MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvllmuli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvllmuli 11473
Description: Move LHS left multiplication to RHS. Uses divcan4i 11387. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mvllmuli.1 𝐴 ∈ ℂ
mvllmuli.2 𝐵 ∈ ℂ
mvllmuli.3 𝐴 ≠ 0
mvllmuli.4 (𝐴 · 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
mvllmuli 𝐵 = (𝐶 / 𝐴)

Proof of Theorem mvllmuli
StepHypRef Expression
1 mvllmuli.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
2 mvllmuli.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
3 mvllmuli.3 . . 3 𝐴 ≠ 0
41, 2, 3divcan4i 11387 . 2 ((𝐵 · 𝐴) / 𝐴) = 𝐵
5 mvllmuli.4 . . . 4 (𝐴 · 𝐵) = 𝐶
62, 1, 5mulcomli 10650 . . 3 (𝐵 · 𝐴) = 𝐶
76oveq1i 7161 . 2 ((𝐵 · 𝐴) / 𝐴) = (𝐶 / 𝐴)
84, 7eqtr3i 2849 1 𝐵 = (𝐶 / 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  (class class class)co 7151  cc 10535  0cc0 10537   · cmul 10542   / cdiv 11297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298
This theorem is referenced by:  sincos6thpi  25117  polid2i  28949  i2linesi  45259
  Copyright terms: Public domain W3C validator