MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem2 27310
Description: Lemma for dchrpt 27312. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑁   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑋   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑥,𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrpt.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrpt.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrpt.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 fveq2 6905 . . 3 (𝑣 = 𝑥 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑥))
8 fveq2 6905 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑦))
9 fveq2 6905 . . 3 (𝑣 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)))
10 fveq2 6905 . . 3 (𝑣 = (1r𝑍) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(1r𝑍)))
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
12 zex 12624 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ ∈ V
1312mptex 7244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
1413rnex 7933 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
1614, 15dmmpti 6711 . . . . . . . . . 10 dom 𝑆 = dom 𝑊
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑆 = dom 𝑊)
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
2011, 17, 18, 19dpjf 20078 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼))
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
2221feq2d 6721 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼) ↔ (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼)))
2320, 22mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼))
2423ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ (𝑆𝐼))
2519adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝐼 ∈ dom 𝑊)
26 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑎 → (𝑛 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝑘)))
2726cbvmptv 5254 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘)))
28 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐼 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝐼))
2928oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3029mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3127, 30eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3231rneqd 5948 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3332, 15, 14fvmpt3i 7020 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3425, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3524, 34eleqtrd 2842 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
36 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼)))
37 ovex 7465 . . . . . 6 (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∈ V
3836, 37elrnmpti 5972 . . . . 5 (((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3935, 38sylib 218 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑈) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
40 dchrpt.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑍)
41 dchrpt.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐴1 )
42 dchrpt.h . . . . . 6 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
43 dchrpt.m . . . . . 6 · = (.g𝐻)
44 dchrpt.au . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑈)
45 dchrpt.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
46 dchrpt.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐻)
47 dchrpt.t . . . . . 6 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
48 dchrpt.4 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
49 dchrpt.5 . . . . . 6 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 27309 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) = (𝑇𝑎))
51 neg1cn 12381 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
52 2re 12341 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
535nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
542zncrng 21564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
55 crngring 20243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
574, 42unitgrp 20384 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
592, 3znfi 21579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
605, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
613, 4unitss 20377 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈𝐵
62 ssfi 9214 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
6360, 61, 62sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
64 wrdf 14558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
6545, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
6665fdmd 6745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
6719, 66eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6865, 67ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
694, 42unitgrpbas 20383 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (Base‘𝐻)
7069, 46odcl2 19584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
7158, 63, 68, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
72 nndivre 12308 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7352, 71, 72sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7473recnd 11290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
75 cxpcl 26717 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7651, 74, 75sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7747, 76eqeltrid 2844 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
7877ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
7951a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
80 neg1ne0 12383 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
8180a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ≠ 0)
8279, 81, 74cxpne0d 26756 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8347neeq1i 3004 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8482, 83sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
8584ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ≠ 0)
86 simprl 770 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
8778, 85, 86expclzd 14192 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑇𝑎) ∈ ℂ)
8850, 87eqeltrd 2840 . . . 4 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
8939, 88rexlimddv 3160 . . 3 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
90 fveqeq2 6914 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9190rexbidv 3178 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9239ralrimiva 3145 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
9392adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
94 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
9591, 93, 94rspcdva 3622 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
96 fveqeq2 6914 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9796rexbidv 3178 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
98 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
9998eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
10099cbvrexvw 3237 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
10197, 100bitrdi 287 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
102 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
103101, 93, 102rspcdva 3622 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
104 reeanv 3228 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
10577ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
10684ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ≠ 0)
107 simprll 778 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑎 ∈ ℤ)
108 simprlr 779 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
109 expaddz 14148 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
110105, 106, 107, 108, 109syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
111 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝜑)
11256ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑍 ∈ Ring)
11394adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑥𝑈)
114102adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑦𝑈)
115 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑍) = (.r𝑍)
1164, 115unitmulcl 20381 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
117112, 113, 114, 116syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
118107, 108zaddcld 12728 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
119 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
120 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
121119, 120oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
12211, 17, 18, 19dpjghm 20084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻))
12321oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = (𝐻s 𝑈))
