Theorem fcobijfs2 33067

Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also fcobijfs 33066 and mapfien 9364. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcobijfs2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
fcobijfs2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
fcobijfs2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
fcobijfs2.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
fcobijfs2.5	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
fcobijfs2.7	⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs2.8	⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}

Assertion

Ref	Expression
fcobijfs2	⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,ℎ   𝑓,𝑂   𝑔,𝑂,ℎ   𝑅,𝑓,ℎ   𝑅,𝑔   𝑆,𝑓,ℎ   𝑆,𝑔   𝑇,𝑓,ℎ   𝑇,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔,ℎ)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑊(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   𝑌(𝑔,ℎ)

Proof of Theorem fcobijfs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcobijfs2.7	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 𝑂 ↔ 𝑔 finSupp 𝑂))
3	2	cbvrabv 3426	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
4	1, 3	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)}
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)
7		fcobijfs2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
8		f1oi 6859	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇)
10		fcobijfs2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
11		fcobijfs2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
12		fcobijfs2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
13		fcobijfs2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
14	4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 11, 13	mapfien 9364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→{ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)})
15		fvresi 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
16	13, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
17	16	breq2d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) ↔ ℎ finSupp 𝑂))
18	17	rabbidv 3423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂})
19		fcobijfs2.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
20	18, 19	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = 𝑌)
21	14, 20	f1oeq3dd 32974	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌)
22	1	ssrab3 4036	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑇 ↑m 𝑆)
23	22	sseli 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑋 → 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆))
24		elmapi 8842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) → 𝑓:𝑆⟶𝑇)
25		f1of 6820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
26	7, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
27		fco 6730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐺:𝑅⟶𝑆) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
28	24, 26, 27	syl2anr 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
29		fcoi2 6753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
30	28, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
31	23, 30	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
32	31	mpteq2dva 5204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))) = (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)))
33	32	f1oeq1d 6815	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌))
34	21, 33	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   I cid 5555   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-1o 8449  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fsupp 9318

This theorem is referenced by:  mplvrpmfgalem  33934