MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vieta1 25695
Description: The first-order Vieta's formula (see http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas). If a polynomial of degree ๐‘ has ๐‘ distinct roots, then the sum over these roots can be calculated as -๐ด(๐‘ โˆ’ 1) / ๐ด(๐‘). (If the roots are not distinct, then this formula is still true but must double-count some of the roots according to their multiplicities.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 ๐ด = (coeffโ€˜๐น)
vieta1.2 ๐‘ = (degโ€˜๐น)
vieta1.3 ๐‘… = (โ—ก๐น โ€œ {0})
vieta1.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
vieta1.5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘)
vieta1.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
vieta1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem vieta1
Dummy variables ๐‘“ ๐‘˜ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘‘ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vieta1.5 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘)
2 fveq2 6846 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ (degโ€˜๐‘“) = (degโ€˜๐น))
32eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โ†” ๐‘ = (degโ€˜๐น)))
4 cnveq 5833 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐น โ†’ โ—ก๐‘“ = โ—ก๐น)
54imaeq1d 6016 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐น โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) = (โ—ก๐น โ€œ {0}))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 ๐‘… = (โ—ก๐น โ€œ {0})
75, 6eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) = ๐‘…)
87fveq2d 6850 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (โ™ฏโ€˜๐‘…))
9 vieta1.2 . . . . . . . 8 ๐‘ = (degโ€˜๐น)
102, 9eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ (degโ€˜๐‘“) = ๐‘)
118, 10eqeq12d 2749 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘))
123, 11anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (๐‘ = (degโ€˜๐น) โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘)))
139biantrur 532 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘ โ†” (๐‘ = (degโ€˜๐น) โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘))
1412, 13bitr4di 289 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘))
157sumeq1d 15594 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ)
16 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐น โ†’ (coeffโ€˜๐‘“) = (coeffโ€˜๐น))
17 vieta1.1 . . . . . . . . 9 ๐ด = (coeffโ€˜๐น)
1816, 17eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ (coeffโ€˜๐‘“) = ๐ด)
1910oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
2018, 19fveq12d 6853 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) = (๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
2118, 10fveq12d 6853 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) = (๐ดโ€˜๐‘))
2220, 21oveq12d 7379 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐น โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))) = ((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))
2322negeqd 11403 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))) = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))
2415, 23eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ (ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))) โ†” ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘))))
2514, 24imbi12d 345 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ (((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))))
26 vieta1.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
27 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โ†” 1 = (degโ€˜๐‘“)))
2827anbi1d 631 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = 1 โ†’ ((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
2928imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
3029ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
31 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘‘ โ†’ (๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โ†” ๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“)))
3231anbi1d 631 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘‘ โ†’ ((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
3332imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘‘ โ†’ (((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
3433ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘‘ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
35 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘‘ + 1) โ†’ (๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โ†” (๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“)))
3635anbi1d 631 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘‘ + 1) โ†’ ((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
3736imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐‘‘ + 1) โ†’ (((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
3837ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐‘‘ + 1) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
39 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โ†” ๐‘ = (degโ€˜๐‘“)))
4039anbi1d 631 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
4140imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
4241ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (coeffโ€˜๐‘“) = (coeffโ€˜๐‘“)
4443coef3 25616 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ (coeffโ€˜๐‘“):โ„•0โŸถโ„‚)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (coeffโ€˜๐‘“):โ„•0โŸถโ„‚)
46 0nn0 12436 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„•0
47 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeffโ€˜๐‘“):โ„•0โŸถโ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) โˆˆ โ„‚)
4845, 46, 47sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) โˆˆ โ„‚)
49 1nn0 12437 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„•0
50 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeffโ€˜๐‘“):โ„•0โŸถโ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5145, 49, 50sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
52 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ 1 = (degโ€˜๐‘“))
5352fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))
54 ax-1ne0 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โ‰  0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ 1 โ‰  0)
5652, 55eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (degโ€˜๐‘“) โ‰  0)
57 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = 0๐‘ โ†’ (degโ€˜๐‘“) = (degโ€˜0๐‘))
58 dgr0 25646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (degโ€˜0๐‘) = 0
5957, 58eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = 0๐‘ โ†’ (degโ€˜๐‘“) = 0)
6059necon3i 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((degโ€˜๐‘“) โ‰  0 โ†’ ๐‘“ โ‰  0๐‘)
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘“ โ‰  0๐‘)
62 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (degโ€˜๐‘“) = (degโ€˜๐‘“)
6362, 43dgreq0 25649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ (๐‘“ = 0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) = 0))
6463necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ (๐‘“ โ‰  0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) โ‰  0))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“ โ‰  0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) โ‰  0))
6661, 65mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) โ‰  0)
6753, 66eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) โ‰  0)
6848, 51, 67divcld 11939 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
6968negcld 11507 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
70 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โ†’ ๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
7170sumsn 15639 . . . . . . . . . 10 ((-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
7269, 69, 71syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
7372adantrr 716 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
74 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) = (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})
7574fta1 25691 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง ๐‘“ โ‰  0๐‘) โ†’ ((โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ‰ค (degโ€˜๐‘“)))
7661, 75syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ‰ค (degโ€˜๐‘“)))
7776simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin)
7877adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin)
7943, 62coeid2 25623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐‘“))(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)))
8069, 79syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐‘“))(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)))
8152oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (0...1) = (0...(degโ€˜๐‘“)))
8281sumeq1d 15594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐‘“))(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)))
83 nn0uz 12813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
84 1e0p1 12668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
85 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))
86 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = 1 โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜) = (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1))
8785, 86oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1)))
8845ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
89 expcl 13994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9069, 89sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9188, 90mulcld 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
92 0z 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โˆˆ โ„ค
9369exp0d 14054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0) = 1)
9493oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท 1))
9548mulid1d 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท 1) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
9694, 95eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
9796, 48eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)) โˆˆ โ„‚)
98 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
