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Theorem dchrisum0fno1 27014
Description: The sum Ξ£π‘˜ ≀ π‘₯, 𝐹(π‘₯) / βˆšπ‘˜ is divergent (i.e. not eventually bounded). Equation 9.4.30 of [Shapiro], p. 383. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0fno1.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fno1 Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜, 1   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝑏,π‘ž,𝑣,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘ž,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘₯   𝐷,π‘˜,π‘₯   𝐿,𝑏,π‘˜,𝑣,π‘₯   𝑋,𝑏,π‘˜,𝑣,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(π‘₯,𝑣,π‘˜,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fno1
Dummy variables π‘š 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logno1 26144 . 2 Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
2 relogcl 26084 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
32adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
43recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5 2cnd 12290 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
6 2ne0 12316 . . . . . 6 2 β‰  0
76a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 β‰  0)
84, 5, 7divcan2d 11992 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· ((logβ€˜π‘₯) / 2)) = (logβ€˜π‘₯))
98mpteq2dva 5249 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· ((logβ€˜π‘₯) / 2))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
103rehalfcld 12459 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ∈ ℝ)
1110recnd 11242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ∈ β„‚)
12 rpssre 12981 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
13 2cn 12287 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
14 o1const 15564 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
17 1red 11215 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
18 dchrisum0fno1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))) ∈ 𝑂(1))
19 sumex 15634 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ V)
2110adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ∈ ℝ)
222ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
23 log1 26094 . . . . . . . . 9 (logβ€˜1) = 0
24 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
25 1rp 12978 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
26 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
27 logleb 26111 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ π‘₯ ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘₯)))
2825, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1 ≀ π‘₯ ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘₯)))
2924, 28mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘₯))
3023, 29eqbrtrrid 5185 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘₯))
31 2re 12286 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 2 ∈ ℝ)
33 2pos 12315 . . . . . . . . 9 0 < 2
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 < 2)
35 divge0 12083 . . . . . . . 8 ((((logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜π‘₯)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘₯) / 2))
3622, 30, 32, 34, 35syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘₯) / 2))
3721, 36absidd 15369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜((logβ€˜π‘₯) / 2)) = ((logβ€˜π‘₯) / 2))
38 fzfid 13938 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
39 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
40 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
41 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
42 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
43 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
44 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0gβ€˜πΊ)
45 dchrisum0f.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
46 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
47 dchrisum0flb.r . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
4839, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47dchrisum0ff 27010 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
4948adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
50 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
51 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:β„•βŸΆβ„ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5249, 50, 51syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5350adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5453nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
5554rpsqrtcld 15358 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
5652, 55rerpdivcld 13047 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5738, 56fsumrecl 15680 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5857recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
5958abscld 15383 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
60 fzfid 13938 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ Fin)
61 elfznn 13530 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
6261adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
6362nnrecred 12263 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
6460, 63fsumrecl 15680 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖) ∈ ℝ)
65 logsqrt 26212 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) / 2))
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (logβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) / 2))
67 rpsqrtcl 15211 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
6867ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
69 harmoniclbnd 26513 . . . . . . . . . 10 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (logβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
7166, 70eqbrtrrd 5173 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
72 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) = (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))
73 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘šβ†‘2) ∈ V
7472, 73elrnmpti 5960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))π‘˜ = (π‘šβ†‘2))
75 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„•)
7675adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
7776nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
7877rprege0d 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š))
79 sqrtsq 15216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) β†’ (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)) = π‘š)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)) = π‘š)
8180, 76eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)) ∈ β„•)
82 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (π‘šβ†‘2) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) = (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)))
8382eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (π‘šβ†‘2) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜(π‘šβ†‘2)) ∈ β„•))
8481, 83syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘˜ = (π‘šβ†‘2) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•))
8584rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))π‘˜ = (π‘šβ†‘2) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•))
8674, 85biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•))
8786imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
8887iftrued 4537 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) = 1)
8988oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = (1 / (βˆšβ€˜π‘˜)))
9089sumeq2dv 15649 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(1 / (βˆšβ€˜π‘˜)))
91 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑖↑2) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) = (βˆšβ€˜(𝑖↑2)))
9291oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑖↑2) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘˜)) = (1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))))
9376nnsqcld 14207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ β„•)
9468rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
95 fznnfl 13827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ (π‘š ∈ β„• ∧ π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ (π‘š ∈ β„• ∧ π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))))
9796simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))
9868adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
9998rprege0d 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π‘₯)))
100 le2sq 14099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯) ↔ (π‘šβ†‘2) ≀ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)))
10178, 99, 100syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘š ≀ (βˆšβ€˜π‘₯) ↔ (π‘šβ†‘2) ≀ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)))
10297, 101mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘šβ†‘2) ≀ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2))
10326rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
104103adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
105104recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
106105sqsqrtd 15386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) = π‘₯)
107102, 106breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘šβ†‘2) ≀ π‘₯)
