Theorem fisshasheq 35083

Description: A finite set is equal to its subset if they are the same size. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fisshasheq	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisshasheq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9185	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3		hashen 14363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
4	3	biimp3a 1471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5		pm3.2 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)))
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)))
7		fisseneq 9263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
10	4, 6, 9	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
11	10	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
12	11	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)))
13	12	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵)))
14	13	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
15	14	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
16	2, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530   ≈ cen 8954  Fincfn 8957  ♯chash 14346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-hash 14347

This theorem is referenced by:  cusgredgex  35090