Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1blem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1blem 24365
 Description: Lemma for fta1b 24366. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1b.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1b.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1b.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1b.z 0 = (0g𝑃)
fta1blem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t × = (.r𝑅)
fta1blem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1blem.s · = ( ·𝑠𝑃)
fta1blem.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2 (𝜑𝑀𝐾)
fta1blem.3 (𝜑𝑁𝐾)
fta1blem.4 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5 (𝜑𝑀𝑊)
fta1blem.6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
Assertion
Ref Expression
fta1blem (𝜑𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem
StepHypRef Expression
1 fta1blem.3 . . . 4 (𝜑𝑁𝐾)
2 fta1b.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 fta1b.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 fta1blem.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 fta1b.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 fta1blem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 fta1blem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
82, 7, 4, 3, 5, 6, 1evl1vard 20097 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9 fta1blem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐾)
10 fta1blem.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑃)
11 fta1blem.t . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
122, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11evl1vsd 20104 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
1312simprd 491 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14 fta1blem.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
1513, 14eqtrd 2814 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
17 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
184fvexi 6460 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
202, 3, 16, 4evl1rhm 20092 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
216, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
225, 17rhmf 19115 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2412simpld 490 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2523, 24ffvelrnd 6624 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
2616, 4, 17, 6, 19, 25pwselbas 16535 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾𝐾)
2726ffnd 6292 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
28 fniniseg 6602 . . . . 5 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
301, 15, 29mpbir2and 703 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
31 fvex 6459 . . . . . . . 8 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3231cnvex 7392 . . . . . . 7 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3332imaex 7383 . . . . . 6 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
35 1nn0 11660 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37 crngring 18945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
386, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
397, 3, 5vr1cl 19983 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐵)
41 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
4241, 5mgpbas 18882 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
43 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4442, 43mulg1 17935 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4540, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4645oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
47 fta1blem.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑊)
48 fta1b.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (0g𝑅)
4948, 4, 3, 7, 10, 41, 43coe1tmfv1 20040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
5038, 9, 36, 49syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
51 fta1b.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝑃)
523, 51, 48coe1z 20029 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5453fveq1d 6448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
5548fvexi 6460 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 ∈ V
5655fvconst2 6741 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
5735, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
5854, 57syl6eq 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = 𝑊)
5947, 50, 583netr4d 3046 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1))
60 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe10 ))
6160fveq1d 6448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe10 )‘1))
6261necon3i 3001 . . . . . . . . . 10 (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6359, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6446, 63eqnetrrd 3037 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
65 eldifsn 4550 . . . . . . . 8 ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
6624, 64, 65sylanbrc 578 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
67 fta1blem.6 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
6866, 67mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
6946fveq2d 6450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
70 fta1b.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ( deg1𝑅)
7170, 4, 3, 7, 10, 41, 43, 48deg1tm 24315 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐾𝑀𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7238, 9, 47, 36, 71syl121anc 1443 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7369, 72eqtr3d 2816 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
7468, 73breqtrd 4912 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
75 hashbnd 13441 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
7634, 36, 74, 75syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
774, 48ring0cl 18956 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊𝐾)
7838, 77syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝐾)
79 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
803, 79, 4, 5ply1sclf 20051 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8138, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8281, 9ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
83 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
84 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
855, 83, 84rhmmul 19116 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
8621, 82, 40, 85syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
873ply1assa 19965 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
893ply1sca 20019 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
906, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9190fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
924, 91syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
939, 92eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
94 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
95 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
9679, 94, 95, 5, 83, 10asclmul1 19736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
9788, 93, 40, 96syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
9897fveq2d 6450 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
9923, 82ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10023, 40ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10116, 17, 6, 19, 99, 100, 11, 84pwsmulrval 16537 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂𝑋)))
1022, 3, 4, 79evl1sca 20094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1036, 9, 102syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1042, 7, 4evl1var 20096 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
1056, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
106103, 105oveq12d 6940 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
107101, 106eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
10886, 98, 1073eqtr3d 2822 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
109108fveq1d 6448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
110 fnconstg 6343 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
1119, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
112 fnresi 6254 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
113112a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
114 fnfvof 7188 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
115111, 113, 19, 78, 114syl22anc 829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
116 fvconst2g 6739 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐾𝑊𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
1179, 78, 116syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
118 fvresi 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
11978, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
120117, 119oveq12d 6940 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
1214, 11, 48ringrz 18975 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
12238, 9, 121syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
123120, 122eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
124115, 123eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
125109, 124eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
126 fniniseg 6602 . . . . . . 7 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
12727, 126syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
12878, 125, 127mpbir2and 703 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
129128snssd 4571 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
130 hashsng 13474 . . . . . . 7 (𝑊𝐾 → (♯‘{𝑊}) = 1)
13178, 130syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = 1)
132 ssdomg 8287 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
13333, 129, 132mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
134 snfi 8326 . . . . . . . . . 10 {𝑊} ∈ Fin
135 hashdom 13483 . . . . . . . . . 10 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
136134, 33, 135mp2an 682 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
137133, 136sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘{𝑊}) ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138131, 137eqbrtrrd 4910 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
139 hashcl 13462 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
14076, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
141140nn0red 11703 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
142 1re 10376 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
143 letri3 10462 . . . . . . . 8 (((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
144141, 142, 143sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
14574, 138, 144mpbir2and 703 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
146131, 145eqtr4d 2817 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑊}) = (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
147 hashen 13452 . . . . . 6 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
148134, 76, 147sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘{𝑊}) = (♯‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149146, 148mpbid 224 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
150 fisseneq 8459 . . . 4 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15176, 129, 149, 150syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15230, 151eleqtrrd 2862 . 2 (𝜑𝑁 ∈ {𝑊})
153 elsni 4415 . 2 (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
154152, 153syl 17 1 (𝜑𝑁 = 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ⊆ wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4886   I cid 5260   × cxp 5353  ◡ccnv 5354   ↾ cres 5357   “ cima 5358   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ∘𝑓 cof 7172   ≈ cen 8238   ≼ cdom 8239  Fincfn 8241  ℝcr 10271  1c1 10273   ≤ cle 10412  ℕ0cn0 11642  ♯chash 13435  Basecbs 16255  .rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  0gc0g 16486   ↑s cpws 16493  .gcmg 17927  mulGrpcmgp 18876  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935   RingHom crh 19101  AssAlgcasa 19706  algSccascl 19708  var1cv1 19942  Poly1cpl1 19943  coe1cco1 19944  eval1ce1 20075   deg1 cdg1 24251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-ring 18936  df-cring 18937  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-assa 19709  df-asp 19710  df-ascl 19711  df-psr 19753  df-mvr 19754  df-mpl 19755  df-opsr 19757  df-evls 19902  df-evl 19903  df-psr1 19946  df-vr1 19947  df-ply1 19948  df-coe1 19949  df-evl1 20077  df-cnfld 20143  df-mdeg 24252  df-deg1 24253 This theorem is referenced by:  fta1b  24366
 Copyright terms: Public domain W3C validator