108 fznnfl 13827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘šβ†‘2) ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘šβ†‘2) ∈ β„• ∧ (π‘šβ†‘2) ≀ π‘₯)))
109104, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘šβ†‘2) ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘šβ†‘2) ∈ β„• ∧ (π‘šβ†‘2) ≀ π‘₯)))
11093, 107, 109mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
111110ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))))
11275nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
113112rprege0d 13023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š))
11461nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ+)
115114rprege0d 13023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑖))
116 sq11 14096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑖)) β†’ ((π‘šβ†‘2) = (𝑖↑2) ↔ π‘š = 𝑖))
117113, 115, 116syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘šβ†‘2) = (𝑖↑2) ↔ π‘š = 𝑖))
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘šβ†‘2) = (𝑖↑2) ↔ π‘š = 𝑖)))
119111, 118dom2lem 8988 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1β†’(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
120 f1f1orn 6845 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1β†’(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1-ontoβ†’ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1-ontoβ†’ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
122 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ (π‘šβ†‘2) = (𝑖↑2))
123122, 72, 73fvmpt3i 7004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))β€˜π‘–) = (𝑖↑2))
124123adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))β€˜π‘–) = (𝑖↑2))
125 f1f 6788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))–1-1β†’(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))⟢(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
126 frn 6725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)):(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))⟢(1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
127119, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
128127sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
129 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
130 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
131129, 130ifcli 4576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ
132 rerpdivcl 13004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
133131, 55, 132sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
134133recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
135128, 134syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
13689, 135eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
13792, 60, 121, 124, 136fsumf1o 15669 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(1 / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))))
13890, 137eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))))
139 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))))
14050ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
141140nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
142141sqsqrtd 15386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) = π‘˜)
143 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
144 fznnfl 13827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ ≀ π‘₯)))
145103, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ ≀ π‘₯)))
146145simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘˜ ≀ π‘₯)
147146adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ≀ π‘₯)
148140nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
149148rprege0d 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘˜))
15026adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
151150rprege0d 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
152 sqrtle 15207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘˜) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘˜ ≀ π‘₯ ↔ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯)))
153149, 151, 152syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (π‘˜ ≀ π‘₯ ↔ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯)))
154147, 153mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))
15568adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
156155rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
157 fznnfl 13827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„• ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„• ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))))
159143, 154, 158mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))))
160142, 140eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) ∈ β„•)
161 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = (βˆšβ€˜π‘˜) β†’ (π‘šβ†‘2) = ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2))
16272, 161elrnmpt1s 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∧ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
163159, 160, 162syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜)↑2) ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
164142, 163eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))
165164expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))))
166165con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•))
167166impr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
168139, 167sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
169168iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) = 0)
170169oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = (0 / (βˆšβ€˜π‘˜)))
171 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))) β†’ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
172171, 55sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
173172rpcnne0d 13025 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) β‰  0))
174 div0 11902 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (0 / (βˆšβ€˜π‘˜)) = 0)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ (0 / (βˆšβ€˜π‘˜)) = 0)
176170, 175eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ– ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2)))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = 0)
177127, 135, 176, 38fsumss 15671 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ↦ (π‘šβ†‘2))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
17862nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ+)
179178rprege0d 13023 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑖))
180 sqrtsq 15216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑖) β†’ (βˆšβ€˜(𝑖↑2)) = 𝑖)
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (βˆšβ€˜(𝑖↑2)) = 𝑖)
182181oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))) = (1 / 𝑖))
183182sumeq2dv 15649 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / (βˆšβ€˜(𝑖↑2))) = Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
184138, 177, 1833eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖))
185131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
18641ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
18746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
18847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
18939, 40, 186, 42, 43, 44, 45, 187, 188, 53dchrisum0flb 27013 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
190185, 52, 55, 189lediv1dd 13074 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
19138, 133, 56, 190fsumle 15745 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(if((βˆšβ€˜π‘˜) ∈ β„•, 1, 0) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
192184, 191eqbrtrrd 5173 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))(1 / 𝑖) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
19321, 64, 57, 71, 192letrd 11371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)))
19457leabsd 15361 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜)) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))))
19521, 57, 59, 193, 194letrd 11371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 2) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))))
19637, 195eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜((logβ€˜π‘₯) / 2)) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((πΉβ€˜π‘˜) / (βˆšβ€˜π‘˜))))
19717, 18, 20, 11, 196o1le 15599 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / 2)) ∈ 𝑂(1))
1985, 11, 16, 197o1mul2 15569 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· ((logβ€˜π‘₯) / 2))) ∈ 𝑂(1))
1999, 198eqeltrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
2001, 199mto 196 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„+crp 12974  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  abscabs 15181  π‘‚(1)co1 15430  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197  Basecbs 17144  0gc0g 17385  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052  logclog 26063  DChrcdchr 26735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-o1 15434  df-lo1 15435  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-numer 16671  df-denom 16672  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066  df-atan 26372  df-em 26497  df-dchr 26736
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