MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem2 26758
Description: Lemma for dchrpt 26760. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrpt.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrpt.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrpt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrpt.1 1 = (1rβ€˜π‘)
dchrpt.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dchrpt.n1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
dchrpt.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
dchrpt.m Β· = (.gβ€˜π»)
dchrpt.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
dchrpt.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
dchrpt.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
dchrpt.2 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (odβ€˜π»)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))))
dchrpt.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ dom π‘Š)
dchrpt.4 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) β‰  1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ β„Ž = (π‘‡β†‘π‘š))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Distinct variable groups:   β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯, 1   𝑒,β„Ž,𝐴,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   β„Ž,𝐼,π‘˜,π‘š,𝑒   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   β„Ž,𝐻,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,π‘₯   π‘₯,𝑁   β„Ž,π‘Š,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,π‘₯   Β· ,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,π‘₯   π‘₯,𝑋   𝑃,β„Ž,π‘š,𝑒   𝑆,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,π‘₯   β„Ž,𝑍,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,π‘₯   π‘₯,𝐷   πœ‘,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   𝑇,β„Ž,π‘š,𝑒   π‘ˆ,β„Ž,π‘š,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝐡(𝑒,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(𝑒,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑃(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝑇(π‘₯,π‘˜,𝑛)   π‘ˆ(π‘˜,𝑛)   1 (𝑒)   𝐺(𝑒,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝑁(𝑒,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑂(π‘₯,𝑒,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑋(𝑒,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrpt.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrpt.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
4 dchrpt.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
5 dchrpt.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 dchrpt.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
7 fveq2 6889 . . 3 (𝑣 = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘£) = (π‘‹β€˜π‘₯))
8 fveq2 6889 . . 3 (𝑣 = 𝑦 β†’ (π‘‹β€˜π‘£) = (π‘‹β€˜π‘¦))
9 fveq2 6889 . . 3 (𝑣 = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ (π‘‹β€˜π‘£) = (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)))
10 fveq2 6889 . . 3 (𝑣 = (1rβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘£) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
12 zex 12564 . . . . . . . . . . . . 13 β„€ ∈ V
1312mptex 7222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
1413rnex 7900 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
1614, 15dmmpti 6692 . . . . . . . . . 10 dom 𝑆 = dom π‘Š
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = dom π‘Š)
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ dom π‘Š)
2011, 17, 18, 19dpjf 19922 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ):(𝐻 DProd 𝑆)⟢(π‘†β€˜πΌ))
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
2221feq2d 6701 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ):(𝐻 DProd 𝑆)⟢(π‘†β€˜πΌ) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ):π‘ˆβŸΆ(π‘†β€˜πΌ)))
2320, 22mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ):π‘ˆβŸΆ(π‘†β€˜πΌ))
2423ffvelcdmda 7084 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) ∈ (π‘†β€˜πΌ))
2519adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 ∈ dom π‘Š)
26 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘Ž β†’ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜)) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜π‘˜)))
2726cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) = (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜π‘˜)))
28 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘Šβ€˜π‘˜) = (π‘Šβ€˜πΌ))
2928oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜π‘˜)) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
3029mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) = (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
3127, 30eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) = (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
3231rneqd 5936 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) = ran (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
3332, 15, 14fvmpt3i 7001 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ dom π‘Š β†’ (π‘†β€˜πΌ) = ran (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
3425, 33syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ) = ran (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
3524, 34eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) ∈ ran (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
36 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))) = (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
37 ovex 7439 . . . . . 6 (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∈ V
3836, 37elrnmpti 5958 . . . . 5 (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) ∈ ran (π‘Ž ∈ β„€ ↦ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
3935, 38sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
40 dchrpt.1 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π‘)
41 dchrpt.n1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
42 dchrpt.h . . . . . 6 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
43 dchrpt.m . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜π»)
44 dchrpt.au . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
45 dchrpt.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
46 dchrpt.o . . . . . 6 𝑂 = (odβ€˜π»)
