Theorem fcobijfs2 33113

Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also fcobijfs 33112 and mapfien 9371. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcobijfs2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
fcobijfs2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
fcobijfs2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
fcobijfs2.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
fcobijfs2.5	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
fcobijfs2.7	⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs2.8	⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}

Assertion

Ref	Expression
fcobijfs2	⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,ℎ   𝑓,𝑂   𝑔,𝑂,ℎ   𝑅,𝑓,ℎ   𝑅,𝑔   𝑆,𝑓,ℎ   𝑆,𝑔   𝑇,𝑓,ℎ   𝑇,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑊(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑋(𝑔, ℎ)   𝑌(𝑔, ℎ)

Proof of Theorem fcobijfs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcobijfs2.7	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2		breq1 5114	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 𝑂 ↔ 𝑔 finSupp 𝑂))
3	2	cbvrabv 3428	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
4	1, 3	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)}
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)
7		fcobijfs2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
8		f1oi 6863	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇)
10		fcobijfs2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
11		fcobijfs2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
12		fcobijfs2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
13		fcobijfs2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
14	4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 11, 13	mapfien 9371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→{ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)})
15		fvresi 7175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
16	13, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
17	16	breq2d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) ↔ ℎ finSupp 𝑂))
18	17	rabbidv 3425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂})
19		fcobijfs2.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
20	18, 19	eqtr4di 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = 𝑌)
21	14, 20	f1oeq3dd 33021	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌)
22	1	ssrab3 4037	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑇 ↑m 𝑆)
23	22	sseli 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑋 → 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆))
24		elmapi 8848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) → 𝑓:𝑆⟶𝑇)
25		f1of 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
26	7, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
27		fco 6734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐺:𝑅⟶𝑆) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
28	24, 26, 27	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
29		fcoi2 6757	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
30	28, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
31	23, 30	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
32	31	mpteq2dva 5206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))) = (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)))
33	32	f1oeq1d 6819	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌))
34	21, 33	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   I cid 5557   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826   finSupp cfsupp 9324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-1o 8455  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-fin 8949  df-fsupp 9325

This theorem is used by:  mplvrpmfgalem  33974