Theorem mplvrpmfgalem 33709

Description: Permuting variables in a multivariate polynomial conserves finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmga.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmga.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmga.3	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
mplvrpmga.4	⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
mplvrpmga.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmfgalem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplvrpmfgalem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
mplvrpmfgalem.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmfgalem	⊢ (𝜑 → (𝑄𝐴𝐹) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑓,𝑥   𝐼,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑀,𝑑,𝑓,𝑥   𝑃,𝑑,𝑓,𝑥   𝑥,𝑅   𝜑,𝑑,𝑓,𝑥   𝐹,𝑑,𝑓,𝑥   𝑄,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑑)   𝑆(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   0 (𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)

Proof of Theorem mplvrpmfgalem

Dummy variables 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvrpmga.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑓 = 𝐹)
4		coeq2 5807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑄 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑄))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑄))
6	3, 5	fveq12d 6841	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄)))
7	6	mpteq2dv 5192	. . . 4 ⊢ ((𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))))
9		mplvrpmfgalem.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
10		mplvrpmfgalem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
11		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
12	11	rabex 5284	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
14	13	mptexd 7170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))) ∈ V)
15	2, 8, 9, 10, 14	ovmpod 7510	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐴𝐹) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))))
16		breq1 5101	. . . . 5 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝑄) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑥 ∘ 𝑄) finSupp 0))
17		nn0ex 12407	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
19		mplvrpmga.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
21		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
22	21	psrbasfsupp 33693	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
23	22	psrbagf 21874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
25		mplvrpmga.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
26		mplvrpmga.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
27	25, 26	symgbasf1o 19304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → 𝑄:𝐼–1-1-onto→𝐼)
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐼–1-1-onto→𝐼)
29		f1of 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑄:𝐼⟶𝐼)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐼⟶𝐼)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑄:𝐼⟶𝐼)
32	24, 31	fcod 6687	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑄):𝐼⟶ℕ0)
33	18, 20, 32	elmapdd 8778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑄) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
34	22	psrbagfsupp 21875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑥 finSupp 0)
35	34	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 finSupp 0)
36		f1of1 6773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑄:𝐼–1-1→𝐼)
37	28, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐼–1-1→𝐼)
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑄:𝐼–1-1→𝐼)
39		0nn0 12416	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℕ0)
41		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
42	35, 38, 40, 41	fsuppco 9305	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑄) finSupp 0)
43	16, 33, 42	elrabd 3648	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑄) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
44		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)))
45		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)))
46		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∘ 𝑄) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄)))
47	43, 44, 45, 46	fmptco 7074	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))))
48		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
49		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50		mplvrpmga.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
51	48, 49, 50, 22, 10	mplelf 21953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
52	51	feqmptd 6902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)))
53		mplvrpmfgalem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
54	48, 50, 53, 10	mplelsfi 21950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
55	52, 54	breq1dd 32681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) finSupp 0 )
56	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
57	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
58		breq1 5101	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
59	58	cbvrabv 3409	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑔 finSupp 0}
60	28, 19, 19, 56, 57, 21, 59	fcobijfs2 32801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}–1-1-onto→{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
61		f1of1 6773	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}–1-1-onto→{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}–1-1→{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
62	60, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}–1-1→{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
63	53	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
65	13	mptexd 7170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) ∈ V)
66	55, 62, 64, 65	fsuppco 9305	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄))) finSupp 0 )
67	47, 66	breq1dd 32681	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))) finSupp 0 )
68	15, 67	eqbrtrd 5120	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐴𝐹) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  SymGrpcsymg 19298   mPoly cmpl 21862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-tset 17196  df-efmnd 18794  df-symg 19299  df-psr 21865  df-mpl 21867

This theorem is referenced by:  mplvrpmga  33710