Theorem rngchomffvalALTV 45797

Description: The value of the functionalized Hom-set operation in the category of non-unital rings (in a universe) in maps-to notation for an operation. (Contributed by AV, 1-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngchomffvalALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngchomffvalALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngchomffvalALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngchomffvalALTV.h	⊢ 𝐹 = (Homf ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rngchomffvalALTV	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rngchomffvalALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngchomffvalALTV.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
2		rngchomffvalALTV.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		rngchomffvalALTV.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	rngchomfvalALTV 45786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)))
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦))
7		ovex 7340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 RngHomo 𝑦) ∈ V
8	6, 7	fnmpoi 7942	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵)
9		fneq1 6555	. . . 4 ⊢ ((Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) → ((Hom ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵)))
10	8, 9	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ((Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) → (Hom ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵))
11		rngchomffvalALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Homf ‘𝐶)
12	11, 2, 4	fnhomeqhomf 17449	. . 3 ⊢ ((Hom ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵) → 𝐹 = (Hom ‘𝐶))
13	5, 10, 12	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Hom ‘𝐶))
14	13, 5	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   × cxp 5598   Fn wfn 6453  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ∈ cmpo 7309  Basecbs 16961  Hom chom 17022  Hom_f chomf 17424   RngHomo crngh 45687  RngCatALTVcrngcALTV 45760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-fz 13290  df-struct 16897  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-hom 17035  df-cco 17036  df-homf 17428  df-rngcALTV 45762

This theorem is referenced by:  rngchomrnghmresALTV  45798