99 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = 0 โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜) = (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0))
10098, 99oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ = 0 โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)))
101100fsum1 15640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)))
10292, 97, 101sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)))
103102, 96eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
104103, 46jctil 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (0 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0)))
10569exp1d 14055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
106105oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))))
10751, 68mulneg2d 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))))
10848, 51, 67divcan2d 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
109108negeqd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = -((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
110106, 107, 1093eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1)) = -((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
111110oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) + (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1))) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) + -((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0)))
11248negidd 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) + -((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0)) = 0)
113111, 112eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) + (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1))) = 0)
11483, 84, 87, 91, 104, 113fsump1i 15662 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (1 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = 0))
115114simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = 0)
11680, 82, 1153eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = 0)
117 plyf 25582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ ๐‘“:โ„‚โŸถโ„‚)
118117ffnd 6673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ ๐‘“ Fn โ„‚)
119118adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘“ Fn โ„‚)
120 fniniseg 7014 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ Fn โ„‚ โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โ†” (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = 0)))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โ†” (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = 0)))
12269, 116, 121mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
123122snssd 4773 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โŠ† (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
124123adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โŠ† (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
125 hashsng 14278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = 1)
12669, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = 1)
127126, 52eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (degโ€˜๐‘“))
128127adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (degโ€˜๐‘“))
129 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))
130128, 129eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
131 snfi 8994 . . . . . . . . . . . . 13 {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โˆˆ Fin
132 hashen 14256 . . . . . . . . . . . . 13 (({-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ†” {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
133131, 77, 132sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ†” {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
134133adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ†” {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
135130, 134mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
136 fisseneq 9207 . . . . . . . . . 10 (((โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin โˆง {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โŠ† (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆง {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} = (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
13778, 124, 135, 136syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} = (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
138137sumeq1d 15594 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}๐‘ฅ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ)
139 1m1e0 12233 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆ’ 1) = 0
14052oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (1 โˆ’ 1) = ((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1))
141139, 140eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ 0 = ((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1))
142141fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)))
143142, 53oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
144143negeqd 11403 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
145144adantrr 716 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
14673, 138, 1453eqtr3d 2781 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
147146ex 414 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ ((1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
148147rgen 3063 . . . . 5 โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
149 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ฅ)
150149cbvsumv 15589 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ
151150eqeq1i 2738 . . . . . . . . . 10 (ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))) โ†” ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
152151imbi2i 336 . . . . . . . . 9 (((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
153152ralbii 3093 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
154 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (coeffโ€˜๐‘”) = (coeffโ€˜๐‘”)
155 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (degโ€˜๐‘”) = (degโ€˜๐‘”)
156 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (โ—ก๐‘” โ€œ {0}) = (โ—ก๐‘” โ€œ {0})
157 simp1r 1199 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))
158 simp3r 1203 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))
159 simp1l 1198 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
160 simp3l 1202 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ (๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”))
161 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
162161, 153sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
163 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘” quot (Xp โˆ˜f โˆ’ (โ„‚ ร— {๐‘ง}))) = (๐‘” quot (Xp โˆ˜f โˆ’ (โ„‚ ร— {๐‘ง})))
164154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 162, 163vieta1lem2 25694 . . . . . . . . 9 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))))
1651643exp 1120 . . . . . . . 8 ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†’ (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))))))
166153, 165biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†’ (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))))))
167166ralrimdva 3148 . . . . . 6 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))))))
168 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (degโ€˜๐‘”) = (degโ€˜๐‘“))
169168eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โ†” (๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“)))
170 cnveq 5833 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ โ—ก๐‘” = โ—ก๐‘“)
171170imaeq1d 6016 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (โ—ก๐‘” โ€œ {0}) = (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
172171fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
173172, 168eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”) โ†” (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)))
174169, 173anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†” ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
175171sumeq1d 15594 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ)
176 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (coeffโ€˜๐‘”) = (coeffโ€˜๐‘“))
177168oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1) = ((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1))
178176, 177fveq12d 6853 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)))
179176, 168fveq12d 6853 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))
180178, 179oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
181180negeqd 11403 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
182175, 181eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))) โ†” ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
183174, 182imbi12d 345 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”)))) โ†” (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
184183cbvralvw 3224 . . . . . 6 (โˆ€๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
185167, 184syl6ib 251 . . . . 5 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
18630, 34, 38, 42, 148, 185nnind 12179 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
18726, 186syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
188 plyssc 25584 . . . 4 (Polyโ€˜๐‘†) โŠ† (Polyโ€˜โ„‚)
189 vieta1.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
190188, 189sselid 3946 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))
19125, 187, 190rspcdva 3584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘))))
1921, 191mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   โŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ร— cxp 5635  โ—กccnv 5636   โ€œ cima 5640   Fn wfn 6495  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆ˜f cof 7619   โ‰ˆ cen 8886  Fincfn 8889  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  ...cfz 13433  โ†‘cexp 13976  โ™ฏchash 14239  ฮฃcsu 15579  0๐‘c0p 25056  Polycply 25568  Xpcidp 25569  coeffccoe 25570  degcdgr 25571   quot cquot 25673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-0p 25057  df-ply 25572  df-idp 25573  df-coe 25574  df-dgr 25575  df-quot 25674
This theorem is referenced by:  basellem5  26457
  Copyright terms: Public domain W3C validator