MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vieta1 26059
Description: The first-order Vieta's formula (see http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas). If a polynomial of degree ๐‘ has ๐‘ distinct roots, then the sum over these roots can be calculated as -๐ด(๐‘ โˆ’ 1) / ๐ด(๐‘). (If the roots are not distinct, then this formula is still true but must double-count some of the roots according to their multiplicities.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 ๐ด = (coeffโ€˜๐น)
vieta1.2 ๐‘ = (degโ€˜๐น)
vieta1.3 ๐‘… = (โ—ก๐น โ€œ {0})
vieta1.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
vieta1.5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘)
vieta1.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
vieta1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem vieta1
Dummy variables ๐‘“ ๐‘˜ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘‘ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vieta1.5 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘)
2 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ (degโ€˜๐‘“) = (degโ€˜๐น))
32eqeq2d 2741 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โ†” ๐‘ = (degโ€˜๐น)))
4 cnveq 5874 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐น โ†’ โ—ก๐‘“ = โ—ก๐น)
54imaeq1d 6059 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐น โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) = (โ—ก๐น โ€œ {0}))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 ๐‘… = (โ—ก๐น โ€œ {0})
75, 6eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) = ๐‘…)
87fveq2d 6896 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (โ™ฏโ€˜๐‘…))
9 vieta1.2 . . . . . . . 8 ๐‘ = (degโ€˜๐น)
102, 9eqtr4di 2788 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ (degโ€˜๐‘“) = ๐‘)
118, 10eqeq12d 2746 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘))
123, 11anbi12d 629 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (๐‘ = (degโ€˜๐น) โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘)))
139biantrur 529 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘ โ†” (๐‘ = (degโ€˜๐น) โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘))
1412, 13bitr4di 288 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘))
157sumeq1d 15653 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ)
16 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐น โ†’ (coeffโ€˜๐‘“) = (coeffโ€˜๐น))
17 vieta1.1 . . . . . . . . 9 ๐ด = (coeffโ€˜๐น)
1816, 17eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ (coeffโ€˜๐‘“) = ๐ด)
1910oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
2018, 19fveq12d 6899 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) = (๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
2118, 10fveq12d 6899 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) = (๐ดโ€˜๐‘))
2220, 21oveq12d 7431 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐น โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))) = ((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))
2322negeqd 11460 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))) = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))
2415, 23eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ (ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))) โ†” ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘))))
2514, 24imbi12d 343 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ (((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))))
26 vieta1.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
27 eqeq1 2734 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โ†” 1 = (degโ€˜๐‘“)))
2827anbi1d 628 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = 1 โ†’ ((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
2928imbi1d 340 . . . . . 6 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
3029ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
31 eqeq1 2734 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘‘ โ†’ (๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โ†” ๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“)))
3231anbi1d 628 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘‘ โ†’ ((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
3332imbi1d 340 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘‘ โ†’ (((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
3433ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘‘ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
35 eqeq1 2734 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘‘ + 1) โ†’ (๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โ†” (๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“)))
3635anbi1d 628 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘‘ + 1) โ†’ ((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
3736imbi1d 340 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐‘‘ + 1) โ†’ (((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
3837ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐‘‘ + 1) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
39 eqeq1 2734 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โ†” ๐‘ = (degโ€˜๐‘“)))
4039anbi1d 628 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†” (๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
4140imbi1d 340 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
4241ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ฆ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
43 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (coeffโ€˜๐‘“) = (coeffโ€˜๐‘“)
4443coef3 25980 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ (coeffโ€˜๐‘“):โ„•0โŸถโ„‚)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (coeffโ€˜๐‘“):โ„•0โŸถโ„‚)
46 0nn0 12493 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„•0
47 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeffโ€˜๐‘“):โ„•0โŸถโ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) โˆˆ โ„‚)
4845, 46, 47sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) โˆˆ โ„‚)
49 1nn0 12494 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„•0
50 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeffโ€˜๐‘“):โ„•0โŸถโ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5145, 49, 50sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
52 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ 1 = (degโ€˜๐‘“))
5352fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))
54 ax-1ne0 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โ‰  0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ 1 โ‰  0)
5652, 55eqnetrrd 3007 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (degโ€˜๐‘“) โ‰  0)
57 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = 0๐‘ โ†’ (degโ€˜๐‘“) = (degโ€˜0๐‘))
58 dgr0 26010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (degโ€˜0๐‘) = 0
5957, 58eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = 0๐‘ โ†’ (degโ€˜๐‘“) = 0)
6059necon3i 2971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((degโ€˜๐‘“) โ‰  0 โ†’ ๐‘“ โ‰  0๐‘)
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘“ โ‰  0๐‘)
62 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (degโ€˜๐‘“) = (degโ€˜๐‘“)
6362, 43dgreq0 26013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ (๐‘“ = 0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) = 0))
6463necon3bid 2983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ (๐‘“ โ‰  0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) โ‰  0))
