Theorem flimcls 23928

Description: Closure in terms of filter convergence. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimcls	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐽   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem flimcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))
2	1	flimclslem 23927	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
3		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))) ↔ ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
4	2, 3	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
5		eleq2 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝑆 ∈ 𝑓 ↔ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
6		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
7	6	eleq2d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
8	5, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → ((𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
9	8	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
11	10	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
12		flimclsi 23921	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑓 → (𝐽 fLim 𝑓) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
13	12	sselda 3963	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14	13	rexlimivw 3138	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
15	11, 14	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ficfi 9427  filGencfg 21309  TopOnctopon 22853  clsccl 22961  neicnei 23040  Filcfil 23788   fLim cflim 23877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1o 8485  df-2o 8486  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9428  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-top 22837  df-topon 22854  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-fil 23789  df-flim 23882

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25272