Theorem mpomulnzcnf 36234

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. Version of mulnzcnf 11890 using maps-to notation, which does not require ax-mulf 11216. (Contributed by GG, 18-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpomulnzcnf	⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem mpomulnzcnf

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))
2		ovex 7445	. . 3 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8076	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))
4		oveq12 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
5		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑢 · 𝑣) ∈ V
6	4, 1, 5	ovmpoa 7569	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
7		eldifsn 4766	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0))
8		eldifsn 4766	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
9		mulcl 11220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
10	9	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
11		mulne0 11886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ≠ 0)
12	10, 11	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
13	7, 8, 12	syl2anb 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
14		eldifsn 4766	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
15	13, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	6, 15	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17	16	rgen2 3186	. 2 ⊢ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})
18		ffnov 7540	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ∧ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})))
19	3, 17, 18	mpbir2an 711	1 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050   ∖ cdif 3928  {csn 4606   × cxp 5663   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11134  0cc0 11136   · cmul 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476

This theorem is referenced by: (None)