Theorem fisshasheq 34593

Description: A finite set is equal to its subset if they are the same size. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fisshasheq	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisshasheq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9169	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3		hashen 14304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
4	3	biimp3a 1465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5		pm3.2 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)))
6	5	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)))
7		fisseneq 9253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	3expa 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
10	4, 6, 9	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
11	10	3expb 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
12	11	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)))
13	12	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵)))
14	13	3impia 1114	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
15	14	3com23 1123	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
16	2, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533   ≈ cen 8932  Fincfn 8935  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  cusgredgex  34601