MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flimcls 24009
Description: Closure in terms of filter convergence. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimcls ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆𝑓𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐽   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem flimcls
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))
21flimclslem 24008 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
3 3anass 1094 . . . . 5 (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))) ↔ ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
42, 3sylib 218 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
5 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝑆𝑓𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
6 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
76eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
85, 7anbi12d 632 . . . . 5 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → ((𝑆𝑓𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
98rspcev 3622 . . . 4 (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆𝑓𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
104, 9syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆𝑓𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
11103expia 1120 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆𝑓𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
12 flimclsi 24002 . . . 4 (𝑆𝑓 → (𝐽 fLim 𝑓) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
1312sselda 3995 . . 3 ((𝑆𝑓𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
1413rexlimivw 3149 . 2 (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆𝑓𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
1511, 14impbid1 225 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆𝑓𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  ficfi 9448  filGencfg 21371  TopOnctopon 22932  clsccl 23042  neicnei 23121  Filcfil 23869   fLim cflim 23958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-fil 23870  df-flim 23963
This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25363
  Copyright terms: Public domain W3C validator