MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin33i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin33i 10412
Description: Inference from isfin3-3 10411. (This is actually a bit stronger than isfin3-3 10411 because it does not assume 𝐹 is a set and does not use the Axiom of Infinity either.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin33i ((𝐴 ∈ FinIII𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥)) → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fin33i
StepHypRef Expression
1 isfin32i 10408 . . 3 (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼* 𝐴)
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝐴 ∈ FinIII𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥)) → ¬ ω ≼* 𝐴)
3 isf32lem11 10406 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ (𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥) ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)) → ω ≼* 𝐴)
433exp2 1351 . . 3 (𝐴 ∈ FinIII → (𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥) → (¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 → ω ≼* 𝐴))))
543imp 1108 . 2 ((𝐴 ∈ FinIII𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥)) → (¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 → ω ≼* 𝐴))
62, 5mt3d 148 1 ((𝐴 ∈ FinIII𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥)) → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1084  wcel 2099  wral 3051  wss 3947  𝒫 cpw 4607   cint 4954   class class class wbr 5153  ran crn 5683  suc csuc 6378  wf 6550  cfv 6554  ωcom 7876  * cwdom 9607  FinIIIcfin3 10324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-wdom 9608  df-card 9982  df-fin4 10330  df-fin3 10331
This theorem is referenced by:  isf34lem7  10422
  Copyright terms: Public domain W3C validator