Theorem elspani 32145

Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
elspan.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elspani	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem elspani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanval 31935	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
2	1	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}))
3		elspan.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	elintrab 4919	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥))
5	2, 4	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∩ cint 4906  ‘cfv 6538   ℋchba 31521   S_ℋ csh 31530  spancspn 31534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-1cn 11258  ax-addcl 11260  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hv0cl 31605  ax-hfvmul 31607

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-map 8849  df-nn 12336  df-hlim 31574  df-sh 31809  df-ch 31823  df-span 31911

This theorem is used by:  spanuni  32146  spansni  32159