Theorem fisshasheq 35159

Description: A finite set is equal to its subset if they are the same size. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fisshasheq	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisshasheq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9082	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3		hashen 14254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
4	3	biimp3a 1471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5		pm3.2 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)))
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)))
7		fisseneq 9147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
10	4, 6, 9	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
11	10	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
12	11	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)))
13	12	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵)))
14	13	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
15	14	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
16	2, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481   ≈ cen 8866  Fincfn 8869  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  cusgredgex  35166