Theorem iocssre 13159

Description: A closed-above interval with real upper bound is a set of reals. (Contributed by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iocssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iocssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioc2 13142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3927	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  (,]cioc 13080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ioc 13084

This theorem is referenced by:  iocmnfcld  23932  lhop1  25178  negpitopissre  25696  eff1o  25705  dvlog2lem  25807  iocopn  43058  limcicciooub  43178  limcresiooub  43183  fourierdlem19  43667  fourierdlem33  43681  fourierdlem37  43685  fourierdlem46  43693  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem51  43698  fourierdlem63  43710  fourierdlem79  43726  fourierdlem89  43736  fourierdlem90  43737  fourierdlem91  43738  fourierdlem93  43740  fouriersw  43772