Theorem flimcls 23709

Description: Closure in terms of filter convergence. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimcls	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐽   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem flimcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))
2	1	flimclslem 23708	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
3		3anass 1093	. . . . 5 ⊢ (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))) ↔ ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
4	2, 3	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
5		eleq2 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝑆 ∈ 𝑓 ↔ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
6		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
7	6	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
8	5, 7	anbi12d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → ((𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
9	8	rspcev 3611	. . . 4 ⊢ (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
11	10	3expia 1119	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
12		flimclsi 23702	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑓 → (𝐽 fLim 𝑓) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
13	12	sselda 3981	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14	13	rexlimivw 3149	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
15	11, 14	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ficfi 9407  filGencfg 21133  TopOnctopon 22632  clsccl 22742  neicnei 22821  Filcfil 23569   fLim cflim 23658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-fil 23570  df-flim 23663

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25063