47 dchrpt.t . . . . . 6 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))))
48 dchrpt.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) β‰  1 )
49 dchrpt.5 . . . . . 6 𝑋 = (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ β„Ž = (π‘‡β†‘π‘š))))
501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26757 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘£) = (π‘‡β†‘π‘Ž))
51 neg1cn 12323 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
52 2re 12283 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
535nnnn0d 12529 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
542zncrng 21092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
55 crngring 20062 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
574, 42unitgrp 20190 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
592, 3znfi 21107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ Fin)
605, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
613, 4unitss 20183 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ βŠ† 𝐡
62 ssfi 9170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ Fin ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐡) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
6360, 61, 62sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
64 wrdf 14466 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ Word π‘ˆ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘ˆ)
6545, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘ˆ)
6665fdmd 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
6719, 66eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
6865, 67ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)
694, 42unitgrpbas 20189 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = (Baseβ€˜π»)
7069, 46odcl2 19428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Fin ∧ (π‘Šβ€˜πΌ) ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)) ∈ β„•)
7158, 63, 68, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)) ∈ β„•)
72 nndivre 12250 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)) ∈ β„•) β†’ (2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))) ∈ ℝ)
7352, 71, 72sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))) ∈ ℝ)
7473recnd 11239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))) ∈ β„‚)
75 cxpcl 26174 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ β„‚ ∧ (2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))) ∈ β„‚) β†’ (-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)))) ∈ β„‚)
7651, 74, 75sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)))) ∈ β„‚)
7747, 76eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
7877ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
7951a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„‚)
80 neg1ne0 12325 . . . . . . . . . 10 -1 β‰  0
8180a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -1 β‰  0)
8279, 81, 74cxpne0d 26213 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)))) β‰  0)
8347neeq1i 3006 . . . . . . . 8 (𝑇 β‰  0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)))) β‰  0)
8482, 83sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  0)
8584ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ 𝑇 β‰  0)
86 simprl 770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
8778, 85, 86expclzd 14113 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‡β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
8850, 87eqeltrd 2834 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘£) ∈ β„‚)
8939, 88rexlimddv 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘£) ∈ β„‚)
90 fveqeq2 6898 . . . . . 6 (𝑣 = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
9190rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑣 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
9239ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
9392adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
94 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
9591, 93, 94rspcdva 3614 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
96 fveqeq2 6898 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
9796rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
98 oveq1 7413 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
9998eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
10099cbvrexvw 3236 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
10197, 100bitrdi 287 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
102 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
103101, 93, 102rspcdva 3614 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
104 reeanv 3227 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
10577ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
10684ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ 𝑇 β‰  0)
107 simprll 778 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
108 simprlr 779 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
109 expaddz 14069 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 β‰  0) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑇↑(π‘Ž + 𝑏)) = ((π‘‡β†‘π‘Ž) Β· (𝑇↑𝑏)))
110105, 106, 107, 108, 109syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (𝑇↑(π‘Ž + 𝑏)) = ((π‘‡β†‘π‘Ž) Β· (𝑇↑𝑏)))
111 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ πœ‘)
11256ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
11394adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
114102adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
115 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
1164, 115unitmulcl 20187 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) ∈ π‘ˆ)
117112, 113, 114, 116syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) ∈ π‘ˆ)
118107, 108zaddcld 12667 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (π‘Ž + 𝑏) ∈ β„€)
119 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
120 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
121119, 120oveq12d 7424 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘)((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦)) = ((π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))(.rβ€˜π‘)(𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
