Theorem fta1blem 26469

Description: Lemma for fta1b 26470. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1blem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
fta1blem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1blem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
fta1blem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
fta1blem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
fta1blem.4	⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
fta1blem.6	⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))

Assertion

Ref	Expression
fta1blem	⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fta1blem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
2		fta1b.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		fta1b.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		fta1blem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		fta1b.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		fta1blem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		fta1blem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8	2, 7, 4, 3, 5, 6, 1	evl1vard 22635	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9		fta1blem.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
10		fta1blem.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
11		fta1blem.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
12	2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11	evl1vsd 22642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
13	12	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14		fta1blem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
15	13, 14	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
17		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
18	4	fvexi 6891	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
20	2, 3, 16, 4	evl1rhm 22630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
21	6, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
22	5, 17	rhmf 20695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
24	12	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	23, 24	ffvelcdmd 7077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
26	16, 4, 17, 6, 19, 25	pwselbas 17640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾⟶𝐾)
27	26	ffnd 6702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
28		fniniseg 7051	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
29	27, 28	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
30	1, 15, 29	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
31		fvex 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
32	31	cnvex 7926	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
33	32	imaex 7915	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
35		1nn0 12603	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37		crngring 20452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
38	6, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
39	7, 3, 5	vr1cl 22515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
41		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
42	41, 5	mgpbas 20345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
43		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
44	42, 43	mulg1 19271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
45	40, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
46	45	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
47		fta1blem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
48		fta1b.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
49	48, 4, 3, 7, 10, 41, 43	coe1tmfv1 22573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
50	38, 9, 36, 49	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
51		fta1b.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
52	3, 51, 48	coe1z 22562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
53	38, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
54	53	fveq1d 6879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
55	48	fvexi 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 ∈ V
56	55	fvconst2 7202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
57	35, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
58	54, 57	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = 𝑊)
59	47, 50, 58	3netr4d 3033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1))
60		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1‘ 0 ))
61	60	fveq1d 6879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1‘ 0 )‘1))
62	61	necon3i 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
63	59, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
64	46, 63	eqnetrrd 3024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
65		eldifsn 4748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
66	24, 64, 65	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
67		fta1blem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
68	66, 67	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
69	46	fveq2d 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
70		fta1b.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
71	70, 4, 3, 7, 10, 41, 43, 48	deg1tm 26417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ≠ 𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
72	38, 9, 47, 36, 71	syl121anc 1402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
73	69, 72	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
74	68, 73	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
75		hashbnd 14460	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
76	34, 36, 74, 75	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
77	4, 48	ring0cl 20476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ 𝐾)
78	38, 77	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐾)
79		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
80	3, 79, 4, 5	ply1sclf 22584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
81	38, 80	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
82	81, 9	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
83		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
84		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
85	5, 83, 84	rhmmul 20700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
86	21, 82, 40, 85	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
87	3	ply1assa 22497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
88	6, 87	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ AssAlg)
89	3	ply1sca 22550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
90	6, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
91	90	fveq2d 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	4, 91	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
93	9, 92	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
94		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
95		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
96	79, 94, 95, 5, 83, 10	asclmul1 22174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
97	88, 93, 40, 96	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
98	97	fveq2d 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
99	23, 82	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
100	23, 40	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
101	16, 17, 6, 19, 99, 100, 11, 84	pwsmulrval 17643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂‘𝑋)))
102	2, 3, 4, 79	evl1sca 22632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
103	6, 9, 102	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
104	2, 7, 4	evl1var 22634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
105	6, 104	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
106	103, 105	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
107	101, 106	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
108	86, 98, 107	3eqtr3d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
109	108	fveq1d 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
110		fnconstg 6762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
111	9, 110	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
112		fnresi 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
113	112	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
114		fnfvof 7699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
115	111, 113, 19, 78, 114	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
116		fvconst2g 7200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ 𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
117	9, 78, 116	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
118		fvresi 7170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
119	78, 118	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
120	117, 119	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
121	4, 11, 48	ringrz 20505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
122	38, 9, 121	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
123	120, 122	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
124	115, 123	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
125	109, 124	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
126		fniniseg 7051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
127	27, 126	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
128	78, 125, 127	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
129	128	snssd 4747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
130		hashsng 14493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (♯‘{𝑊}) = 1)
131	78, 130	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = 1)
132		ssdomg 9011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
133	33, 129, 132	mpsyl 69	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
134		snfi 9055	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑊} ∈ Fin
135		hashdom 14503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
136	134, 33, 135	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
137	133, 136	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138	131, 137	eqbrtrrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
139		hashcl 14480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
140	76, 139	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
141	140	nn0red 12649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
142		1re 11289	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
143		letri3 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
144	141, 142, 143	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
145	74, 138, 144	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
146	131, 145	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
147		hashen 14471	. . . . . 6 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
148	134, 76, 147	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149	146, 148	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
150		fisseneq 9238	. . . 4 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
151	76, 129, 149, 150	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
152	30, 151	eleqtrrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑊})
153		elsni 4601	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
154	152, 153	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   I cid 5545   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   “ cima 5654   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955  Fincfn 8957  ℝcr 11180  1c1 11182   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12587  ♯chash 14454  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  0_gc0g 17590   ↑_s cpws 17597  ._gcmg 19257  mulGrpcmgp 20340  Ringcrg 20439  CRingccrg 20440   RingHom crh 20679  AssAlgcasa 22138  algSccascl 22140  var₁cv1 22474  Poly₁cpl1 22475  coe₁cco1 22476  eval₁ce1 22612  deg₁cdg1 26352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-srg 20393  df-ring 20441  df-cring 20442  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-cnfld 21659  df-assa 22141  df-asp 22142  df-ascl 22143  df-psr 22197  df-mvr 22198  df-mpl 22199  df-opsr 22201  df-evls 22363  df-evl 22364  df-psr1 22478  df-vr1 22479  df-ply1 22480  df-coe1 22481  df-evl1 22614  df-mdeg 26353  df-deg1 26354

This theorem is used by:  fta1b  26470