Theorem cshword 14801

Description: Perform a cyclical shift for a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-May-2018.) (Revised by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cshword	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))

Proof of Theorem cshword

Dummy variables 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14525	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉)
2		ffn 6687	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉 → 𝑊 Fn (0..^𝑙))
3	2	reximi 3099	. . . . 5 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑉 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙))
4	1, 3	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙))
5		fneq1 6608	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤 Fn (0..^𝑙) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
6	5	rexbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
7	6	elabg 3635	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊 Fn (0..^𝑙)))
8	4, 7	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)})
9		cshfn 14800	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 Fn (0..^𝑙)} ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
10	8, 9	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
11		iftrue 4485	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ∅)
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ∅)
13		oveq1 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (∅ substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))
14		swrd0 14669	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = ∅)
16		oveq1 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (∅ prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
17		pfx0 14686	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅)
19	15, 18	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (∅ ++ ∅))
20	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (∅ ++ ∅))
21		ccatidid 14601	. . . . 5 ⊢ (∅ ++ ∅) = ∅
22	20, 21	eqtr2di 2813	. . . 4 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ∅ = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
23	12, 22	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
24		iffalse 4488	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 = ∅ → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
25	24	adantr 484	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 = ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
26	23, 25	pm2.61ian 821	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑊 = ∅, ∅, ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
27	10, 26	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {cab 2739  ∃wrex 3085  ∅c0 4285  ifcif 4479  ⟨cop 4587   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ..^cfzo 13656   mod cmo 13876  ♯chash 14340  Word cword 14523   ++ cconcat 14580   substr csubstr 14651   prefix cpfx 14681   cyclShift ccsh 14798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-csh 14799

This theorem is referenced by:  cshw0  14804  cshwmodn  14805  cshwcl  14808  cshwlen  14809  cshwidxmod  14813  repswcshw  14822  cshw1s2  33099