MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1blem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1blem 26060
Description: Lemma for fta1b 26061. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
fta1b.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
fta1b.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
fta1b.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
fta1b.w π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
fta1b.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
fta1blem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
fta1blem.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
fta1blem.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
fta1blem.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
fta1blem.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐾)
fta1blem.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
fta1blem.4 (πœ‘ β†’ (𝑀 Γ— 𝑁) = π‘Š)
fta1blem.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  π‘Š)
fta1blem.6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑋) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜(𝑀 Β· 𝑋))))
Assertion
Ref Expression
fta1blem (πœ‘ β†’ 𝑁 = π‘Š)

Proof of Theorem fta1blem
StepHypRef Expression
1 fta1blem.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
2 fta1b.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
3 fta1b.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 fta1blem.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5 fta1b.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
6 fta1blem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
7 fta1blem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
82, 7, 4, 3, 5, 6, 1evl1vard 22211 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘‹)β€˜π‘) = 𝑁))
9 fta1blem.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐾)
10 fta1blem.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
11 fta1blem.t . . . . . . 7 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
122, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11evl1vsd 22218 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋))β€˜π‘) = (𝑀 Γ— 𝑁)))
1312simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋))β€˜π‘) = (𝑀 Γ— 𝑁))
14 fta1blem.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Γ— 𝑁) = π‘Š)
1513, 14eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋))β€˜π‘) = π‘Š)
16 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
184fvexi 6899 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
202, 3, 16, 4evl1rhm 22206 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
216, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
225, 17rhmf 20387 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
2412simpld 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
2523, 24ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
2616, 4, 17, 6, 19, 25pwselbas 17444 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)):𝐾⟢𝐾)
2726ffnd 6712 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) Fn 𝐾)
28 fniniseg 7055 . . . . 5 ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) Fn 𝐾 β†’ (𝑁 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋))β€˜π‘) = π‘Š)))
2927, 28syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋))β€˜π‘) = π‘Š)))
301, 15, 29mpbir2and 710 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}))
31 fvex 6898 . . . . . . . 8 (π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) ∈ V
3231cnvex 7915 . . . . . . 7 β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) ∈ V
3332imaex 7904 . . . . . 6 (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ V
3433a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ V)
35 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
3635a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
37 crngring 20150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
386, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
397, 3, 5vr1cl 22091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
41 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
4241, 5mgpbas 20045 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
43 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
4442, 43mulg1 19008 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋) = 𝑋)
4540, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋) = 𝑋)
4645oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = (𝑀 Β· 𝑋))
47 fta1blem.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  π‘Š)
48 fta1b.w . . . . . . . . . . . . 13 π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
4948, 4, 3, 7, 10, 41, 43coe1tmfv1 22148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) = 𝑀)
5038, 9, 36, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) = 𝑀)
51 fta1b.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
523, 51, 48coe1z 22137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜ 0 ) = (β„•0 Γ— {π‘Š}))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜ 0 ) = (β„•0 Γ— {π‘Š}))
5453fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜ 0 )β€˜1) = ((β„•0 Γ— {π‘Š})β€˜1))
5548fvexi 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Š ∈ V
5655fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ β„•0 β†’ ((β„•0 Γ— {π‘Š})β€˜1) = π‘Š)
5735, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((β„•0 Γ— {π‘Š})β€˜1) = π‘Š
5854, 57eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜ 0 )β€˜1) = π‘Š)
5947, 50, 583netr4d 3012 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) β‰  ((coe1β€˜ 0 )β€˜1))
60 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = 0 β†’ (coe1β€˜(𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋))) = (coe1β€˜ 0 ))
