Theorem elspani 31681

Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
elspan.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elspani	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem elspani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanval 31471	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
2	1	eleq2d 2838	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}))
3		elspan.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	elintrab 4908	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥))
5	2, 4	bitrdi 289	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  {crab 3404  Vcvv 3444   ⊆ wss 3895  ∩ cint 4895  ‘cfv 6506   ℋchba 31057   S_ℋ csh 31066  spancspn 31070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-1cn 11117  ax-addcl 11119  ax-hilex 31137  ax-hfvadd 31138  ax-hv0cl 31141  ax-hfvmul 31143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-map 8794  df-nn 12197  df-hlim 31110  df-sh 31345  df-ch 31359  df-span 31447

This theorem is referenced by:  spanuni  31682  spansni  31695