Theorem cycsubgcyg 19934

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubgcyg.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubgcyg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubgcyg.s	⊢ 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cycsubgcyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ CycGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cycsubgcyg

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		cycsubgcyg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubgcyg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		cycsubgcyg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
7	4, 5, 6	cycsubgcl 19237	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))))
8	7	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	3, 8	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
11	10	subggrp 19160	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
13	7	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
14	13, 3	eleqtrrdi 2850	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑆)
15	10	subgbas 19161	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
16	9, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
17	14, 16	eleqtrd 2841	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
18	16	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
19	18	biimpar 477	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21	20, 3	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
22		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
23	22	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
24		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 · 𝐴) ∈ V
25	23, 24	elrnmpti 5976	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
26	21, 25	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴))
27	9	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
29	14	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
30	5, 10, 2	subgmulg 19171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
32	31	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴)))
33	32	rexbidva 3175	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝐴) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴)))
34	26, 33	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
35	19, 34	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝐴))
36	1, 2, 12, 17, 35	iscygd 19920	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℤcz 12611  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  Grpcgrp 18964  ._gcmg 19098  SubGrpcsubg 19151  CycGrpccyg 19910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cyg 19911

This theorem is referenced by:  cycsubgcyg2  19935