MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem2 26613
Description: Lemma for dchrpt 26615. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑁   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑋   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑥,𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrpt.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrpt.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrpt.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 fveq2 6842 . . 3 (𝑣 = 𝑥 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑥))
8 fveq2 6842 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑦))
9 fveq2 6842 . . 3 (𝑣 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)))
10 fveq2 6842 . . 3 (𝑣 = (1r𝑍) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(1r𝑍)))
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
12 zex 12508 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ ∈ V
1312mptex 7173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
1413rnex 7849 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
1614, 15dmmpti 6645 . . . . . . . . . 10 dom 𝑆 = dom 𝑊
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑆 = dom 𝑊)
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
2011, 17, 18, 19dpjf 19836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼))
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
2221feq2d 6654 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼) ↔ (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼)))
2320, 22mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼))
2423ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ (𝑆𝐼))
2519adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝐼 ∈ dom 𝑊)
26 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑎 → (𝑛 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝑘)))
2726cbvmptv 5218 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘)))
28 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐼 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝐼))
2928oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3029mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3127, 30eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3231rneqd 5893 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3332, 15, 14fvmpt3i 6953 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3425, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3524, 34eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
36 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼)))
37 ovex 7390 . . . . . 6 (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∈ V
3836, 37elrnmpti 5915 . . . . 5 (((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3935, 38sylib 217 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑈) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
40 dchrpt.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑍)
41 dchrpt.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐴1 )
42 dchrpt.h . . . . . 6 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
43 dchrpt.m . . . . . 6 · = (.g𝐻)
44 dchrpt.au . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑈)
45 dchrpt.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
46 dchrpt.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐻)
47 dchrpt.t . . . . . 6 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
48 dchrpt.4 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
49 dchrpt.5 . . . . . 6 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26612 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) = (𝑇𝑎))
51 neg1cn 12267 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
52 2re 12227 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
535nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
542zncrng 20951 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
55 crngring 19976 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
574, 42unitgrp 20096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
592, 3znfi 20966 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
605, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
613, 4unitss 20089 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈𝐵
62 ssfi 9117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
6360, 61, 62sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
64 wrdf 14407 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
6545, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
6665fdmd 6679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
6719, 66eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6865, 67ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
694, 42unitgrpbas 20095 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (Base‘𝐻)
7069, 46odcl2 19347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
7158, 63, 68, 70syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
72 nndivre 12194 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7352, 71, 72sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7473recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
75 cxpcl 26029 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7651, 74, 75sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7747, 76eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
7877ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
7951a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
80 neg1ne0 12269 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
8180a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ≠ 0)
8279, 81, 74cxpne0d 26068 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8347neeq1i 3008 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8482, 83sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
8584ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ≠ 0)
86 simprl 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
8778, 85, 86expclzd 14056 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑇𝑎) ∈ ℂ)
8850, 87eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
8939, 88rexlimddv 3158 . . 3 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
90 fveqeq2 6851 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9190rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9239ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
9392adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
94 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
9591, 93, 94rspcdva 3582 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
96 fveqeq2 6851 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9796rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
98 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
9998eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
10099cbvrexvw 3226 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
10197, 100bitrdi 286 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
102 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
103101, 93, 102rspcdva 3582 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
104 reeanv 3217 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
10577ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
10684ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ≠ 0)
107 simprll 777 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑎 ∈ ℤ)
108 simprlr 778 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
109 expaddz 14012 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
110105, 106, 107, 108, 109syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
111 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝜑)
11256ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑍 ∈ Ring)
11394adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑥𝑈)
114102adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑦𝑈)
115 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑍) = (.r𝑍)
1164, 115unitmulcl 20093 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
117112, 113, 114, 116syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
118107, 108zaddcld 12611 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
119 simprrl 779 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
120 simprrr 780 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
121119, 120oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
