Theorem fcobijfs2 33307

Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also fcobijfs 33306 and mapfien 9393. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcobijfs2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
fcobijfs2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
fcobijfs2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
fcobijfs2.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
fcobijfs2.5	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
fcobijfs2.7	⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs2.8	⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}

Assertion

Ref	Expression
fcobijfs2	⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,ℎ   𝑓,𝑂   𝑔,𝑂,ℎ   𝑅,𝑓,ℎ   𝑅,𝑔   𝑆,𝑓,ℎ   𝑆,𝑔   𝑇,𝑓,ℎ   𝑇,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑊(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑋(𝑔, ℎ)   𝑌(𝑔, ℎ)

Proof of Theorem fcobijfs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcobijfs2.7	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 𝑂 ↔ 𝑔 finSupp 𝑂))
3	2	cbvrabv 3423	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
4	1, 3	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)}
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)
7		fcobijfs2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
8		f1oi 6861	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇)
10		fcobijfs2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
11		fcobijfs2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
12		fcobijfs2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
13		fcobijfs2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
14	4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 11, 13	mapfien 9393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→{ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)})
15		fvresi 7176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
16	13, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
17	16	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) ↔ ℎ finSupp 𝑂))
18	17	rabbidv 3420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂})
19		fcobijfs2.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
20	18, 19	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = 𝑌)
21	14, 20	f1oeq3dd 33216	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌)
22	1	ssrab3 4030	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑇 ↑m 𝑆)
23	22	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑋 → 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆))
24		elmapi 8862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) → 𝑓:𝑆⟶𝑇)
25		f1of 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
26	7, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
27		fco 6732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐺:𝑅⟶𝑆) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
28	24, 26, 27	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
29		fcoi2 6755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
30	28, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
31	23, 30	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
32	31	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))) = (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)))
33	32	f1oeq1d 6817	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌))
34	21, 33	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5545   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840   finSupp cfsupp 9346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-1o 8469  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970  df-fsupp 9347

This theorem is used by:  mplvrpmfgalem  34169