Theorem cycsubgcyg 19943

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubgcyg.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubgcyg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubgcyg.s	⊢ 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cycsubgcyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ CycGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cycsubgcyg

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2740	. 2 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		cycsubgcyg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubgcyg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		cycsubgcyg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
7	4, 5, 6	cycsubgcl 19246	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))))
8	7	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	3, 8	eqeltrid 2848	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
11	10	subggrp 19169	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
13	7	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
14	13, 3	eleqtrrdi 2855	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑆)
15	10	subgbas 19170	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
16	9, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
17	14, 16	eleqtrd 2846	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
18	16	eleq2d 2830	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
19	18	biimpar 477	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21	20, 3	eleqtrdi 2854	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
22		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
23	22	cbvmptv 5279	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
24		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 · 𝐴) ∈ V
25	23, 24	elrnmpti 5985	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
26	21, 25	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
27	9	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
29	14	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
30	5, 10, 2	subgmulg 19180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
32	31	eqeq2d 2751	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴)))
33	32	rexbidva 3183	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴)))
34	26, 33	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
35	19, 34	syldan 590	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
36	1, 2, 12, 17, 35	iscygd 19929	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℤcz 12639  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  Grpcgrp 18973  ._gcmg 19107  SubGrpcsubg 19160  CycGrpccyg 19919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-cyg 19920

This theorem is referenced by:  cycsubgcyg2  19944