MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1blem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1blem 25533
Description: Lemma for fta1b 25534. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1b.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1b.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1b.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1b.z 0 = (0g𝑃)
fta1blem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t × = (.r𝑅)
fta1blem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1blem.s · = ( ·𝑠𝑃)
fta1blem.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2 (𝜑𝑀𝐾)
fta1blem.3 (𝜑𝑁𝐾)
fta1blem.4 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5 (𝜑𝑀𝑊)
fta1blem.6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
Assertion
Ref Expression
fta1blem (𝜑𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem
StepHypRef Expression
1 fta1blem.3 . . . 4 (𝜑𝑁𝐾)
2 fta1b.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 fta1b.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 fta1blem.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 fta1b.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 fta1blem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 fta1blem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
82, 7, 4, 3, 5, 6, 1evl1vard 21703 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9 fta1blem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐾)
10 fta1blem.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑃)
11 fta1blem.t . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
122, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11evl1vsd 21710 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
1312simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14 fta1blem.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
1513, 14eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
17 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
184fvexi 6856 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
202, 3, 16, 4evl1rhm 21698 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
216, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
225, 17rhmf 20158 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2412simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2523, 24ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
2616, 4, 17, 6, 19, 25pwselbas 17371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾𝐾)
2726ffnd 6669 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
28 fniniseg 7010 . . . . 5 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
301, 15, 29mpbir2and 711 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
31 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3231cnvex 7862 . . . . . . 7 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3332imaex 7853 . . . . . 6 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
35 1nn0 12429 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37 crngring 19976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
386, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
397, 3, 5vr1cl 21588 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐵)
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
4241, 5mgpbas 19902 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4442, 43mulg1 18883 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4540, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4645oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
47 fta1blem.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑊)
48 fta1b.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (0g𝑅)
4948, 4, 3, 7, 10, 41, 43coe1tmfv1 21645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
5038, 9, 36, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
51 fta1b.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝑃)
523, 51, 48coe1z 21634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5453fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
5548fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 ∈ V
5655fvconst2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
5735, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
5854, 57eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = 𝑊)
5947, 50, 583netr4d 3021 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1))
60 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe10 ))
6160fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe10 )‘1))
6261necon3i 2976 . . . . . . . . . 10 (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6359, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6446, 63eqnetrrd 3012 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
65 eldifsn 4747 . . . . . . . 8 ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
6624, 64, 65sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
67 fta1blem.6 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
6866, 67mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
6946fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
70 fta1b.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ( deg1𝑅)
7170, 4, 3, 7, 10, 41, 43, 48deg1tm 25483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐾𝑀𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7238, 9, 47, 36, 71syl121anc 1375 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7369, 72eqtr3d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
7468, 73breqtrd 5131 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
75 hashbnd 14236 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
7634, 36, 74, 75syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
774, 48ring0cl 19990 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊𝐾)
7838, 77syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝐾)
79 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
803, 79, 4, 5ply1sclf 21656 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8138, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8281, 9ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
83 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
84 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
855, 83, 84rhmmul 20159 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
8621, 82, 40, 85syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
873ply1assa 21570 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
893ply1sca 21624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
906, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9190fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
924, 91eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
939, 92eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
94 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
95 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
9679, 94, 95, 5, 83, 10asclmul1 21289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
9788, 93, 40, 96syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
9897fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
9923, 82ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10023, 40ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10116, 17, 6, 19, 99, 100, 11, 84pwsmulrval 17373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂𝑋)))
1022, 3, 4, 79evl1sca 21700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1036, 9, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1042, 7, 4evl1var 21702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
1056, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
106103, 105oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘f × (𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
107101, 106eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
10886, 98, 1073eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾)))
109108fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
110 fnconstg 6730 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
1119, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
112 fnresi 6630 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
113112a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
114 fnfvof 7634 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
115111, 113, 19, 78, 114syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
116 fvconst2g 7151 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐾𝑊𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
1179, 78, 116syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
118 fvresi 7119 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
11978, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
120117, 119oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
1214, 11, 48ringrz 20012 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
12238, 9, 121syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
123120, 122eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
124115, 123eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘f × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
125109, 124eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
126 fniniseg 7010 . . . . . . 7 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
12727, 126syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
12878, 125, 127mpbir2and 711 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
129128snssd 4769 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
130 hashsng 14269 . . . . . . 7 (𝑊𝐾 → (♯‘{𝑊}) = 1)
13178, 130syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = 1)
132 ssdomg 8940 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
13333, 129, 132mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
134 snfi 8988 . . . . . . . . . 10 {𝑊} ∈ Fin
135 hashdom 14279 . . . . . . . . . 10 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
136134, 33, 135mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
137133, 136sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138131, 137eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
139 hashcl 14256 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
14076, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
141140nn0red 12474 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
142 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
143 letri3 11240 . . . . . . . 8 (((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
144141, 142, 143sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
14574, 138, 144mpbir2and 711 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
146131, 145eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
147 hashen 14247 . . . . . 6 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
148134, 76, 147sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149146, 148mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
150 fisseneq 9201 . . . 4 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15176, 129, 149, 150syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15230, 151eleqtrrd 2841 . 2 (𝜑𝑁 ∈ {𝑊})
153 elsni 4603 . 2 (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
154152, 153syl 17 1 (𝜑𝑁 = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105   I cid 5530   × cxp 5631  ccnv 5632  cres 5635  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cen 8880  cdom 8881  Fincfn 8883  cr 11050  1c1 11052  cle 11190  0cn0 12413  chash 14230  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  s cpws 17328  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  AssAlgcasa 21256  algSccascl 21258  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548  coe1cco1 21549  eval1ce1 21680   deg1 cdg1 25416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-cnfld 20797  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-evls 21482  df-evl 21483  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-evl1 21682  df-mdeg 25417  df-deg1 25418
This theorem is referenced by:  fta1b  25534
  Copyright terms: Public domain W3C validator