HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elspani Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elspani 29317
Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
elspan.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elspani (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥S (𝐴𝑥𝐵𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem elspani
StepHypRef Expression
1 spanval 29107 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
21eleq2d 2901 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ 𝐵 {𝑥S𝐴𝑥}))
3 elspan.1 . . 3 𝐵 ∈ V
43elintrab 4871 . 2 (𝐵 {𝑥S𝐴𝑥} ↔ ∀𝑥S (𝐴𝑥𝐵𝑥))
52, 4syl6bb 290 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥S (𝐴𝑥𝐵𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2115  wral 3132  {crab 3136  Vcvv 3479  wss 3918   cint 4859  cfv 6338  chba 28693   S csh 28702  spancspn 28706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-1cn 10582  ax-addcl 10584  ax-hilex 28773  ax-hfvadd 28774  ax-hv0cl 28777  ax-hfvmul 28779
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-map 8393  df-nn 11626  df-hlim 28746  df-sh 28981  df-ch 28995  df-span 29083
This theorem is referenced by:  spanuni  29318  spansni  29331
  Copyright terms: Public domain W3C validator