12211, 17, 18, 19dpjghm 19928 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ((𝐻 β†Ύs (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻))
12321oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύs (𝐻 DProd 𝑆)) = (𝐻 β†Ύs π‘ˆ))
12442ovexi 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 ∈ V
12569ressid 17186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ V β†’ (𝐻 β†Ύs π‘ˆ) = 𝐻)
126124, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 β†Ύs π‘ˆ) = 𝐻
127123, 126eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύs (𝐻 DProd 𝑆)) = 𝐻)
128127oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύs (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻) = (𝐻 GrpHom 𝐻))
129122, 128eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
130129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
1314fvexi 6903 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ ∈ V
132 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
133132, 115mgpplusg 19986 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
13442, 133ressplusg 17232 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜π»))
135131, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜π»)
13669, 135, 135ghmlin 19092 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘)((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦)))
137130, 113, 114, 136syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘)((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦)))
13858ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
13968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (π‘Šβ€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)
14069, 43, 135mulgdir 18981 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ (π‘Šβ€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘Ž + 𝑏) Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) = ((π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))(.rβ€˜π‘)(𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
141138, 107, 108, 139, 140syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ ((π‘Ž + 𝑏) Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) = ((π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))(.rβ€˜π‘)(𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
142121, 137, 1413eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘Ž + 𝑏) Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
1431, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26757 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘Ž + 𝑏) ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘Ž + 𝑏) Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (𝑇↑(π‘Ž + 𝑏)))
144111, 117, 118, 142, 143syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (𝑇↑(π‘Ž + 𝑏)))
1451, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26757 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) = (π‘‡β†‘π‘Ž))
146111, 113, 107, 119, 145syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) = (π‘‡β†‘π‘Ž))
1471, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26757 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (𝑇↑𝑏))
148111, 114, 108, 120, 147syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (𝑇↑𝑏))
149146, 148oveq12d 7424 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) = ((π‘‡β†‘π‘Ž) Β· (𝑇↑𝑏)))
150110, 144, 1493eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
151150expr 458 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
152151rexlimdvva 3212 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
153104, 152biimtrrid 242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘¦) = (𝑏 Β· (π‘Šβ€˜πΌ))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
15495, 103, 153mp2and 698 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
155 id 22 . . . . 5 (πœ‘ β†’ πœ‘)
156 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
1574, 1561unit 20181 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
15856, 157syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
159 0zd 12567 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
160 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
161160, 160ghmid 19093 . . . . . . 7 ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(0gβ€˜π»)) = (0gβ€˜π»))
162129, 161syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(0gβ€˜π»)) = (0gβ€˜π»))
1634, 42, 156unitgrpid 20192 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜π»))
16456, 163syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜π»))
165164fveq2d 6893 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(0gβ€˜π»)))
16669, 160, 43mulg0 18952 . . . . . . 7 ((π‘Šβ€˜πΌ) ∈ π‘ˆ β†’ (0 Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) = (0gβ€˜π»))
16768, 166syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) = (0gβ€˜π»))
168162, 165, 1673eqtr4d 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = (0 Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
1691, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26757 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ) ∧ (0 ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = (0 Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = (𝑇↑0))
170155, 158, 159, 168, 169syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = (𝑇↑0))
17177exp0d 14102 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇↑0) = 1)
172170, 171eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
1731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 89, 154, 172dchrelbasd 26732 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0)) ∈ 𝐷)
17461, 44sselid 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
175 eleq1 2822 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 β†’ (𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ 𝐴 ∈ π‘ˆ))
176 fveq2 6889 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 β†’ (π‘‹β€˜π‘£) = (π‘‹β€˜π΄))
177175, 176ifbieq1d 4552 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 β†’ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0) = if(𝐴 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π΄), 0))
