Theorem fisshasheq 33073

Description: A finite set is equal to its subset if they are the same size. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fisshasheq	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisshasheq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 8956	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3		hashen 14061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
4	3	biimp3a 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5		pm3.2 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)))
6	5	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)))
7		fisseneq 9034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	3expa 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
10	4, 6, 9	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
11	10	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
12	11	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)))
13	12	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵)))
14	13	3impia 1116	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
15	14	3com23 1125	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
16	2, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433   ≈ cen 8730  Fincfn 8733  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  cusgredgex  33083