Theorem fin33i 10279

Description: Inference from isfin3-3 10278. (This is actually a bit stronger than isfin3-3 10278 because it does not assume 𝐹 is a set and does not use the Axiom of Infinity either.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin33i	⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥)) → ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fin33i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin32i 10275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼* 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥)) → ¬ ω ≼* 𝐴)
3		isf32lem11 10273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ (𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥) ∧ ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)) → ω ≼* 𝐴)
4	3	3exp2 1355	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → (𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥) → (¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 → ω ≼* 𝐴))))
5	4	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥)) → (¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 → ω ≼* 𝐴))
6	2, 5	mt3d 148	1 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥)) → ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  ∩ cint 4902   class class class wbr 5098  ran crn 5625  suc csuc 6319  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ωcom 7808   ≼^* cwdom 9469  Fin^IIIcfin3 10191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-wdom 9470  df-card 9851  df-fin4 10197  df-fin3 10198

This theorem is referenced by:  isf34lem7  10289