Theorem mpomulnzcnf 37088

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. Version of mulnzcnf 11962 using maps-to notation, which does not require ax-mulf 11280. (Contributed by GG, 18-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpomulnzcnf	⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem mpomulnzcnf

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))
2		ovex 7453	. . 3 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8081	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))
4		oveq12 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
5		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑢 · 𝑣) ∈ V
6	4, 1, 5	ovmpoa 7575	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
7		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0))
8		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
9		mulcl 11284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
10	9	ad2ant2r 760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
11		mulne0 11958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ≠ 0)
12	10, 11	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
13	7, 8, 12	syl2anb 610	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
14		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
15	13, 14	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	6, 15	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17	16	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})
18		ffnov 7546	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ∧ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})))
19	3, 17, 18	mpbir2an 724	1 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896  {csn 4584   × cxp 5649   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℂcc 11198  0cc0 11200   · cmul 11205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by: (None)