MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eff1o 26482
Description: The exponential function maps the set ๐‘†, of complex numbers with imaginary part in the closed-above, open-below interval from -ฯ€ to ฯ€ one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eff1o.1 ๐‘† = (โ—กโ„‘ โ€œ (-ฯ€(,]ฯ€))
Assertion
Ref Expression
eff1o (exp โ†พ ๐‘†):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(โ„‚ โˆ– {0})

Proof of Theorem eff1o
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 26392 . . 3 ฯ€ โˆˆ โ„
21renegcli 11551 . 2 -ฯ€ โˆˆ โ„
3 eqid 2728 . . 3 (๐‘ค โˆˆ (-ฯ€(,]ฯ€) โ†ฆ (expโ€˜(i ยท ๐‘ค))) = (๐‘ค โˆˆ (-ฯ€(,]ฯ€) โ†ฆ (expโ€˜(i ยท ๐‘ค)))
4 eff1o.1 . . 3 ๐‘† = (โ—กโ„‘ โ€œ (-ฯ€(,]ฯ€))
5 rexr 11290 . . . 4 (-ฯ€ โˆˆ โ„ โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„*)
6 iocssre 13436 . . . 4 ((-ฯ€ โˆˆ โ„* โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€(,]ฯ€) โІ โ„)
75, 1, 6sylancl 585 . . 3 (-ฯ€ โˆˆ โ„ โ†’ (-ฯ€(,]ฯ€) โІ โ„)
8 picn 26393 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„‚
982timesi 12380 . . . . . . 7 (2 ยท ฯ€) = (ฯ€ + ฯ€)
109oveq2i 7431 . . . . . 6 (-ฯ€ + (2 ยท ฯ€)) = (-ฯ€ + (ฯ€ + ฯ€))
11 negpicn 26396 . . . . . . 7 -ฯ€ โˆˆ โ„‚
128, 8addcli 11250 . . . . . . 7 (ฯ€ + ฯ€) โˆˆ โ„‚
1311, 12addcomi 11435 . . . . . 6 (-ฯ€ + (ฯ€ + ฯ€)) = ((ฯ€ + ฯ€) + -ฯ€)
1412, 8negsubi 11568 . . . . . . 7 ((ฯ€ + ฯ€) + -ฯ€) = ((ฯ€ + ฯ€) โˆ’ ฯ€)
158, 8pncan3oi 11506 . . . . . . 7 ((ฯ€ + ฯ€) โˆ’ ฯ€) = ฯ€
1614, 15eqtri 2756 . . . . . 6 ((ฯ€ + ฯ€) + -ฯ€) = ฯ€
1710, 13, 163eqtrri 2761 . . . . 5 ฯ€ = (-ฯ€ + (2 ยท ฯ€))
1817oveq2i 7431 . . . 4 (-ฯ€(,]ฯ€) = (-ฯ€(,](-ฯ€ + (2 ยท ฯ€)))
1918efif1olem1 26475 . . 3 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (-ฯ€(,]ฯ€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (-ฯ€(,]ฯ€))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) < (2 ยท ฯ€))
2018efif1olem2 26476 . . 3 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (-ฯ€(,]ฯ€)((๐‘ง โˆ’ ๐‘ฆ) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
213, 4, 7, 19, 20eff1olem 26481 . 2 (-ฯ€ โˆˆ โ„ โ†’ (exp โ†พ ๐‘†):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(โ„‚ โˆ– {0}))
222, 21ax-mp 5 1 (exp โ†พ ๐‘†):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(โ„‚ โˆ– {0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โˆ– cdif 3944   โІ wss 3947  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5231  โ—กccnv 5677   โ†พ cres 5680   โ€œ cima 5681  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6547  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  ici 11140   + caddc 11141   ยท cmul 11143  โ„*cxr 11277   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475  2c2 12297  (,]cioc 13357  โ„‘cim 15077  expce 16037  ฯ€cpi 16042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795
This theorem is referenced by:  logrn  26491  eff1o2  26496
  Copyright terms: Public domain W3C validator