Theorem cshword 14756

Description: Perform a cyclical shift for a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-May-2018.) (Revised by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cshword	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))

Proof of Theorem cshword

Dummy variables 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14480	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉)
2		ffn 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉 → 𝑊 Fn (0..^𝑙))
3	2	reximi 3067	. . . . 5 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙))
4	1, 3	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙))
5		fneq1 6609	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤 Fn (0..^𝑙) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
6	5	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
7	6	elabg 3643	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
8	4, 7	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)})
9		cshfn 14755	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)} ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
10	8, 9	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
11		iftrue 4494	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ∅)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ∅)
13		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (∅ substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))
14		swrd0 14623	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = ∅)
16		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (∅ prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
17		pfx0 14640	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅)
19	15, 18	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (∅ ++ ∅))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (∅ ++ ∅))
21		ccatidid 14555	. . . . 5 ⊢ (∅ ++ ∅) = ∅
22	20, 21	eqtr2di 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ∅ = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
23	12, 22	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
24		iffalse 4497	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 = ∅ → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
26	23, 25	pm2.61ian 811	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
27	10, 26	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053  ∅c0 4296  ifcif 4488  ⟨cop 4595   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ..^cfzo 13615   mod cmo 13831  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535   substr csubstr 14605   prefix cpfx 14635   cyclShift ccsh 14753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-csh 14754

This theorem is referenced by:  cshw0  14759  cshwmodn  14760  cshwcl  14763  cshwlen  14764  cshwidxmod  14768  repswcshw  14777  cshw1s2  32882