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“ โ‰  0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) โ‰  0))
6661, 65mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)) โ‰  0)
6753, 66eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) โ‰  0)
6848, 51, 67divcld 11996 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
6968negcld 11564 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
70 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โ†’ ๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
7170sumsn 15698 . . . . . . . . . 10 ((-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
7269, 69, 71syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
7372adantrr 713 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
74 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) = (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})
7574fta1 26055 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง ๐‘“ โ‰  0๐‘) โ†’ ((โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ‰ค (degโ€˜๐‘“)))
7661, 75syldan 589 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ‰ค (degโ€˜๐‘“)))
7776simpld 493 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin)
7877adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin)
7943, 62coeid2 25987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐‘“))(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)))
8069, 79syldan 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐‘“))(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)))
8152oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (0...1) = (0...(degโ€˜๐‘“)))
8281sumeq1d 15653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐‘“))(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)))
83 nn0uz 12870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
84 1e0p1 12725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
85 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))
86 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = 1 โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜) = (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1))
8785, 86oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1)))
8845ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
89 expcl 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9069, 89sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9188, 90mulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
92 0z 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โˆˆ โ„ค
9369exp0d 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0) = 1)
9493oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท 1))
9548mulridd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท 1) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
9694, 95eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
9796, 48eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)) โˆˆ โ„‚)
98 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
99 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = 0 โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜) = (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0))
10098, 99oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ = 0 โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)))
101100fsum1 15699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)))
10292, 97, 101sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘0)))
103102, 96eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
104103, 46jctil 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (0 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0)))
10569exp1d 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)))
106105oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))))
10751, 68mulneg2d 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))))
10848, 51, 67divcan2d 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
109108negeqd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = -((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
110106, 107, 1093eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1)) = -((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0))
111110oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) + (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1))) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) + -((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0)))
11248negidd 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) + -((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0)) = 0)
113111, 112eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) + (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘1))) = 0)
11483, 84, 87, 91, 104, 113fsump1i 15721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (1 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = 0))
115114simprd 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜๐‘˜) ยท (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))โ†‘๐‘˜)) = 0)
11680, 82, 1153eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = 0)
117 plyf 25946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ ๐‘“:โ„‚โŸถโ„‚)
118117ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ ๐‘“ Fn โ„‚)
119118adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘“ Fn โ„‚)
120 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ Fn โ„‚ โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โ†” (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = 0)))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โ†” (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘“โ€˜-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))) = 0)))
12269, 116, 121mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
123122snssd 4813 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โŠ† (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
124123adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โŠ† (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
125 hashsng 14335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = 1)
12669, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = 1)
127126, 52eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (degโ€˜๐‘“))
128127adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (degโ€˜๐‘“))
129 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))
130128, 129eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
131 snfi 9048 . . . . . . . . . . . . 13 {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โˆˆ Fin
132 hashen 14313 . . . . . . . . . . . . 13 (({-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ†” {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
133131, 77, 132sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ†” {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
134133adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ†” {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
135130, 134mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
136 fisseneq 9261 . . . . . . . . . 10 (((โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆˆ Fin โˆง {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โŠ† (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}) โˆง {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} โ‰ˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} = (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
13778, 124, 135, 136syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))} = (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
