3eleqtrrdi 2901 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑆)
1510subgbas 18279 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
169, 15syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
1714, 16eleqtrd 2892 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
1816eleq2d 2875 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))))
1918biimpar 481 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))) → 𝑦𝑆)
20 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2120, 3eleqtrdi 2900 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
22 oveq1 7143 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
2322cbvmptv 5134 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
24 ovex 7169 . . . . . 6 (𝑛 · 𝐴) ∈ V
2523, 24elrnmpti 5797 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
2621, 25sylib 221 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
279ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
2914ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴𝑆)
305, 10, 2subgmulg 18289 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
3231eqeq2d 2809 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴)))
3332rexbidva 3255 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴)))
3426, 33mpbid 235 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
3519, 34syldan 594 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
361, 2, 12, 17, 35iscygd 19003 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺s 𝑆) ∈ CycGrp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ↦ cmpt 5111  ran crn 5521  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℤcz 11972  Basecbs 16478   ↾s cress 16479  Grpcgrp 18098  .gcmg 18220  SubGrpcsubg 18269  CycGrpccyg 18993 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-seq 13368  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-cyg 18994 This theorem is referenced by:  cycsubgcyg2  19019
 Copyright terms: Public domain W3C validator