Theorem flimcls 23928

Description: Closure in terms of filter convergence. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimcls	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐽   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem flimcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))
2	1	flimclslem 23927	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
3		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))) ↔ ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
4	2, 3	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
5		eleq2 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝑆 ∈ 𝑓 ↔ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
6		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
7	6	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
8	5, 7	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → ((𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
9	8	rspcev 3565	. . . 4 ⊢ (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
11	10	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
12		flimclsi 23921	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑓 → (𝐽 fLim 𝑓) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
13	12	sselda 3922	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14	13	rexlimivw 3135	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
15	11, 14	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ficfi 9314  filGencfg 21300  TopOnctopon 22853  clsccl 22961  neicnei 23040  Filcfil 23788   fLim cflim 23877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1o 8396  df-2o 8397  df-en 8885  df-fin 8888  df-fi 9315  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-top 22837  df-topon 22854  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-fil 23789  df-flim 23882

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25260