Theorem span0 28952

Description: The span of the empty set is the zero subspace. Remark 11.6.e of [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
span0	⊢ (span‘∅) = 0ℋ

Proof of Theorem span0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h0elsh 28664	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
2	1	shssii 28621	. . . 4 ⊢ 0ℋ ⊆ ℋ
3		0ss 4199	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 0ℋ
4		spanss 28758	. . . 4 ⊢ ((0ℋ ⊆ ℋ ∧ ∅ ⊆ 0ℋ) → (span‘∅) ⊆ (span‘0ℋ))
5	2, 3, 4	mp2an 683	. . 3 ⊢ (span‘∅) ⊆ (span‘0ℋ)
6		spanid 28757	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → (span‘0ℋ) = 0ℋ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (span‘0ℋ) = 0ℋ
8	5, 7	sseqtri 3862	. 2 ⊢ (span‘∅) ⊆ 0ℋ
9		0ss 4199	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ ℋ
10		spancl 28746	. . . 4 ⊢ (∅ ⊆ ℋ → (span‘∅) ∈ Sℋ )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (span‘∅) ∈ Sℋ
12		sh0le 28850	. . 3 ⊢ ((span‘∅) ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (span‘∅))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0ℋ ⊆ (span‘∅)
14	8, 13	eqssi 3843	1 ⊢ (span‘∅) = 0ℋ

Syntax hints:   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  ‘cfv 6127   ℋchba 28327   S_ℋ csh 28336  spancspn 28340  0_ℋc0h 28343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvmulass 28415  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-icc 12477  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-topgen 16464  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128  df-lm 21411  df-haus 21497  df-grpo 27899  df-gid 27900  df-ginv 27901  df-gdiv 27902  df-ablo 27951  df-vc 27965  df-nv 27998  df-va 28001  df-ba 28002  df-sm 28003  df-0v 28004  df-vs 28005  df-nmcv 28006  df-ims 28007  df-hnorm 28376  df-hvsub 28379  df-hlim 28380  df-sh 28615  df-ch 28629  df-ch0 28661  df-span 28719

This theorem is referenced by: (None)