Theorem iooshf 13436

Description: Shift the arguments of the open interval function. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iooshf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))

Proof of Theorem iooshf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddsub 11719	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
2	1	3com13 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
3	2	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
4	3	adantrr 716	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
5		ltsubadd 11715	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐷 ↔ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵)))
6	5	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
7	6	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
8	7	adantrl 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
9	4, 8	anbi12d 631	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵)) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
10		readdcl 11222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11295	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
12	11	ad2ant2rl 748	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
13		readdcl 11222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11295	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
15	14	ad2ant2l 745	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
16		rexr 11291	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	16	ad2antrl 727	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18		elioo5 13414	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
19	12, 15, 17, 18	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
20	19	ancoms 458	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
21		rexr 11291	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
22	21	ad2antrl 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23		rexr 11291	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℝ*)
24	23	ad2antll 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
25		resubcl 11555	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
26	25	rexrd 11295	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
28		elioo5 13414	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
30	9, 20, 29	3bitr4rd 312	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℝcr 11138   + caddc 11142  ℝ^*cxr 11278   < clt 11279   − cmin 11475  (,)cioo 13357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-ioo 13361

This theorem is referenced by:  sinq34lt0t  26457