12442ovexi 7466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 ∈ V
12569ressid 17291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ V → (𝐻s 𝑈) = 𝐻)
126124, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻s 𝑈) = 𝐻
127123, 126eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = 𝐻)
128127oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻) = (𝐻 GrpHom 𝐻))
129122, 128eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
130129ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
1314fvexi 6919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ V
132 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
133132, 115mgpplusg 20142 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
13442, 133ressplusg 17335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ V → (.r𝑍) = (+g𝐻))
135131, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑍) = (+g𝐻)
13669, 135, 135ghmlin 19240 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
137130, 113, 114, 136syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
13858ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝐻 ∈ Grp)
13968ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
14069, 43, 135mulgdir 19125 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
141138, 107, 108, 139, 140syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
142121, 137, 1413eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))
1431, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 27309 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈) ∧ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
144111, 117, 118, 142, 143syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
1451, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 27309 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
146111, 113, 107, 119, 145syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
1471, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 27309 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑈) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
148111, 114, 108, 120, 147syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
149146, 148oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
150110, 144, 1493eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
151150expr 456 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
152151rexlimdvva 3212 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
153104, 152biimtrrid 243 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
15495, 103, 153mp2and 699 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
155 id 22 . . . . 5 (𝜑𝜑)
156 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝑍) = (1r𝑍)
1574, 1561unit 20375 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
15856, 157syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
159 0zd 12627 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
160 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝐻) = (0g𝐻)
161160, 160ghmid 19241 . . . . . . 7 ((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
162129, 161syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
1634, 42, 156unitgrpid 20386 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g𝐻))
16456, 163syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g𝐻))
165164fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)))
16669, 160, 43mulg0 19093 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ 𝑈 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
16768, 166syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
168162, 165, 1673eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))
1691, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 27309 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (1r𝑍) ∈ 𝑈) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
170155, 158, 159, 168, 169syl22anc 838 . . . 4 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
17177exp0d 14181 . . . 4 (𝜑 → (𝑇↑0) = 1)
172170, 171eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
1731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 89, 154, 172dchrelbasd 27284 . 2 (𝜑 → (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷)
17461, 44sselid 3980 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
175 eleq1 2828 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑣𝑈𝐴𝑈))
176 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝐴))
177175, 176ifbieq1d 4549 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
178 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))
179 fvex 6918 . . . . . . 7 (𝑋𝑣) ∈ V
180 c0ex 11256 . . . . . . 7 0 ∈ V
181179, 180ifex 4575 . . . . . 6 if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) ∈ V
182177, 178, 181fvmpt3i 7020 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
183174, 182syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
18444iftrued 4532 . . . 4 (𝜑 → if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0) = (𝑋𝐴))
185183, 184eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = (𝑋𝐴))
186 fveqeq2 6914 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
187186rexbidv 3178 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
188187, 92, 44rspcdva 3622 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
1891, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 27309 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = (𝑇𝑎))
19047oveq1i 7442 . . . . . . . 8 (𝑇𝑎) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎)
191189, 190eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎))
19248ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
19358ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝐻 ∈ Grp)
19468ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
195 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
19669, 46, 43, 160oddvds 19566 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
197193, 194, 195, 196syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
19871ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
199 root1eq1 26799 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
200198, 195, 199syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
201 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
20240, 164eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑1 = (0g𝐻))
203202ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 1 = (0g𝐻))
204201, 203eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
205197, 200, 2043bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ))
206205necon3bid 2984 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 ))
207192, 206mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1)
208191, 207eqnetrd 3007 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) ≠ 1)
209208rexlimdvaa 3155 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
21044, 209mpdan 687 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
211188, 210mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 1)
212185, 211eqnetrd 3007 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1)
213 fveq1 6904 . . . 4 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → (𝑥𝐴) = ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴))
214213neeq1d 2999 . . 3 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → ((𝑥𝐴) ≠ 1 ↔ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1))
215214rspcev 3621 . 2 (((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
216173, 212, 215syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  ran crn 5685  cio 6511  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  -cneg 11494   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  cz 12615  ..^cfzo 13695  cexp 14103  chash 14370  Word cword 14553  cdvds 16291  Basecbs 17248  s cress 17275  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17485  Grpcgrp 18952  .gcmg 19086   GrpHom cghm 19231  odcod 19543   DProd cdprd 20014  dProjcdpj 20015  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  Unitcui 20356  ℤ/nczn 21514  𝑐ccxp 26598  DChrcdchr 27277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-word 14554  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-od 19547  df-lsm 19655  df-pj1 19656  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-dprd 20016  df-dpj 20017  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-2idl 21261  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-zn 21518  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-cxp 26600  df-dchr 27278
This theorem is referenced by:  dchrptlem3  27311
  Copyright terms: Public domain W3C validator