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Theorem dchrisum0fno1 26875
Description: The sum Ξ£π‘˜ ≀ π‘₯, 𝐹(π‘₯) / βˆšπ‘˜ is divergent (i.e. not eventually bounded). Equation 9.4.30 of [Shapiro], p. 383. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0fno1.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fno1 Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜, 1   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝑏,π‘ž,𝑣,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘ž,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘₯   𝐷,π‘˜,π‘₯   𝐿,𝑏,π‘˜,𝑣,π‘₯   𝑋,𝑏,π‘˜,𝑣,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(π‘₯,𝑣,π‘˜,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fno1
Dummy variables π‘š 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logno1 26007 . 2 Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
2 relogcl 25947 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
32adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
43recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5 2cnd 12238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
6 2ne0 12264 . . . . . 6 2 β‰  0
76a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 β‰  0)
84, 5, 7divcan2d 11940 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· ((logβ€˜π‘₯) / 2)) = (logβ€˜π‘₯))
98mpteq2dva 5210 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· ((logβ€˜π‘₯) / 2))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
103rehalfcld 12407 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ∈ ℝ)
1110recnd 11190 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ∈ β„‚)
12 rpssre 12929 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
13 2cn 12235 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
14 o1const 15509 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
17 1red 11163 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
18 dchrisum0fno1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))) ∈ 𝑂(1))
19 sumex 15579 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ V)
2110adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ∈ ℝ)
222ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
23 log1 25957 . . . . . . . . 9 (logβ€˜1) = 0
24 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
25 1rp 12926 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
26 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
27 logleb 25974 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ π‘₯ ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘₯)))
2825, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1 ≀ π‘₯ ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘₯)))
2924, 28mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘₯))
3023, 29eqbrtrrid 5146 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘₯))
31 2re 12234 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 2 ∈ ℝ)
33 2pos 12263 . . . . . . . . 9 0 < 2
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 < 2)
35 divge0 12031 . . . . . . . 8 ((((logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜π‘₯)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘₯) / 2))
3622, 30, 32, 34, 35syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘₯) / 2))
3721, 36absidd 15314 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜((logβ€˜π‘₯) / 2)) = ((logβ€˜π‘₯) / 2))
38 fzfid 13885 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
39 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
40 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
41 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
42 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
43 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
44 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0gβ€˜πΊ)
45 dchrisum0f.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
46 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
47 dchrisum0flb.r . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
4839, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47dchrisum0ff 26871 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
4948adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
50 elfznn 13477 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
51 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:β„•βŸΆβ„ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5249, 50, 51syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5350adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5453nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
5554rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
5652, 55rerpdivcld 12995 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5738, 56fsumrecl 15626 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5857recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
5958abscld 15328 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
60 fzfid 13885 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ Fin)
61 elfznn 13477 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
6261adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
6362nnrecred 12211 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
6460, 63fsumrecl 15626 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖) ∈ ℝ)
65 logsqrt 26075 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) / 2))
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (logβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) / 2))
67 rpsqrtcl 15156 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
6867ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
69 harmoniclbnd 26374 . . . . . . . . . 10 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (logβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
7166, 70eqbrtrrd 5134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
72 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) = (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))
73 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘šβ†‘2) ∈ V
7472, 73elrnmpti 5920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))π‘˜ = (π‘šβ†‘2))
75 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„•)
7675adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
7776nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
7877rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š))
79 sqrtsq 15161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) β†’ (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)) = π‘š)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)) = π‘š)
8180, 76eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)) ∈ β„•)
82 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (π‘šβ†‘2) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) = (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)))
8382eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (π‘šβ†‘2) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)) ∈ β„•))
8481, 83syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘˜ = (π‘šβ†‘2) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•))
8584rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))π‘˜ = (π‘šβ†‘2) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•))
8674, 85biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•))
8786imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
8887iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) = 1)
8988oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = (1 / (βˆšβ€˜π‘˜)))
9089sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(1 / (βˆšβ€˜π‘˜)))
91 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑖↑2) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) = (βˆšβ€˜(𝑖↑2)))
9291oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑖↑2) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘˜)) = (1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))))
9376nnsqcld 14154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ β„•)
9468rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
95 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ (π‘š ∈ β„• ∧ π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ (π‘š ∈ β„• ∧ π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))))
9796simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))
9868adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
9998rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π‘₯)))
100 le2sq 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯) ↔ (π‘šβ†‘2) ≀ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)))
10178, 99, 100syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯) ↔ (π‘šβ†‘2) ≀ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)))
