Theorem fta1blem 26106

Description: Lemma for fta1b 26107. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1blem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
fta1blem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1blem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
fta1blem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
fta1blem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
fta1blem.4	⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
fta1blem.6	⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))

Assertion

Ref	Expression
fta1blem	⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fta1blem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
2		fta1b.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		fta1b.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		fta1blem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		fta1b.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		fta1blem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		fta1blem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8	2, 7, 4, 3, 5, 6, 1	evl1vard 22255	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9		fta1blem.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
10		fta1blem.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
11		fta1blem.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
12	2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11	evl1vsd 22262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
13	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14		fta1blem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
15	13, 14	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
17		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
18	4	fvexi 6844	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
20	2, 3, 16, 4	evl1rhm 22250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
21	6, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
22	5, 17	rhmf 20406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
24	12	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	23, 24	ffvelcdmd 7026	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
26	16, 4, 17, 6, 19, 25	pwselbas 17397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾⟶𝐾)
27	26	ffnd 6659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
28		fniniseg 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
30	1, 15, 29	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
31		fvex 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
32	31	cnvex 7863	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
33	32	imaex 7852	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
35		1nn0 12406	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37		crngring 20167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
39	7, 3, 5	vr1cl 22133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
41		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
42	41, 5	mgpbas 20067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
43		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
44	42, 43	mulg1 18998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
45	40, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
46	45	oveq2d 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
47		fta1blem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
48		fta1b.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
49	48, 4, 3, 7, 10, 41, 43	coe1tmfv1 22191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
50	38, 9, 36, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
51		fta1b.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
52	3, 51, 48	coe1z 22180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
53	38, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
54	53	fveq1d 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
55	48	fvexi 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 ∈ V
56	55	fvconst2 7146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
57	35, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
58	54, 57	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = 𝑊)
59	47, 50, 58	3netr4d 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1))
60		fveq2 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1‘ 0 ))
61	60	fveq1d 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1‘ 0 )‘1))
62	61	necon3i 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
63	59, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
64	46, 63	eqnetrrd 2997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
65		eldifsn 4739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
66	24, 64, 65	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
67		fta1blem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
68	66, 67	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
69	46	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
70		fta1b.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
71	70, 4, 3, 7, 10, 41, 43, 48	deg1tm 26054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ≠ 𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
72	38, 9, 47, 36, 71	syl121anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
73	69, 72	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
74	68, 73	breqtrd 5121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
75		hashbnd 14247	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
76	34, 36, 74, 75	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
77	4, 48	ring0cl 20189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ 𝐾)
78	38, 77	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐾)
79		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
80	3, 79, 4, 5	ply1sclf 22202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
81	38, 80	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
82	81, 9	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
83		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
84		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
85	5, 83, 84	rhmmul 20407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
86	21, 82, 40, 85	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
87	3	ply1assa 22115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
88	6, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ AssAlg)
89	3	ply1sca 22168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
90	6, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
91	90	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	4, 91	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
93	9, 92	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
94		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
95		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
96	79, 94, 95, 5, 83, 10	asclmul1 21827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
97	88, 93, 40, 96	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
98	97	fveq2d 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
99	23, 82	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
100	23, 40	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
101	16, 17, 6, 19, 99, 100, 11, 84	pwsmulrval 17399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂‘𝑋)))
102	2, 3, 4, 79	evl1sca 22252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
103	6, 9, 102	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
104	2, 7, 4	evl1var 22254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
105	6, 104	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
106	103, 105	oveq12d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
107	101, 106	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
108	86, 98, 107	3eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
109	108	fveq1d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
110		fnconstg 6718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
111	9, 110	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
112		fnresi 6617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
113	112	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
114		fnfvof 7635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
115	111, 113, 19, 78, 114	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
116		fvconst2g 7144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ 𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
117	9, 78, 116	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
118		fvresi 7115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
119	78, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
120	117, 119	oveq12d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
121	4, 11, 48	ringrz 20216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
122	38, 9, 121	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
123	120, 122	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
124	115, 123	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
125	109, 124	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
126		fniniseg 7001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
127	27, 126	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
128	78, 125, 127	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
129	128	snssd 4762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
130		hashsng 14280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (♯‘{𝑊}) = 1)
131	78, 130	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = 1)
132		ssdomg 8931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
133	33, 129, 132	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
134		snfi 8974	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑊} ∈ Fin
135		hashdom 14290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
136	134, 33, 135	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
137	133, 136	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138	131, 137	eqbrtrrd 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
139		hashcl 14267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
140	76, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
141	140	nn0red 12452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
142		1re 11121	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
143		letri3 11207	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
144	141, 142, 143	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
145	74, 138, 144	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
146	131, 145	eqtr4d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
147		hashen 14258	. . . . . 6 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
148	134, 76, 147	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149	146, 148	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
150		fisseneq 9156	. . . 4 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
151	76, 129, 149, 150	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
152	30, 151	eleqtrrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑊})
153		elsni 4594	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
154	152, 153	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577   class class class wbr 5095   I cid 5515   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623   “ cima 5624   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ∘_f cof 7616   ≈ cen 8874   ≼ cdom 8875  Fincfn 8877  ℝcr 11014  1c1 11016   ≤ cle 11156  ℕ₀cn0 12390  ♯chash 14241  Basecbs 17124  ._rcmulr 17166  Scalarcsca 17168   ·_𝑠 cvsca 17169  0_gc0g 17347   ↑_s cpws 17354  ._gcmg 18984  mulGrpcmgp 20062  Ringcrg 20155  CRingccrg 20156   RingHom crh 20391  AssAlgcasa 21791  algSccascl 21793  var₁cv1 22091  Poly₁cpl1 22092  coe₁cco1 22093  eval₁ce1 22232  deg₁cdg1 25989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-oadd 8397  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-sup 9335  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-xnn0 12464  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-hash 14242  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-prds 17355  df-pws 17357  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-mhm 18695  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18985  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-srg 20109  df-ring 20157  df-cring 20158  df-rhm 20394  df-subrng 20465  df-subrg 20489  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-cnfld 21296  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21850  df-mvr 21851  df-mpl 21852  df-opsr 21854  df-evls 22012  df-evl 22013  df-psr1 22095  df-vr1 22096  df-ply1 22097  df-coe1 22098  df-evl1 22234  df-mdeg 25990  df-deg1 25991

This theorem is referenced by:  fta1b  26107