Theorem mplvrpmfgalem 33564

Description: Permuting variables in a multivariate polynomial conserves finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmga.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmga.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmga.3	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
mplvrpmga.4	⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
mplvrpmga.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmfgalem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplvrpmfgalem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
mplvrpmfgalem.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmfgalem	⊢ (𝜑 → (𝑄𝐴𝐹) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑓,𝑥   𝐼,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑀,𝑑,𝑓,𝑥   𝑃,𝑑,𝑓,𝑥   𝑥,𝑅   𝜑,𝑑,𝑓,𝑥   𝐹,𝑑,𝑓,𝑥   𝑄,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑑)   𝑆(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   0 (𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)

Proof of Theorem mplvrpmfgalem

Dummy variables 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvrpmga.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑓 = 𝐹)
4		coeq2 5805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑄 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑄))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑄))
6	3, 5	fveq12d 6833	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄)))
7	6	mpteq2dv 5189	. . . 4 ⊢ ((𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝑄 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))))
9		mplvrpmfgalem.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
10		mplvrpmfgalem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
11		ovex 7386	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
12	11	rabex 5281	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
14	13	mptexd 7164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))) ∈ V)
15	2, 8, 9, 10, 14	ovmpod 7505	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐴𝐹) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))))
16		breq1 5098	. . . . 5 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝑄) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑥 ∘ 𝑄) finSupp 0))
17		nn0ex 12409	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
19		mplvrpmga.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
21		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
22	21	psrbasfsupp 33563	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
23	22	psrbagf 21844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
25		mplvrpmga.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
26		mplvrpmga.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
27	25, 26	symgbasf1o 19273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → 𝑄:𝐼–1-1-onto→𝐼)
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐼–1-1-onto→𝐼)
29		f1of 6768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑄:𝐼⟶𝐼)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐼⟶𝐼)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑄:𝐼⟶𝐼)
32	24, 31	fcod 6681	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑄):𝐼⟶ℕ0)
33	18, 20, 32	elmapdd 8775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑄) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
34	22	psrbagfsupp 21845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑥 finSupp 0)
35	34	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 finSupp 0)
36		f1of1 6767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑄:𝐼–1-1→𝐼)
37	28, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐼–1-1→𝐼)
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑄:𝐼–1-1→𝐼)
39		0nn0 12418	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℕ0)
41		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
42	35, 38, 40, 41	fsuppco 9311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑄) finSupp 0)
43	16, 33, 42	elrabd 3652	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑄) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
44		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)))
45		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)))
46		fveq2 6826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∘ 𝑄) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄)))
47	43, 44, 45, 46	fmptco 7067	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))))
48		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
49		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50		mplvrpmga.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
51	48, 49, 50, 22, 10	mplelf 21924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
52	51	feqmptd 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)))
53		mplvrpmfgalem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
54	48, 50, 53, 10	mplelsfi 21921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
55	52, 54	breq1dd 32569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) finSupp 0 )
56	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
57	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
58		breq1 5098	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
59	58	cbvrabv 3407	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑔 finSupp 0}
60	28, 19, 19, 56, 57, 21, 59	fcobijfs2 32685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}–1-1-onto→{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
61		f1of1 6767	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}–1-1-onto→{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}–1-1→{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
62	60, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}–1-1→{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
63	53	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
65	13	mptexd 7164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) ∈ V)
66	55, 62, 64, 65	fsuppco 9311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑥 ∘ 𝑄))) finSupp 0 )
67	47, 66	breq1dd 32569	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑄))) finSupp 0 )
68	15, 67	eqbrtrd 5117	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐴𝐹) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396  Vcvv 3438   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355   ↑_m cmap 8760   finSupp cfsupp 9270  0cc0 11028  ℕ₀cn0 12403  Basecbs 17139  0_gc0g 17362  SymGrpcsymg 19267   mPoly cmpl 21832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-tset 17199  df-efmnd 18762  df-symg 19268  df-psr 21835  df-mpl 21837

This theorem is referenced by:  mplvrpmga  33565