Theorem elspani 31588

Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
elspan.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elspani	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem elspani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanval 31378	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
2	1	eleq2d 2827	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}))
3		elspan.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	elintrab 4968	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥))
5	2, 4	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3481   ⊆ wss 3966  ∩ cint 4954  ‘cfv 6569   ℋchba 30964   S_ℋ csh 30973  spancspn 30977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-1cn 11220  ax-addcl 11222  ax-hilex 31044  ax-hfvadd 31045  ax-hv0cl 31048  ax-hfvmul 31050

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-map 8876  df-nn 12274  df-hlim 31017  df-sh 31252  df-ch 31266  df-span 31354

This theorem is referenced by:  spanuni  31589  spansni  31602