Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fisshasheq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisshasheq 32570
 Description: A finite set is equal to its subset if they are the same size. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
fisshasheq ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisshasheq
StepHypRef Expression
1 ssfi 8757 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
213adant3 1130 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3 hashen 13747 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
43biimp3a 1467 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴𝐵)
5 pm3.2 474 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵)))
653ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵)))
7 fisseneq 8748 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
873expa 1116 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
98expcom 418 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
104, 6, 9sylsyld 61 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
11103expb 1118 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
1211expcom 418 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
1312com23 86 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵)))
14133impia 1115 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
15143com23 1124 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
162, 15mpd 15 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3859   class class class wbr 5030  ‘cfv 6333   ≈ cen 8522  Fincfn 8525  ♯chash 13730 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-card 9391  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-nn 11665  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-hash 13731 This theorem is referenced by:  cusgredgex  32589
 Copyright terms: Public domain W3C validator