Theorem mpomulnzcnf 36260

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. Version of mulnzcnf 11800 using maps-to notation, which does not require ax-mulf 11124. (Contributed by GG, 18-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpomulnzcnf	⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem mpomulnzcnf

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))
2		ovex 7402	. . 3 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8028	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))
4		oveq12 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
5		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑢 · 𝑣) ∈ V
6	4, 1, 5	ovmpoa 7524	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
7		eldifsn 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0))
8		eldifsn 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
9		mulcl 11128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
10	9	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
11		mulne0 11796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ≠ 0)
12	10, 11	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
13	7, 8, 12	syl2anb 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
14		eldifsn 4746	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
15	13, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	6, 15	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17	16	rgen2 3175	. 2 ⊢ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})
18		ffnov 7495	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ∧ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})))
19	3, 17, 18	mpbir2an 711	1 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908  {csn 4585   × cxp 5629   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  ℂcc 11042  0cc0 11044   · cmul 11049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by: (None)