Theorem fcobijfs2 32811

Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also fcobijfs 32810 and mapfien 9323. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcobijfs2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
fcobijfs2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
fcobijfs2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
fcobijfs2.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
fcobijfs2.5	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
fcobijfs2.7	⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs2.8	⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}

Assertion

Ref	Expression
fcobijfs2	⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,ℎ   𝑓,𝑂   𝑔,𝑂,ℎ   𝑅,𝑓,ℎ   𝑅,𝑔   𝑆,𝑓,ℎ   𝑆,𝑔   𝑇,𝑓,ℎ   𝑇,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔,ℎ)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑊(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   𝑌(𝑔,ℎ)

Proof of Theorem fcobijfs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcobijfs2.7	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 𝑂 ↔ 𝑔 finSupp 𝑂))
3	2	cbvrabv 3411	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
4	1, 3	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)}
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)
7		fcobijfs2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
8		f1oi 6820	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇)
10		fcobijfs2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
11		fcobijfs2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
12		fcobijfs2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
13		fcobijfs2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
14	4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 11, 13	mapfien 9323	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→{ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)})
15		fvresi 7129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
17	16	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) ↔ ℎ finSupp 𝑂))
18	17	rabbidv 3408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂})
19		fcobijfs2.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
20	18, 19	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = 𝑌)
21	14, 20	f1oeq3dd 32718	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌)
22	1	ssrab3 4036	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑇 ↑m 𝑆)
23	22	sseli 3931	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑋 → 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆))
24		elmapi 8798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) → 𝑓:𝑆⟶𝑇)
25		f1of 6782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
26	7, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
27		fco 6694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐺:𝑅⟶𝑆) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
28	24, 26, 27	syl2anr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
29		fcoi2 6717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
31	23, 30	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
32	31	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))) = (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)))
33	32	f1oeq1d 6777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌))
34	21, 33	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   I cid 5526   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775   finSupp cfsupp 9276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-1o 8407  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-fsupp 9277

This theorem is referenced by:  mplvrpmfgalem  33720