Theorem mvllmuli 12052

Description: Move the left term in a product on the LHS to the RHS, inference form. Uses divcan4i 11966. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvllmuli.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mvllmuli.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
mvllmuli.3	⊢ 𝐴 ≠ 0
mvllmuli.4	⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
mvllmuli	⊢ 𝐵 = (𝐶 / 𝐴)

Proof of Theorem mvllmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvllmuli.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
2		mvllmuli.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		mvllmuli.3	. . 3 ⊢ 𝐴 ≠ 0
4	1, 2, 3	divcan4i 11966	. 2 ⊢ ((𝐵 · 𝐴) / 𝐴) = 𝐵
5		mvllmuli.4	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐶
6	2, 1, 5	mulcomli 11222	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = 𝐶
7	6	oveq1i 7420	. 2 ⊢ ((𝐵 · 𝐴) / 𝐴) = (𝐶 / 𝐴)
8	4, 7	eqtr3i 2788	1 ⊢ 𝐵 = (𝐶 / 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104   · cmul 11109   / cdiv 11875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876

This theorem is used by:  sincos6thpi  26690  polid2i  31518  goldracos5teq  47650  i2linesi  50584