Theorem span0 30329

Description: The span of the empty set is the zero subspace. Remark 11.6.e of [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
span0	⊢ (span‘∅) = 0ℋ

Proof of Theorem span0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h0elsh 30043	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
2	1	shssii 30000	. . . 4 ⊢ 0ℋ ⊆ ℋ
3		0ss 4354	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 0ℋ
4		spanss 30135	. . . 4 ⊢ ((0ℋ ⊆ ℋ ∧ ∅ ⊆ 0ℋ) → (span‘∅) ⊆ (span‘0ℋ))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . 3 ⊢ (span‘∅) ⊆ (span‘0ℋ)
6		spanid 30134	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → (span‘0ℋ) = 0ℋ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (span‘0ℋ) = 0ℋ
8	5, 7	sseqtri 3978	. 2 ⊢ (span‘∅) ⊆ 0ℋ
9		0ss 4354	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ ℋ
10		spancl 30123	. . . 4 ⊢ (∅ ⊆ ℋ → (span‘∅) ∈ Sℋ )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (span‘∅) ∈ Sℋ
12		sh0le 30227	. . 3 ⊢ ((span‘∅) ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (span‘∅))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0ℋ ⊆ (span‘∅)
14	8, 13	eqssi 3958	1 ⊢ (span‘∅) = 0ℋ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3908  ∅c0 4280  ‘cfv 6493   ℋchba 29706   S_ℋ csh 29715  spancspn 29719  0_ℋc0h 29722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 29786  ax-hfvadd 29787  ax-hvcom 29788  ax-hvass 29789  ax-hv0cl 29790  ax-hvaddid 29791  ax-hfvmul 29792  ax-hvmulid 29793  ax-hvmulass 29794  ax-hvdistr1 29795  ax-hvdistr2 29796  ax-hvmul0 29797  ax-hfi 29866  ax-his1 29869  ax-his2 29870  ax-his3 29871  ax-his4 29872

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-icc 13225  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-topgen 17279  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-met 20737  df-bl 20738  df-mopn 20739  df-top 22189  df-topon 22206  df-bases 22242  df-lm 22526  df-haus 22612  df-grpo 29280  df-gid 29281  df-ginv 29282  df-gdiv 29283  df-ablo 29332  df-vc 29346  df-nv 29379  df-va 29382  df-ba 29383  df-sm 29384  df-0v 29385  df-vs 29386  df-nmcv 29387  df-ims 29388  df-hnorm 29755  df-hvsub 29758  df-hlim 29759  df-sh 29994  df-ch 30008  df-ch0 30040  df-span 30096

This theorem is referenced by: (None)