Theorem iooshf 12809

Description: Shift the arguments of the open interval function. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iooshf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))

Proof of Theorem iooshf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddsub 11108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
2	1	3com13 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
3	2	3expa 1114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
4	3	adantrr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
5		ltsubadd 11104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐷 ↔ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵)))
6	5	bicomd 225	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
7	6	3expa 1114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
8	7	adantrl 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
9	4, 8	anbi12d 632	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵)) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
10		readdcl 10614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10685	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
12	11	ad2ant2rl 747	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
13		readdcl 10614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 10685	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
15	14	ad2ant2l 744	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
16		rexr 10681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	16	ad2antrl 726	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18		elioo5 12788	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
19	12, 15, 17, 18	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
20	19	ancoms 461	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
21		rexr 10681	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
22	21	ad2antrl 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23		rexr 10681	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℝ*)
24	23	ad2antll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
25		resubcl 10944	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
26	25	rexrd 10685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
27	26	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
28		elioo5 12788	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
30	9, 20, 29	3bitr4rd 314	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530   + caddc 10534  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   − cmin 10864  (,)cioo 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-ioo 12736

This theorem is referenced by:  sinq34lt0t  25089