Theorem fta1blem 26144

Description: Lemma for fta1b 26145. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1blem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
fta1blem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1blem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
fta1blem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
fta1blem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
fta1blem.4	⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
fta1blem.6	⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))

Assertion

Ref	Expression
fta1blem	⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fta1blem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
2		fta1b.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		fta1b.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		fta1blem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		fta1b.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		fta1blem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		fta1blem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8	2, 7, 4, 3, 5, 6, 1	evl1vard 22293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9		fta1blem.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
10		fta1blem.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
11		fta1blem.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
12	2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11	evl1vsd 22300	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
13	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14		fta1blem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
15	13, 14	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
17		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
18	4	fvexi 6856	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
20	2, 3, 16, 4	evl1rhm 22288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
21	6, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
22	5, 17	rhmf 20432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
24	12	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	23, 24	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
26	16, 4, 17, 6, 19, 25	pwselbas 17421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾⟶𝐾)
27	26	ffnd 6671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
28		fniniseg 7014	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
30	1, 15, 29	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
31		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
32	31	cnvex 7877	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
33	32	imaex 7866	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
35		1nn0 12429	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37		crngring 20192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
39	7, 3, 5	vr1cl 22170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
41		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
42	41, 5	mgpbas 20092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
43		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
44	42, 43	mulg1 19023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
45	40, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
46	45	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
47		fta1blem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
48		fta1b.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
49	48, 4, 3, 7, 10, 41, 43	coe1tmfv1 22228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
50	38, 9, 36, 49	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
51		fta1b.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
52	3, 51, 48	coe1z 22217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
53	38, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
54	53	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
55	48	fvexi 6856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 ∈ V
56	55	fvconst2 7160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
57	35, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
58	54, 57	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = 𝑊)
59	47, 50, 58	3netr4d 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1))
60		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1‘ 0 ))
61	60	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1‘ 0 )‘1))
62	61	necon3i 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
63	59, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
64	46, 63	eqnetrrd 3001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
65		eldifsn 4744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
66	24, 64, 65	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
67		fta1blem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
68	66, 67	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
69	46	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
70		fta1b.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
71	70, 4, 3, 7, 10, 41, 43, 48	deg1tm 26092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ≠ 𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
72	38, 9, 47, 36, 71	syl121anc 1378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
73	69, 72	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
74	68, 73	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
75		hashbnd 14271	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
76	34, 36, 74, 75	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
77	4, 48	ring0cl 20214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ 𝐾)
78	38, 77	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐾)
79		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
80	3, 79, 4, 5	ply1sclf 22239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
81	38, 80	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
82	81, 9	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
83		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
84		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
85	5, 83, 84	rhmmul 20433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
86	21, 82, 40, 85	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
87	3	ply1assa 22152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
88	6, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ AssAlg)
89	3	ply1sca 22205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
90	6, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
91	90	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	4, 91	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
93	9, 92	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
94		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
95		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
96	79, 94, 95, 5, 83, 10	asclmul1 21854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
97	88, 93, 40, 96	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
98	97	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
99	23, 82	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
100	23, 40	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
101	16, 17, 6, 19, 99, 100, 11, 84	pwsmulrval 17424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂‘𝑋)))
102	2, 3, 4, 79	evl1sca 22290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
103	6, 9, 102	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
104	2, 7, 4	evl1var 22292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
105	6, 104	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
106	103, 105	oveq12d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
107	101, 106	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
108	86, 98, 107	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
109	108	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
110		fnconstg 6730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
111	9, 110	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
112		fnresi 6629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
113	112	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
114		fnfvof 7649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
115	111, 113, 19, 78, 114	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
116		fvconst2g 7158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ 𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
117	9, 78, 116	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
118		fvresi 7129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
119	78, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
120	117, 119	oveq12d 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
121	4, 11, 48	ringrz 20241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
122	38, 9, 121	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
123	120, 122	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
124	115, 123	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
125	109, 124	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
126		fniniseg 7014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
127	27, 126	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
128	78, 125, 127	mpbir2and 714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
129	128	snssd 4767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
130		hashsng 14304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (♯‘{𝑊}) = 1)
131	78, 130	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = 1)
132		ssdomg 8949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
133	33, 129, 132	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
134		snfi 8992	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑊} ∈ Fin
135		hashdom 14314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
136	134, 33, 135	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
137	133, 136	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138	131, 137	eqbrtrrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
139		hashcl 14291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
140	76, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
141	140	nn0red 12475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
142		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
143		letri3 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
144	141, 142, 143	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
145	74, 138, 144	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
146	131, 145	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
147		hashen 14282	. . . . . 6 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
148	134, 76, 147	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149	146, 148	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
150		fisseneq 9175	. . . 4 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
151	76, 129, 149, 150	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
152	30, 151	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑊})
153		elsni 4599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
154	152, 153	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   I cid 5526   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631   ↾ cres 5634   “ cima 5635   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895  ℝcr 11037  1c1 11039   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ♯chash 14265  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371   ↑_s cpws 17378  ._gcmg 19009  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20417  AssAlgcasa 21817  algSccascl 21819  var₁cv1 22128  Poly₁cpl1 22129  coe₁cco1 22130  eval₁ce1 22270  deg₁cdg1 26027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-cnfld 21322  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-evls 22041  df-evl 22042  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-evl1 22272  df-mdeg 26028  df-deg1 26029

This theorem is referenced by:  fta1b  26145