178 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0)) = (𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0))
179 fvex 6902 . . . . . . 7 (π‘‹β€˜π‘£) ∈ V
180 c0ex 11205 . . . . . . 7 0 ∈ V
181179, 180ifex 4578 . . . . . 6 if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0) ∈ V
182177, 178, 181fvmpt3i 7001 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0))β€˜π΄) = if(𝐴 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π΄), 0))
183174, 182syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0))β€˜π΄) = if(𝐴 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π΄), 0))
18444iftrued 4536 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(𝐴 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π΄), 0) = (π‘‹β€˜π΄))
185183, 184eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0))β€˜π΄) = (π‘‹β€˜π΄))
186 fveqeq2 6898 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
187186rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π‘£) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ))))
188187, 92, 44rspcdva 3614 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
1891, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 26757 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‹β€˜π΄) = (π‘‡β†‘π‘Ž))
19047oveq1i 7416 . . . . . . . 8 (π‘‡β†‘π‘Ž) = ((-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))))β†‘π‘Ž)
191189, 190eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‹β€˜π΄) = ((-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))))β†‘π‘Ž))
19248ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) β‰  1 )
19358ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
19468ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘Šβ€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)
195 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
19669, 46, 43, 160oddvds 19410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (π‘Šβ€˜πΌ) ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)) βˆ₯ π‘Ž ↔ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) = (0gβ€˜π»)))
197193, 194, 195, 196syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)) βˆ₯ π‘Ž ↔ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) = (0gβ€˜π»)))
19871ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)) ∈ β„•)
199 root1eq1 26253 . . . . . . . . . . 11 (((π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)) ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (((-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))))β†‘π‘Ž) = 1 ↔ (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)) βˆ₯ π‘Ž))
200198, 195, 199syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (((-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))))β†‘π‘Ž) = 1 ↔ (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ)) βˆ₯ π‘Ž))
201 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))
20240, 164eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
203202ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
204201, 203eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = 1 ↔ (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) = (0gβ€˜π»)))
205197, 200, 2043bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (((-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))))β†‘π‘Ž) = 1 ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = 1 ))
206205necon3bid 2986 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (((-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))))β†‘π‘Ž) β‰  1 ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) β‰  1 ))
207192, 206mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ ((-1↑𝑐(2 / (π‘‚β€˜(π‘Šβ€˜πΌ))))β†‘π‘Ž) β‰  1)
208191, 207eqnetrd 3009 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘‹β€˜π΄) β‰  1)
209208rexlimdvaa 3157 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) β†’ (π‘‹β€˜π΄) β‰  1))
21044, 209mpdan 686 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((π‘ƒβ€˜πΌ)β€˜π΄) = (π‘Ž Β· (π‘Šβ€˜πΌ)) β†’ (π‘‹β€˜π΄) β‰  1))
211188, 210mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΄) β‰  1)
212185, 211eqnetrd 3009 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0))β€˜π΄) β‰  1)
213 fveq1 6888 . . . 4 (π‘₯ = (𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0)) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0))β€˜π΄))
214213neeq1d 3001 . . 3 (π‘₯ = (𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0)) β†’ ((π‘₯β€˜π΄) β‰  1 ↔ ((𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0))β€˜π΄) β‰  1))
215214rspcev 3613 . 2 (((𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0)) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑣 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑣 ∈ π‘ˆ, (π‘‹β€˜π‘£), 0))β€˜π΄) β‰  1) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
216173, 212, 215syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  β„©cio 6491  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  -cneg 11442   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  ..^cfzo 13624  β†‘cexp 14024  β™―chash 14287  Word cword 14461   βˆ₯ cdvds 16194  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  +gcplusg 17194  .rcmulr 17195  0gc0g 17382  Grpcgrp 18816  .gcmg 18945   GrpHom cghm 19084  odcod 19387   DProd cdprd 19858  dProjcdpj 19859  mulGrpcmgp 19982  1rcur 19999  Ringcrg 20050  CRingccrg 20051  Unitcui 20162  β„€/nβ„€czn 21044  β†‘𝑐ccxp 26056  DChrcdchr 26725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-word 14462  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-qus 17452  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-nsg 18999  df-eqg 19000  df-ghm 19085  df-gim 19128  df-cntz 19176  df-oppg 19205  df-od 19391  df-lsm 19499  df-pj1 19500  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-dprd 19860  df-dpj 19861  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-rnghom 20244  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-lidl 20780  df-rsp 20781  df-2idl 20850  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-zrh 21045  df-zn 21048  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-cxp 26058  df-dchr 26726
This theorem is referenced by:  dchrptlem3  26759
  Copyright terms: Public domain W3C validator