MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eff1o 24637
Description: The exponential function maps the set 𝑆, of complex numbers with imaginary part in the closed-above, open-below interval from to π one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eff1o.1 𝑆 = (ℑ “ (-π(,]π))
Assertion
Ref Expression
eff1o (exp ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto→(ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem eff1o
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 24552 . . 3 π ∈ ℝ
21renegcli 10634 . 2 -π ∈ ℝ
3 eqid 2799 . . 3 (𝑤 ∈ (-π(,]π) ↦ (exp‘(i · 𝑤))) = (𝑤 ∈ (-π(,]π) ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
4 eff1o.1 . . 3 𝑆 = (ℑ “ (-π(,]π))
5 rexr 10374 . . . 4 (-π ∈ ℝ → -π ∈ ℝ*)
6 iocssre 12502 . . . 4 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (-π(,]π) ⊆ ℝ)
75, 1, 6sylancl 581 . . 3 (-π ∈ ℝ → (-π(,]π) ⊆ ℝ)
8 picn 24553 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
982timesi 11458 . . . . . . 7 (2 · π) = (π + π)
109oveq2i 6889 . . . . . 6 (-π + (2 · π)) = (-π + (π + π))
11 negpicn 24556 . . . . . . 7 -π ∈ ℂ
128, 8addcli 10335 . . . . . . 7 (π + π) ∈ ℂ
1311, 12addcomi 10517 . . . . . 6 (-π + (π + π)) = ((π + π) + -π)
1412, 8negsubi 10651 . . . . . . 7 ((π + π) + -π) = ((π + π) − π)
158, 8pncan3oi 10589 . . . . . . 7 ((π + π) − π) = π
1614, 15eqtri 2821 . . . . . 6 ((π + π) + -π) = π
1710, 13, 163eqtrri 2826 . . . . 5 π = (-π + (2 · π))
1817oveq2i 6889 . . . 4 (-π(,]π) = (-π(,](-π + (2 · π)))
1918efif1olem1 24630 . . 3 ((-π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝑦 ∈ (-π(,]π))) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
2018efif1olem2 24631 . . 3 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (-π(,]π)((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
213, 4, 7, 19, 20eff1olem 24636 . 2 (-π ∈ ℝ → (exp ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto→(ℂ ∖ {0}))
222, 21ax-mp 5 1 (exp ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto→(ℂ ∖ {0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  cdif 3766  wss 3769  {csn 4368  cmpt 4922  ccnv 5311  cres 5314  cima 5315  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  ici 10226   + caddc 10227   · cmul 10229  *cxr 10362  cmin 10556  -cneg 10557  2c2 11368  (,]cioc 12425  cim 14179  expce 15128  πcpi 15133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-sin 15136  df-cos 15137  df-pi 15139  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cncf 23009  df-limc 23971  df-dv 23972
This theorem is referenced by:  logrn  24646  eff1o2  24651
  Copyright terms: Public domain W3C validator