Theorem fcobijfs2 33004

Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also fcobijfs 33003 and mapfien 9364. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcobijfs2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
fcobijfs2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
fcobijfs2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
fcobijfs2.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
fcobijfs2.5	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
fcobijfs2.7	⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs2.8	⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}

Assertion

Ref	Expression
fcobijfs2	⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,ℎ   𝑓,𝑂   𝑔,𝑂,ℎ   𝑅,𝑓,ℎ   𝑅,𝑔   𝑆,𝑓,ℎ   𝑆,𝑔   𝑇,𝑓,ℎ   𝑇,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔,ℎ)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑊(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   𝑌(𝑔,ℎ)

Proof of Theorem fcobijfs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcobijfs2.7	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 𝑂 ↔ 𝑔 finSupp 𝑂))
3	2	cbvrabv 3433	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
4	1, 3	eqtr4i 2795	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)}
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)
7		fcobijfs2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆)
8		f1oi 6857	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇)
10		fcobijfs2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
11		fcobijfs2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
12		fcobijfs2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
13		fcobijfs2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑇)
14	4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 11, 13	mapfien 9364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→{ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)})
15		fvresi 7169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
16	13, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) = 𝑂)
17	16	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂) ↔ ℎ finSupp 𝑂))
18	17	rabbidv 3430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂})
19		fcobijfs2.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
20	18, 19	eqtr4di 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp (( I ↾ 𝑇)‘𝑂)} = 𝑌)
21	14, 20	f1oeq3dd 32911	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌)
22	1	ssrab3 4044	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑇 ↑m 𝑆)
23	22	sseli 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑋 → 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆))
24		elmapi 8842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆) → 𝑓:𝑆⟶𝑇)
25		f1of 6818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
26	7, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅⟶𝑆)
27		fco 6728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐺:𝑅⟶𝑆) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
28	24, 26, 27	syl2anr 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇)
29		fcoi2 6751	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝐺):𝑅⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
30	28, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑇 ↑m 𝑆)) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
31	23, 30	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺)) = (𝑓 ∘ 𝐺))
32	31	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))) = (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)))
33	32	f1oeq1d 6813	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (( I ↾ 𝑇) ∘ (𝑓 ∘ 𝐺))):𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌))
34	21, 33	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓 ∘ 𝐺)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5553   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-1o 8449  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fsupp 9318

This theorem is referenced by:  mplvrpmfgalem  33875