Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuplesup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuplesup 42204
Description: An upper bound for the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuplesup.1 (𝜑𝐹𝑉)
limsuplesup.2 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsuplesup (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Proof of Theorem limsuplesup
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuplesup.1 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
2 eqid 2824 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32limsupval 14827 . . 3 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5 nfv 1916 . . 3 𝑘𝜑
6 inss2 4190 . . . . 5 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
87supxrcld 41602 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 limsuplesup.2 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
10 inss2 4190 . . . . 5 ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
1211supxrcld 41602 . . 3 (𝜑 → sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘[,)+∞) = (𝐾[,)+∞))
1413imaeq2d 5916 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
1514ineq1d 4172 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*))
1615supeq1d 8901 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
175, 8, 9, 12, 16infxrlbrnmpt2 41910 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
184, 17eqbrtrd 5074 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3918  wss 3919   class class class wbr 5052  cmpt 5132  ran crn 5543  cima 5545  cfv 6343  (class class class)co 7145  supcsup 8895  infcinf 8896  cr 10528  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  [,)cico 12733  lim supclsp 14823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-limsup 14824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator