MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubgcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubgcyg 19686
Description: The cyclic subgroup generated by ๐ด is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubgcyg.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
cycsubgcyg.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
cycsubgcyg.s ๐‘† = ran (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
cycsubgcyg ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐บ โ†พs ๐‘†) โˆˆ CycGrp)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hint:   ๐‘†(๐‘ฅ)

Proof of Theorem cycsubgcyg
Dummy variables ๐‘› ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†)) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))
2 eqid 2733 . 2 (.gโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†)) = (.gโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))
3 cycsubgcyg.s . . . 4 ๐‘† = ran (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
4 cycsubgcyg.x . . . . . 6 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
5 cycsubgcyg.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
74, 5, 6cycsubgcl 19007 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (ran (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))))
87simpld 496 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
93, 8eqeltrid 2838 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
10 eqid 2733 . . . 4 (๐บ โ†พs ๐‘†) = (๐บ โ†พs ๐‘†)
1110subggrp 18939 . . 3 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ โ†พs ๐‘†) โˆˆ Grp)
129, 11syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐บ โ†พs ๐‘†) โˆˆ Grp)
137simprd 497 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
1413, 3eleqtrrdi 2845 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
1510subgbas 18940 . . . 4 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†)))
169, 15syl 17 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†)))
1714, 16eleqtrd 2836 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†)))
1816eleq2d 2820 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))))
1918biimpar 479 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)
20 simpr 486 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)
2120, 3eleqtrdi 2844 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
22 oveq1 7368 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (๐‘› ยท ๐ด))
2322cbvmptv 5222 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐ด))
24 ovex 7394 . . . . . 6 (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ V
2523, 24elrnmpti 5919 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐ด))
2621, 25sylib 217 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐ด))
279ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
28 simpr 486 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2914ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
305, 10, 2subgmulg 18950 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) = (๐‘›(.gโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))๐ด))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) = (๐‘›(.gโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))๐ด))
3231eqeq2d 2744 . . . . 5 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐ด) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘›(.gโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))๐ด)))
3332rexbidva 3170 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐ด) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘›(.gโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))๐ด)))
3426, 33mpbid 231 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘›(.gโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))๐ด))
3519, 34syldan 592 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘›(.gโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘†))๐ด))
361, 2, 12, 17, 35iscygd 19672 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐บ โ†พs ๐‘†) โˆˆ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โ†ฆ cmpt 5192  ran crn 5638  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„คcz 12507  Basecbs 17091   โ†พs cress 17120  Grpcgrp 18756  .gcmg 18880  SubGrpcsubg 18930  CycGrpccyg 19662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-cyg 19663
This theorem is referenced by:  cycsubgcyg2  19687
  Copyright terms: Public domain W3C validator