MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubgcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubgcyg 19934
Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubgcyg.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubgcyg.t · = (.g𝐺)
cycsubgcyg.s 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cycsubgcyg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺s 𝑆) ∈ CycGrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cycsubgcyg
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
2 eqid 2735 . 2 (.g‘(𝐺s 𝑆)) = (.g‘(𝐺s 𝑆))
3 cycsubgcyg.s . . . 4 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
4 cycsubgcyg.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 cycsubgcyg.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
6 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
74, 5, 6cycsubgcl 19237 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))))
87simpld 494 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
93, 8eqeltrid 2843 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 eqid 2735 . . . 4 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
1110subggrp 19160 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
129, 11syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
137simprd 495 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
1413, 3eleqtrrdi 2850 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑆)
1510subgbas 19161 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
169, 15syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
1714, 16eleqtrd 2841 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
1816eleq2d 2825 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))))
1918biimpar 477 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))) → 𝑦𝑆)
20 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2120, 3eleqtrdi 2849 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
22 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
2322cbvmptv 5261 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
24 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑛 · 𝐴) ∈ V
2523, 24elrnmpti 5976 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
2621, 25sylib 218 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
279ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
2914ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴𝑆)
305, 10, 2subgmulg 19171 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
3231eqeq2d 2746 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴)))
3332rexbidva 3175 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴)))
3426, 33mpbid 232 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
3519, 34syldan 591 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺s 𝑆))𝐴))
361, 2, 12, 17, 35iscygd 19920 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺s 𝑆) ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  cz 12611  Basecbs 17245  s cress 17274  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  SubGrpcsubg 19151  CycGrpccyg 19910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cyg 19911
This theorem is referenced by:  cycsubgcyg2  19935
  Copyright terms: Public domain W3C validator