Theorem rngchomffvalALTV 42842

Description: The value of the functionalized Hom-set operation in the category of non-unital rings (in a universe) in maps-to notation for an operation. (Contributed by AV, 1-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngchomffvalALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngchomffvalALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngchomffvalALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngchomffvalALTV.h	⊢ 𝐹 = (Homf ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rngchomffvalALTV	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rngchomffvalALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngchomffvalALTV.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
2		rngchomffvalALTV.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		rngchomffvalALTV.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	rngchomfvalALTV 42831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)))
6		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦))
7		ovex 6937	. . . . 5 ⊢ (𝑥 RngHomo 𝑦) ∈ V
8	6, 7	fnmpt2i 7502	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵)
9		fneq1 6212	. . . 4 ⊢ ((Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) → ((Hom ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵)))
10	8, 9	mpbiri 250	. . 3 ⊢ ((Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)) → (Hom ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵))
11		rngchomffvalALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Homf ‘𝐶)
12	11, 2, 4	fnhomeqhomf 16703	. . 3 ⊢ ((Hom ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵) → 𝐹 = (Hom ‘𝐶))
13	5, 10, 12	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Hom ‘𝐶))
14	13, 5	eqtrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 RngHomo 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   × cxp 5340   Fn wfn 6118  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↦ cmpt2 6907  Basecbs 16222  Hom chom 16316  Hom_f chomf 16679   RngHomo crngh 42732  RngCatALTVcrngcALTV 42805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-hom 16329  df-cco 16330  df-homf 16683  df-rngcALTV 42807

This theorem is referenced by:  rngchomrnghmresALTV  42843