Theorem limsuplesup 45885

Description: An upper bound for the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuplesup.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
limsuplesup.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsuplesup	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Proof of Theorem limsuplesup

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuplesup.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	limsupval 15395	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		inss2 4188	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
8	7	supxrcld 45293	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		limsuplesup.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		inss2 4188	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
12	11	supxrcld 45293	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘[,)+∞) = (𝐾[,)+∞))
14	13	imaeq2d 6017	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
15	14	ineq1d 4169	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*))
16	15	supeq1d 9347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
17	5, 8, 9, 12, 16	infxrlbrnmpt2 45596	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
18	4, 17	eqbrtrd 5118	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ran crn 5623   “ cima 5625  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  supcsup 9341  infcinf 9342  ℝcr 11023  +∞cpnf 11161  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  [,)cico 13261  lim supclsp 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-limsup 15392

This theorem is referenced by: (None)