Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshword 13910
 Description: Perform a cyclical shift for a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-May-2018.) (Revised by AV, 12-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
cshword ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))

Proof of Theorem cshword
Dummy variables 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 13576 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉)
2 ffn 6278 . . . . . 6 (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉𝑊 Fn (0..^𝑙))
32reximi 3219 . . . . 5 (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙))
41, 3sylbi 209 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙))
5 fneq1 6212 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤 Fn (0..^𝑙) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
65rexbidv 3262 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
76elabg 3569 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
84, 7mpbird 249 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)})
9 cshfn 13908 . . 3 ((𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)} ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
108, 9sylan 575 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
11 iftrue 4312 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ∅)
1211adantr 474 . . . 4 ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ∅)
13 oveq1 6912 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (∅ substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))
14 swrd0 13723 . . . . . . . 8 (∅ substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = ∅
1513, 14syl6eq 2877 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = ∅)
16 oveq1 6912 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (∅ prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
17 pfx0 13754 . . . . . . . 8 (∅ prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅
1816, 17syl6eq 2877 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅)
1915, 18oveq12d 6923 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (∅ ++ ∅))
2019adantr 474 . . . . 5 ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (∅ ++ ∅))
21 ccatidid 13650 . . . . 5 (∅ ++ ∅) = ∅
2220, 21syl6req 2878 . . . 4 ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → ∅ = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
2312, 22eqtrd 2861 . . 3 ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
24 iffalse 4315 . . . 4 𝑊 = ∅ → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
2524adantr 474 . . 3 ((¬ 𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
2623, 25pm2.61ian 846 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
2710, 26eqtrd 2861 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  {cab 2811  ∃wrex 3118  ∅c0 4144  ifcif 4306  ⟨cop 4403   Fn wfn 6118  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  ℕ0cn0 11618  ℤcz 11704  ..^cfzo 12760   mod cmo 12963  ♯chash 13410  Word cword 13574   ++ cconcat 13630   substr csubstr 13700   prefix cpfx 13749   cyclShift ccsh 13904 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-substr 13701  df-pfx 13750  df-csh 13906 This theorem is referenced by:  cshw0  13915  cshwmodn  13916  cshwcl  13919  cshwlen  13920  cshwidxmod  13924  repswcshw  13933
 Copyright terms: Public domain W3C validator