Theorem fin33i 10277

Description: Inference from isfin3-3 10276. (This is actually a bit stronger than isfin3-3 10276 because it does not assume 𝐹 is a set and does not use the Axiom of Infinity either.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin33i	⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥)) → ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fin33i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin32i 10273	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼* 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥)) → ¬ ω ≼* 𝐴)
3		isf32lem11 10271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ (𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥) ∧ ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)) → ω ≼* 𝐴)
4	3	3exp2 1355	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → (𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥) → (¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 → ω ≼* 𝐴))))
5	4	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥)) → (¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 → ω ≼* 𝐴))
6	2, 5	mt3d 148	1 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐹:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥)) → ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552  ∩ cint 4900   class class class wbr 5096  ran crn 5623  suc csuc 6317  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  ωcom 7806   ≼^* cwdom 9467  Fin^IIIcfin3 10189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-wdom 9468  df-card 9849  df-fin4 10195  df-fin3 10196

This theorem is referenced by:  isf34lem7  10287