6160fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = 0 β†’ ((coe1β€˜(𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) = ((coe1β€˜ 0 )β€˜1))
6261necon3i 2967 . . . . . . . . . 10 (((coe1β€˜(𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) β‰  ((coe1β€˜ 0 )β€˜1) β†’ (𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) β‰  0 )
6359, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) β‰  0 )
6446, 63eqnetrrd 3003 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑋) β‰  0 )
65 eldifsn 4785 . . . . . . . 8 ((𝑀 Β· 𝑋) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((𝑀 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝑀 Β· 𝑋) β‰  0 ))
6624, 64, 65sylanbrc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑋) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
67 fta1blem.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑋) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜(𝑀 Β· 𝑋))))
6866, 67mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜(𝑀 Β· 𝑋)))
6946fveq2d 6889 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋))) = (π·β€˜(𝑀 Β· 𝑋)))
70 fta1b.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
7170, 4, 3, 7, 10, 41, 43, 48deg1tm 26009 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 β‰  π‘Š) ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (π·β€˜(𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋))) = 1)
7238, 9, 47, 36, 71syl121anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝑀 Β· (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋))) = 1)
7369, 72eqtr3d 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) = 1)
7468, 73breqtrd 5167 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ≀ 1)
75 hashbnd 14301 . . . . 5 (((β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ V ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ≀ 1) β†’ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ Fin)
7634, 36, 74, 75syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ Fin)
774, 48ring0cl 20166 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
7838, 77syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
79 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
803, 79, 4, 5ply1sclf 22159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):𝐾⟢𝐡)
8138, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):𝐾⟢𝐡)
8281, 9ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
83 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
84 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
855, 83, 84rhmmul 20388 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋)) = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€))(.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜π‘‹)))
8621, 82, 40, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋)) = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€))(.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜π‘‹)))
873ply1assa 22073 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
893ply1sca 22126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
906, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
9190fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
924, 91eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
939, 92eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
94 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
95 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
9679, 94, 95, 5, 83, 10asclmul1 21780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋) = (𝑀 Β· 𝑋))
9788, 93, 40, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋) = (𝑀 Β· 𝑋))
9897fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋)) = (π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)))
9923, 82ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
10023, 40ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
10116, 17, 6, 19, 99, 100, 11, 84pwsmulrval 17446 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€))(.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜π‘‹)) = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)) ∘f Γ— (π‘‚β€˜π‘‹)))
1022, 3, 4, 79evl1sca 22208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)) = (𝐾 Γ— {𝑀}))
1036, 9, 102syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)) = (𝐾 Γ— {𝑀}))
1042, 7, 4evl1var 22210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐾))
1056, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐾))
106103, 105oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€)) ∘f Γ— (π‘‚β€˜π‘‹)) = ((𝐾 Γ— {𝑀}) ∘f Γ— ( I β†Ύ 𝐾)))
107101, 106eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘€))(.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜π‘‹)) = ((𝐾 Γ— {𝑀}) ∘f Γ— ( I β†Ύ 𝐾)))
10886, 98, 1073eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) = ((𝐾 Γ— {𝑀}) ∘f Γ— ( I β†Ύ 𝐾)))
109108fveq1d 6887 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋))β€˜π‘Š) = (((𝐾 Γ— {𝑀}) ∘f Γ— ( I β†Ύ 𝐾))β€˜π‘Š))
110 fnconstg 6773 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ 𝐾 β†’ (𝐾 Γ— {𝑀}) Fn 𝐾)
1119, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— {𝑀}) Fn 𝐾)
112 fnresi 6673 . . . . . . . . . 10 ( I β†Ύ 𝐾) Fn 𝐾
113112a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐾) Fn 𝐾)
114 fnfvof 7684 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 Γ— {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I β†Ύ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ π‘Š ∈ 𝐾)) β†’ (((𝐾 Γ— {𝑀}) ∘f Γ— ( I β†Ύ 𝐾))β€˜π‘Š) = (((𝐾 Γ— {𝑀})β€˜π‘Š) Γ— (( I β†Ύ 𝐾)β€˜π‘Š)))
115111, 113, 19, 78, 114syl22anc 836 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐾 Γ— {𝑀}) ∘f Γ— ( I β†Ύ 𝐾))β€˜π‘Š) = (((𝐾 Γ— {𝑀})β€˜π‘Š) Γ— (( I β†Ύ 𝐾)β€˜π‘Š)))