10297, 101mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘šβ†‘2) ≀ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2))
10326rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
104103adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
105104recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
106105sqsqrtd 15331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) = π‘₯)
107102, 106breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘šβ†‘2) ≀ π‘₯)
108 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘šβ†‘2) ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘šβ†‘2) ∈ β„• ∧ (π‘šβ†‘2) ≀ π‘₯)))
109104, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘šβ†‘2) ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘šβ†‘2) ∈ β„• ∧ (π‘šβ†‘2) ≀ π‘₯)))
11093, 107, 109mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
111110ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))))
11275nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
113112rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š))
11461nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ+)
115114rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑖))
116 sq11 14043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑖)) β†’ ((π‘šβ†‘2) = (𝑖↑2) ↔ π‘š = 𝑖))
117113, 115, 116syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘šβ†‘2) = (𝑖↑2) ↔ π‘š = 𝑖))
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘šβ†‘2) = (𝑖↑2) ↔ π‘š = 𝑖)))
119111, 118dom2lem 8939 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1β†’(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
120 f1f1orn 6800 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1β†’(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1-ontoβ†’ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1-ontoβ†’ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
122 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ (π‘šβ†‘2) = (𝑖↑2))
123122, 72, 73fvmpt3i 6958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))β€˜π‘–) = (𝑖↑2))
124123adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))β€˜π‘–) = (𝑖↑2))
125 f1f 6743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1β†’(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))⟢(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
126 frn 6680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))⟢(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
127119, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
128127sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
129 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
130 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
131129, 130ifcli 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ
132 rerpdivcl 12952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
133131, 55, 132sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
134133recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
135128, 134syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
13689, 135eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
13792, 60, 121, 124, 136fsumf1o 15615 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(1 / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))))
13890, 137eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))))
139 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))))
14050ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
141140nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
142141sqsqrtd 15331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) = π‘˜)
143 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
144 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ ≀ π‘₯)))
145103, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ ≀ π‘₯)))
146145simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘˜ ≀ π‘₯)
147146adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ≀ π‘₯)
148140nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
149148rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘˜))
15026adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
151150rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
152 sqrtle 15152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘˜) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘˜ ≀ π‘₯ ↔ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯)))
153149, 151, 152syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (π‘˜ ≀ π‘₯ ↔ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯)))
154147, 153mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))
15568adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
156155rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
157 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„• ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„• ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))))
159143, 154, 158mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))))
160142, 140eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) ∈ β„•)
161 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = (βˆšβ€˜π‘˜) β†’ (π‘šβ†‘2) = ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2))
16272, 161elrnmpt1s 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∧ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
163159, 160, 162syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
164142, 163eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
165164expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))))
166165con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•))
167166impr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
168139, 167sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
169168iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) = 0)
170169oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = (0 / (βˆšβ€˜π‘˜)))
171 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
172171, 55sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
173172rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) β‰  0))
174 div0 11850 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (0 / (βˆšβ€˜π‘˜)) = 0)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ (0 / (βˆšβ€˜π‘˜)) = 0)
176170, 175eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = 0)
177127, 135, 176, 38fsumss 15617 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
17862nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ+)
179178rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑖))
180 sqrtsq 15161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑖) β†’ (βˆšβ€˜(𝑖↑2)) = 𝑖)
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (βˆšβ€˜(𝑖↑2)) = 𝑖)
182181oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))) = (1 / 𝑖))
183182sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))) = Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
184138, 177, 1833eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
185131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
18641ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
18746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
18847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
18939, 40, 186, 42, 43, 44, 45, 187, 188, 53dchrisum0flb 26874 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
190185, 52, 55, 189lediv1dd 13022 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
19138, 133, 56, 190fsumle 15691 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
192184, 191eqbrtrrd 5134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
19321, 64, 57, 71, 192letrd 11319 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
19457leabsd 15306 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))))
19521, 57, 59, 193, 194letrd 11319 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))))
19637, 195eqbrtrd 5132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜((logβ€˜π‘₯) / 2)) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))))
19717, 18, 20, 11, 196o1le 15544 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / 2)) ∈ 𝑂(1))
1985, 11, 16, 197o1mul2 15514 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· ((logβ€˜π‘₯) / 2))) ∈ 𝑂(1))
1999, 198eqeltrrd 2839 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
2001, 199mto 196 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„+crp 12922  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  abscabs 15126  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  logclog 25926  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-numer 16617  df-denom 16618  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358  df-dchr 26597
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