12211, 17, 18, 19dpjghm 19842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻))
12321oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = (𝐻s 𝑈))
12442ovexi 7391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 ∈ V
12569ressid 17125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ V → (𝐻s 𝑈) = 𝐻)
126124, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻s 𝑈) = 𝐻
127123, 126eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = 𝐻)
128127oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻) = (𝐻 GrpHom 𝐻))
129122, 128eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
130129ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
1314fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ V
132 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
133132, 115mgpplusg 19900 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
13442, 133ressplusg 17171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ V → (.r𝑍) = (+g𝐻))
135131, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑍) = (+g𝐻)
13669, 135, 135ghmlin 19013 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
137130, 113, 114, 136syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
13858ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝐻 ∈ Grp)
13968ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
14069, 43, 135mulgdir 18908 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
141138, 107, 108, 139, 140syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
142121, 137, 1413eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))
1431, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26612 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈) ∧ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
144111, 117, 118, 142, 143syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
1451, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26612 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
146111, 113, 107, 119, 145syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
1471, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26612 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑈) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
148111, 114, 108, 120, 147syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
149146, 148oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
150110, 144, 1493eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
151150expr 457 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
152151rexlimdvva 3205 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
153104, 152biimtrrid 242 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
15495, 103, 153mp2and 697 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
155 id 22 . . . . 5 (𝜑𝜑)
156 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝑍) = (1r𝑍)
1574, 1561unit 20087 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
15856, 157syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
159 0zd 12511 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
160 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝐻) = (0g𝐻)
161160, 160ghmid 19014 . . . . . . 7 ((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
162129, 161syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
1634, 42, 156unitgrpid 20098 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g𝐻))
16456, 163syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g𝐻))
165164fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)))
16669, 160, 43mulg0 18879 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ 𝑈 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
16768, 166syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
168162, 165, 1673eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))
1691, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26612 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (1r𝑍) ∈ 𝑈) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
170155, 158, 159, 168, 169syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
17177exp0d 14045 . . . 4 (𝜑 → (𝑇↑0) = 1)
172170, 171eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
1731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 89, 154, 172dchrelbasd 26587 . 2 (𝜑 → (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷)
17461, 44sselid 3942 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
175 eleq1 2825 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑣𝑈𝐴𝑈))
176 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝐴))
177175, 176ifbieq1d 4510 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
178 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))
179 fvex 6855 . . . . . . 7 (𝑋𝑣) ∈ V
180 c0ex 11149 . . . . . . 7 0 ∈ V
181179, 180ifex 4536 . . . . . 6 if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) ∈ V
182177, 178, 181fvmpt3i 6953 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
183174, 182syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
18444iftrued 4494 . . . 4 (𝜑 → if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0) = (𝑋𝐴))
185183, 184eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = (𝑋𝐴))
186 fveqeq2 6851 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
187186rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
188187, 92, 44rspcdva 3582 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
1891, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26612 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = (𝑇𝑎))
19047oveq1i 7367 . . . . . . . 8 (𝑇𝑎) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎)
191189, 190eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎))
19248ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
19358ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝐻 ∈ Grp)
19468ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
195 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
19669, 46, 43, 160oddvds 19329 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
197193, 194, 195, 196syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
19871ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
199 root1eq1 26108 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
200198, 195, 199syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
201 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
20240, 164eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑1 = (0g𝐻))
203202ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 1 = (0g𝐻))
204201, 203eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
205197, 200, 2043bitr4d 310 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ))
206205necon3bid 2988 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 ))
207192, 206mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1)
208191, 207eqnetrd 3011 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) ≠ 1)
209208rexlimdvaa 3153 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
21044, 209mpdan 685 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
211188, 210mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 1)
212185, 211eqnetrd 3011 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1)
213 fveq1 6841 . . . 4 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → (𝑥𝐴) = ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴))
214213neeq1d 3003 . . 3 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → ((𝑥𝐴) ≠ 1 ↔ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1))
215214rspcev 3581 . 2 (((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
216173, 212, 215syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cio 6446  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  ..^cfzo 13567  cexp 13967  chash 14230  Word cword 14402  cdvds 16136  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872   GrpHom cghm 19005  odcod 19306   DProd cdprd 19772  dProjcdpj 19773  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  Unitcui 20068  ℤ/nczn 20903  𝑐ccxp 25911  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-word 14403  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-od 19310  df-lsm 19418  df-pj1 19419  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-dprd 19774  df-dpj 19775  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchrptlem3  26614
  Copyright terms: Public domain W3C validator