116 fvconst2g 7199 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ π‘Š ∈ 𝐾) β†’ ((𝐾 Γ— {𝑀})β€˜π‘Š) = 𝑀)
1179, 78, 116syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Γ— {𝑀})β€˜π‘Š) = 𝑀)
118 fvresi 7167 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐾 β†’ (( I β†Ύ 𝐾)β€˜π‘Š) = π‘Š)
11978, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ 𝐾)β€˜π‘Š) = π‘Š)
120117, 119oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝐾 Γ— {𝑀})β€˜π‘Š) Γ— (( I β†Ύ 𝐾)β€˜π‘Š)) = (𝑀 Γ— π‘Š))
1214, 11, 48ringrz 20193 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝑀 Γ— π‘Š) = π‘Š)
12238, 9, 121syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Γ— π‘Š) = π‘Š)
123120, 122eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐾 Γ— {𝑀})β€˜π‘Š) Γ— (( I β†Ύ 𝐾)β€˜π‘Š)) = π‘Š)
124115, 123eqtrd 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐾 Γ— {𝑀}) ∘f Γ— ( I β†Ύ 𝐾))β€˜π‘Š) = π‘Š)
125109, 124eqtrd 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋))β€˜π‘Š) = π‘Š)
126 fniniseg 7055 . . . . . . 7 ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) Fn 𝐾 β†’ (π‘Š ∈ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ↔ (π‘Š ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋))β€˜π‘Š) = π‘Š)))
12727, 126syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ↔ (π‘Š ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋))β€˜π‘Š) = π‘Š)))
12878, 125, 127mpbir2and 710 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}))
129128snssd 4807 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘Š} βŠ† (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}))
130 hashsng 14334 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐾 β†’ (β™―β€˜{π‘Š}) = 1)
13178, 130syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘Š}) = 1)
132 ssdomg 8998 . . . . . . . . . 10 ((β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ V β†’ ({π‘Š} βŠ† (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) β†’ {π‘Š} β‰Ό (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})))
13333, 129, 132mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘Š} β‰Ό (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}))
134 snfi 9046 . . . . . . . . . 10 {π‘Š} ∈ Fin
135 hashdom 14344 . . . . . . . . . 10 (({π‘Š} ∈ Fin ∧ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ V) β†’ ((β™―β€˜{π‘Š}) ≀ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ↔ {π‘Š} β‰Ό (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})))
136134, 33, 135mp2an 689 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜{π‘Š}) ≀ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ↔ {π‘Š} β‰Ό (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}))
137133, 136sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘Š}) ≀ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})))
138131, 137eqbrtrrd 5165 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})))
139 hashcl 14321 . . . . . . . . . 10 ((β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ∈ β„•0)
14076, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ∈ β„•0)
141140nn0red 12537 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ∈ ℝ)
142 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
143 letri3 11303 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) = 1 ↔ ((β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})))))
144141, 142, 143sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) = 1 ↔ ((β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})))))
14574, 138, 144mpbir2and 710 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) = 1)
146131, 145eqtr4d 2769 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘Š}) = (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})))
147 hashen 14312 . . . . . 6 (({π‘Š} ∈ Fin ∧ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜{π‘Š}) = (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ↔ {π‘Š} β‰ˆ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})))
148134, 76, 147sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜{π‘Š}) = (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) ↔ {π‘Š} β‰ˆ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})))
149146, 148mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘Š} β‰ˆ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}))
150 fisseneq 9259 . . . 4 (((β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∈ Fin ∧ {π‘Š} βŠ† (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}) ∧ {π‘Š} β‰ˆ (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š})) β†’ {π‘Š} = (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}))
15176, 129, 149, 150syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘Š} = (β—‘(π‘‚β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) β€œ {π‘Š}))
15230, 151eleqtrrd 2830 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ {π‘Š})
153 elsni 4640 . 2 (𝑁 ∈ {π‘Š} β†’ 𝑁 = π‘Š)
154152, 153syl 17 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   I cid 5566   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  β„cr 11111  1c1 11113   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β™―chash 14295  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394   ↑s cpws 17401  .gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  AssAlgcasa 21745  algSccascl 21747  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051  coe1cco1 22052  eval1ce1 22188   deg1 cdg1 25942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-cnfld 21241  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-evls 21977  df-evl 21978  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-evl1 22190  df-mdeg 25943  df-deg1 25944
This theorem is referenced by:  fta1b  26061
  Copyright terms: Public domain W3C validator