HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elspani Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elspani 31301
Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
elspan.1 𝐡 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elspani (𝐴 βŠ† β„‹ β†’ (𝐡 ∈ (spanβ€˜π΄) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ Sβ„‹ (𝐴 βŠ† π‘₯ β†’ 𝐡 ∈ π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡

Proof of Theorem elspani
StepHypRef Expression
1 spanval 31091 . . 3 (𝐴 βŠ† β„‹ β†’ (spanβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ 𝐴 βŠ† π‘₯})
21eleq2d 2813 . 2 (𝐴 βŠ† β„‹ β†’ (𝐡 ∈ (spanβ€˜π΄) ↔ 𝐡 ∈ ∩ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ 𝐴 βŠ† π‘₯}))
3 elspan.1 . . 3 𝐡 ∈ V
43elintrab 4957 . 2 (𝐡 ∈ ∩ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ 𝐴 βŠ† π‘₯} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ Sβ„‹ (𝐴 βŠ† π‘₯ β†’ 𝐡 ∈ π‘₯))
52, 4bitrdi 287 1 (𝐴 βŠ† β„‹ β†’ (𝐡 ∈ (spanβ€˜π΄) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ Sβ„‹ (𝐴 βŠ† π‘₯ β†’ 𝐡 ∈ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ© cint 4943  β€˜cfv 6536   β„‹chba 30677   Sβ„‹ csh 30686  spancspn 30690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169  ax-hilex 30757  ax-hfvadd 30758  ax-hv0cl 30761  ax-hfvmul 30763
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-map 8821  df-nn 12214  df-hlim 30730  df-sh 30965  df-ch 30979  df-span 31067
This theorem is referenced by:  spanuni  31302  spansni  31315
  Copyright terms: Public domain W3C validator