Theorem cycsubgcyg 19977

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubgcyg.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubgcyg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubgcyg.s	⊢ 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cycsubgcyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ CycGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cycsubgcyg

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		cycsubgcyg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubgcyg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		cycsubgcyg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
7	4, 5, 6	cycsubgcl 19283	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))))
8	7	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	3, 8	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
11	10	subggrp 19201	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
12	9, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
13	7	simprd 500	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
14	13, 3	eleqtrrdi 2873	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑆)
15	10	subgbas 19202	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
16	9, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
17	14, 16	eleqtrd 2864	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
18	16	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
19	18	biimpar 482	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
20		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21	20, 3	eleqtrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
22		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
23	22	cbvmptv 5214	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
24		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 · 𝐴) ∈ V
25	23, 24	elrnmpti 5951	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
26	21, 25	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
27	9	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
29	14	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
30	5, 10, 2	subgmulg 19213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
32	31	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴)))
33	32	rexbidva 3186	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴)))
34	26, 33	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
35	19, 34	syldan 602	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
36	1, 2, 12, 17, 35	iscygd 19963	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ CycGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   ↦ cmpt 5191  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℤcz 12597  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  Grpcgrp 19006  ._gcmg 19139  SubGrpcsubg 19192  CycGrpccyg 19953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-cyg 19954

This theorem is used by:  cycsubgcyg2  19978