Theorem elspani 29323

Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
elspan.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elspani	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem elspani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanval 29113	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
2	1	eleq2d 2901	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}))
3		elspan.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	elintrab 4891	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥))
5	2, 4	syl6bb 289	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ∈ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  {crab 3145  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  ∩ cint 4879  ‘cfv 6358   ℋchba 28699   S_ℋ csh 28708  spancspn 28712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-1cn 10598  ax-addcl 10600  ax-hilex 28779  ax-hfvadd 28780  ax-hv0cl 28783  ax-hfvmul 28785

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-map 8411  df-nn 11642  df-hlim 28752  df-sh 28987  df-ch 29001  df-span 29089

This theorem is referenced by:  spanuni  29324  spansni  29337