Theorem mpomulnzcnf 37303

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. Version of mulnzcnf 12002 using maps-to notation, which does not require ax-mulf 11319. (Contributed by GG, 18-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpomulnzcnf	⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem mpomulnzcnf

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))
2		ovex 7484	. . 3 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8116	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))
4		oveq12 7460	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
5		ovex 7484	. . . . 5 ⊢ (𝑢 · 𝑣) ∈ V
6	4, 1, 5	ovmpoa 7607	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
7		eldifsn 4750	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0))
8		eldifsn 4750	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
9		mulcl 11323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
10	9	ad2ant2r 760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
11		mulne0 11998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ≠ 0)
12	10, 11	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
13	7, 8, 12	syl2anb 610	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
14		eldifsn 4750	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
15	13, 14	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	6, 15	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17	16	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})
18		ffnov 7577	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ∧ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})))
19	3, 17, 18	mpbir2an 724	1 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ∖ cdif 4048  {csn 4588   × cxp 5656   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  ℂcc 11237  0cc0 11239   · cmul 11244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by: (None)