Theorem limsuplesup 45000

Description: An upper bound for the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuplesup.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
limsuplesup.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsuplesup	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Proof of Theorem limsuplesup

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuplesup.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	limsupval 15436	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5		nfv 1910	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		inss2 4225	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
8	7	supxrcld 44386	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		limsuplesup.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		inss2 4225	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
12	11	supxrcld 44386	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘[,)+∞) = (𝐾[,)+∞))
14	13	imaeq2d 6057	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
15	14	ineq1d 4207	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*))
16	15	supeq1d 9455	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
17	5, 8, 9, 12, 16	infxrlbrnmpt2 44705	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
18	4, 17	eqbrtrd 5164	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   “ cima 5675  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  supcsup 9449  infcinf 9450  ℝcr 11123  +∞cpnf 11261  ℝ^*cxr 11263   < clt 11264   ≤ cle 11265  [,)cico 13344  lim supclsp 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-limsup 15433

This theorem is referenced by: (None)