138137sumeq1d 15653 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ {-(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1))}๐‘ฅ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ)
139 1m1e0 12290 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆ’ 1) = 0
14052oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (1 โˆ’ 1) = ((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1))
141139, 140eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ 0 = ((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1))
142141fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)))
143142, 53oveq12d 7431 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
144143negeqd 11460 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง 1 = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
145144adantrr 713 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜0) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜1)) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
14673, 138, 1453eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โˆง (1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
147146ex 411 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ ((1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
148147rgen 3061 . . . . 5 โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((1 = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
149 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ฅ)
150149cbvsumv 15648 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ
151150eqeq1i 2735 . . . . . . . . . 10 (ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))) โ†” ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
152151imbi2i 335 . . . . . . . . 9 (((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” ((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
153152ralbii 3091 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
154 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (coeffโ€˜๐‘”) = (coeffโ€˜๐‘”)
155 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (degโ€˜๐‘”) = (degโ€˜๐‘”)
156 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (โ—ก๐‘” โ€œ {0}) = (โ—ก๐‘” โ€œ {0})
157 simp1r 1196 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))
158 simp3r 1200 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))
159 simp1l 1195 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
160 simp3l 1199 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ (๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”))
161 simp2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
162161, 153sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
163 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (๐‘” quot (Xp โˆ˜f โˆ’ (โ„‚ ร— {๐‘ง}))) = (๐‘” quot (Xp โˆ˜f โˆ’ (โ„‚ ร— {๐‘ง})))
164154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 162, 163vieta1lem2 26058 . . . . . . . . 9 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โˆง ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”))) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))))
1651643exp 1117 . . . . . . . 8 ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฆ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†’ (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))))))
166153, 165biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†’ (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))))))
167166ralrimdva 3152 . . . . . 6 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))))))
168 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (degโ€˜๐‘”) = (degโ€˜๐‘“))
169168eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โ†” (๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“)))
170 cnveq 5874 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ โ—ก๐‘” = โ—ก๐‘“)
171170imaeq1d 6059 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (โ—ก๐‘” โ€œ {0}) = (โ—ก๐‘“ โ€œ {0}))
172171fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})))
173172, 168eqeq12d 2746 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”) โ†” (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)))
174169, 173anbi12d 629 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†” ((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“))))
175171sumeq1d 15653 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ)
176 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (coeffโ€˜๐‘”) = (coeffโ€˜๐‘“))
177168oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1) = ((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1))
178176, 177fveq12d 6899 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)))
179176, 168fveq12d 6899 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”)) = ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))
180178, 179oveq12d 7431 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))) = (((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
181180negeqd 11460 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))) = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))
182175, 181eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”))) โ†” ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
183174, 182imbi12d 343 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”)))) โ†” (((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
184183cbvralvw 3232 . . . . . 6 (โˆ€๐‘” โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘”) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘” โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘”)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜((degโ€˜๐‘”) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘”)โ€˜(degโ€˜๐‘”)))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
185167, 184imbitrdi 250 . . . . 5 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)(((๐‘‘ + 1) = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“))))))
18630, 34, 38, 42, 148, 185nnind 12236 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
18726, 186syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚)((๐‘ = (degโ€˜๐‘“) โˆง (โ™ฏโ€˜(โ—ก๐‘“ โ€œ {0})) = (degโ€˜๐‘“)) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {0})๐‘ฅ = -(((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜((degโ€˜๐‘“) โˆ’ 1)) / ((coeffโ€˜๐‘“)โ€˜(degโ€˜๐‘“)))))
188 plyssc 25948 . . . 4 (Polyโ€˜๐‘†) โŠ† (Polyโ€˜โ„‚)
189 vieta1.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
190188, 189sselid 3981 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))
19125, 187, 190rspcdva 3614 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘…) = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘))))
1921, 191mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฅ = -((๐ดโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) / (๐ดโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059   โŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  โ—กccnv 5676   โ€œ cima 5680   Fn wfn 6539  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   โˆ˜f cof 7672   โ‰ˆ cen 8940  Fincfn 8943  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โ‰ค cle 11255   โˆ’ cmin 11450  -cneg 11451   / cdiv 11877  โ„•cn 12218  โ„•0cn0 12478  โ„คcz 12564  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14033  โ™ฏchash 14296  ฮฃcsu 15638  0๐‘c0p 25420  Polycply 25932  Xpcidp 25933  coeffccoe 25934  degcdgr 25935   quot cquot 26037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-0p 25421  df-ply 25936  df-idp 25937  df-coe 25938  df-dgr 25939  df-quot 26038
This theorem is referenced by:  basellem5  26823
  Copyright terms: Public domain W3C validator