Theorem upgrex 29471

Description: An edge is an unordered pair of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrex	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉

Proof of Theorem upgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgrn0 29468	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ≠ ∅)
4		n0 4307	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹))
5	3, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹))
6		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7		fndm 6642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → dom 𝐸 = 𝐴)
8	7	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → 𝐴 = dom 𝐸)
9	8	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ 𝐹 ∈ dom 𝐸))
10	9	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ dom 𝐸))
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐸 Fn 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ dom 𝐸)))
12	11	3imp 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom 𝐸)
13	1, 2	upgrss 29467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐹) ⊆ 𝑉)
14	6, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ⊆ 𝑉)
15	14	sselda 3938	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) ∧ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝑉)
17		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) ∧ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅)
18		ssdif0 4321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ⊆ {𝑥} ↔ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅)
19	17, 18	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) ∧ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → (𝐸‘𝐹) ⊆ {𝑥})
20		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹))
21	20	snssd 4754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) → {𝑥} ⊆ (𝐸‘𝐹))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) ∧ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → {𝑥} ⊆ (𝐸‘𝐹))
23	19, 22	eqssd 3955	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) ∧ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → (𝐸‘𝐹) = {𝑥})
24		preq2 4702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑥, 𝑦} = {𝑥, 𝑥})
25		dfsn2 4604	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥} = {𝑥, 𝑥}
26	24, 25	eqtr4di 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑥, 𝑦} = {𝑥})
27	26	rspceeqv 3606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝐹) = {𝑥}) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})
28	16, 23, 27	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) ∧ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})
29		n0 4307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))
30	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝐸‘𝐹) ⊆ 𝑉)
31		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))
32	31	eldifad 3918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ (𝐸‘𝐹))
33	30, 32	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
34	1, 2	upgrfi 29470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
36		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹))
37	36, 32	prssd 4790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝐸‘𝐹))
38		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐸‘𝐹) ∈ V
39		ssdomg 8999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ∈ V → ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝐸‘𝐹) → {𝑥, 𝑦} ≼ (𝐸‘𝐹)))
40	38, 37, 39	mpsyl 69	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → {𝑥, 𝑦} ≼ (𝐸‘𝐹))
41	1, 2	upgrle 29469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
43		eldifsni 4760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) → 𝑦 ≠ 𝑥)
44	43	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ≠ 𝑥)
45	44	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
46		hashprg 14444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
47	46	el2v 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
48	45, 47	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
49	42, 48	breqtrrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ (♯‘{𝑥, 𝑦}))
50		prfi 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ Fin
51		hashdom 14428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ∈ Fin ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ Fin) → ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ (♯‘{𝑥, 𝑦}) ↔ (𝐸‘𝐹) ≼ {𝑥, 𝑦}))
52	35, 50, 51	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ (♯‘{𝑥, 𝑦}) ↔ (𝐸‘𝐹) ≼ {𝑥, 𝑦}))
53	49, 52	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝐸‘𝐹) ≼ {𝑥, 𝑦})
54		sbth 9088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ≼ (𝐸‘𝐹) ∧ (𝐸‘𝐹) ≼ {𝑥, 𝑦}) → {𝑥, 𝑦} ≈ (𝐸‘𝐹))
55	40, 53, 54	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → {𝑥, 𝑦} ≈ (𝐸‘𝐹))
56		fisseneq 9226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ∈ Fin ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝐸‘𝐹) ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ (𝐸‘𝐹)) → {𝑥, 𝑦} = (𝐸‘𝐹))
57	35, 37, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → {𝑥, 𝑦} = (𝐸‘𝐹))
58	57	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})
59	33, 58	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
60	59	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) → (𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) → (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})))
61	60	eximdv 1950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) → (∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})))
62	61	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥})) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
63		df-rex 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦} ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
64	62, 63	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥})) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})
65	29, 64	sylan2b 606	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) ∧ ((𝐸‘𝐹) ∖ {𝑥}) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})
66	28, 65	pm2.61dane 3047	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})
67	15, 66	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
68	67	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})))
69	68	eximdv 1950	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐹) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})))
70	5, 69	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
71		df-rex 3092	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
72	70, 71	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝐹) = {𝑥, 𝑦})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5111  dom cdm 5663   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540   ≈ cen 8942   ≼ cdom 8943  Fincfn 8945   ≤ cle 11255  2c2 12306  ♯chash 14379  Vtxcvtx 29375  iEdgciedg 29376  UPGraphcupgr 29459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-hash 14380  df-upgr 29461

This theorem is used by: (None)