Theorem cshword 14144

Description: Perform a cyclical shift for a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-May-2018.) (Revised by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cshword	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))

Proof of Theorem cshword

Dummy variables 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 13859	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉)
2		ffn 6487	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉 → 𝑊 Fn (0..^𝑙))
3	2	reximi 3206	. . . . 5 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙))
4	1, 3	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙))
5		fneq1 6414	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤 Fn (0..^𝑙) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
6	5	rexbidv 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
7	6	elabg 3614	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
8	4, 7	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)})
9		cshfn 14143	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)} ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
10	8, 9	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
11		iftrue 4431	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ∅)
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ∅)
13		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (∅ substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))
14		swrd0 14011	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = ∅)
16		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (∅ prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
17		pfx0 14028	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅)
19	15, 18	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (∅ ++ ∅))
20	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (∅ ++ ∅))
21		ccatidid 13935	. . . . 5 ⊢ (∅ ++ ∅) = ∅
22	20, 21	eqtr2di 2850	. . . 4 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ∅ = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
23	12, 22	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
24		iffalse 4434	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 = ∅ → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
25	24	adantr 484	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
26	23, 25	pm2.61ian 811	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
27	10, 26	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∃wrex 3107  ∅c0 4243  ifcif 4425  ⟨cop 4531   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232  ♯chash 13686  Word cword 13857   ++ cconcat 13913   substr csubstr 13993   prefix cpfx 14023   cyclShift ccsh 14141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142

This theorem is referenced by:  cshw0  14147  cshwmodn  14148  cshwcl  14151  cshwlen  14152  cshwidxmod  14156  repswcshw  14165  cshw1s2  30660