MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1blem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1blem 26225
Description: Lemma for fta1b 26226. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1b.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d 𝐷 = (deg1𝑅)
fta1b.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1b.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1b.z 0 = (0g𝑃)
fta1blem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t × = (.r𝑅)
fta1blem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1blem.s · = ( ·𝑠𝑃)
fta1blem.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2 (𝜑𝑀𝐾)
fta1blem.3 (𝜑𝑁𝐾)
fta1blem.4 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5 (𝜑𝑀𝑊)
fta1blem.6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
Assertion
Ref Expression
fta1blem (𝜑𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem
StepHypRef Expression
1 fta1blem.3 . . . 4 (𝜑𝑁𝐾)
2 fta1b.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 fta1b.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 fta1blem.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 fta1b.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 fta1blem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 fta1blem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
82, 7, 4, 3, 5, 6, 1evl1vard 22357 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9 fta1blem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐾)
10 fta1blem.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑃)
11 fta1blem.t . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
122, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11evl1vsd 22364 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
1312simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14 fta1blem.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
1513, 14eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
17 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
184fvexi 6921 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
202, 3, 16, 4evl1rhm 22352 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
216, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
225, 17rhmf 20502 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2412simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2523, 24ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
2616, 4, 17, 6, 19, 25pwselbas 17536 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾𝐾)
2726ffnd 6738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
28 fniniseg 7080 . . . . 5 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
301, 15, 29mpbir2and 713 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
31 fvex 6920 . . . . . . . 8 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3231cnvex 7948 . . . . . . 7 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3332imaex 7937 . . . . . 6 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
35 1nn0 12540 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37 crngring 20263 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
386, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
397, 3, 5vr1cl 22235 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐵)
41 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
4241, 5mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
43 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4442, 43mulg1 19112 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4540, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4645oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
47 fta1blem.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑊)
48 fta1b.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (0g𝑅)
4948, 4, 3, 7, 10, 41, 43coe1tmfv1 22293 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
5038, 9, 36, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
51 fta1b.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝑃)
523, 51, 48coe1z 22282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5453fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
5548fvexi 6921 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 ∈ V
5655fvconst2 7224 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
5735, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
5854, 57eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = 𝑊)
5947, 50, 583netr4d 3016 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1))
60 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe10 ))
6160fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe10 )‘1))
6261necon3i 2971 . . . . . . . . . 10 (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6359, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6446, 63eqnetrrd 3007 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
65 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
6624, 64, 65sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
67 fta1blem.6 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
6866, 67mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
6946fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
70 fta1b.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (deg1𝑅)
7170, 4, 3, 7, 10, 41, 43, 48deg1tm 26173 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐾𝑀𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7238, 9, 47, 36, 71syl121anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7369, 72eqtr3d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
7468, 73breqtrd 5174 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
75 hashbnd 14372 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
7634, 36, 74, 75syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
774, 48ring0cl 20281 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊𝐾)
7838, 77syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝐾)
79 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
803, 79, 4, 5ply1sclf 22304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8138, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8281, 9ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
83 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
84 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
855, 83, 84rhmmul 20503 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
8621, 82, 40, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
873ply1assa 22217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
893ply1sca 22270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
906, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9190fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
924, 91eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
939, 92eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
94 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
95 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
9679, 94, 95, 5, 83, 10asclmul1 21924 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
9788, 93, 40, 96syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
9897fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
9923, 82ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10023, 40ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10116, 17, 6, 19, 99, 100, 11, 84pwsmulrval 17538 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂𝑋)))
1022, 3, 4, 79evl1sca 22354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1036, 9, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1042, 7, 4evl1var 22356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
1056, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
106103, 105oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
107101, 106eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
10886, 98, 1073eqtr3d 2783 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
109108fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
110 fnconstg 6797 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
1119, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
112 fnresi 6698 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
113112a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
114 fnfvof 7714 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
115111, 113, 19, 78, 114syl22anc 839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
116 fvconst2g 7222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐾𝑊𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
1179, 78, 116syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
118 fvresi 7193 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
11978, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
120117, 119oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
1214, 11, 48ringrz 20308 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
12238, 9, 121syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
123120, 122eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
124115, 123eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
125109, 124eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
126 fniniseg 7080 . . . . . . 7 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
12727, 126syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
12878, 125, 127mpbir2and 713 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
129128snssd 4814 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
130 hashsng 14405 . . . . . . 7 (𝑊𝐾 → (♯‘{𝑊}) = 1)
13178, 130syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = 1)
132 ssdomg 9039 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
13333, 129, 132mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
134 snfi 9082 . . . . . . . . . 10 {𝑊} ∈ Fin
135 hashdom 14415 . . . . . . . . . 10 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
136134, 33, 135mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
137133, 136sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138131, 137eqbrtrrd 5172 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
139 hashcl 14392 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
14076, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
141140nn0red 12586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
142 1re 11259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
143 letri3 11344 . . . . . . . 8 (((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
144141, 142, 143sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
14574, 138, 144mpbir2and 713 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
146131, 145eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
147 hashen 14383 . . . . . 6 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
148134, 76, 147sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149146, 148mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
150 fisseneq 9291 . . . 4 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15176, 129, 149, 150syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15230, 151eleqtrrd 2842 . 2 (𝜑𝑁 ∈ {𝑊})
153 elsni 4648 . 2 (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
154152, 153syl 17 1 (𝜑𝑁 = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148   I cid 5582   × cxp 5687  ccnv 5688  cres 5691  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cen 8981  cdom 8982  Fincfn 8984  cr 11152  1c1 11154  cle 11294  0cn0 12524  chash 14366  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  s cpws 17493  .gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  AssAlgcasa 21888  algSccascl 21890  var1cv1 22193  Poly1cpl1 22194  coe1cco1 22195  eval1ce1 22334  deg1cdg1 26108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-cnfld 21383  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evl1 22336  df-mdeg 26109  df-deg1 26110
This theorem is referenced by:  fta1b  26226
  Copyright terms: Public domain W3C validator