Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem37 44471
Description: ๐ผ is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem37.p ๐‘ƒ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘š)) โˆฃ (((๐‘โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘โ€˜๐‘š) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘š)(๐‘โ€˜๐‘–) < (๐‘โ€˜(๐‘– + 1)))})
fourierdlem37.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
fourierdlem37.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€))
fourierdlem37.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem37.e ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
fourierdlem37.l ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ))
fourierdlem37.i ๐ผ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem37 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ:โ„โŸถ(0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š,๐‘   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘š,๐‘   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘–,๐ธ   ๐‘ฆ,๐ธ   ๐‘–,๐ฟ   ๐‘–,๐‘€,๐‘š,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘–   ๐‘„,๐‘–,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐œ‘,๐‘–,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘š,๐‘)   ๐ด(๐‘–)   ๐ต(๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘)   ๐‘„(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘š)   ๐‘‡(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘)   ๐ฟ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘š,๐‘)   ๐‘€(๐‘ฆ)

Proof of Theorem fourierdlem37
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4038 . . . 4 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† (0..^๐‘€)
2 ltso 11240 . . . . . 6 < Or โ„
32a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ < Or โ„)
4 fzfi 13883 . . . . . . 7 (0...๐‘€) โˆˆ Fin
5 fzossfz 13597 . . . . . . . 8 (0..^๐‘€) โŠ† (0...๐‘€)
61, 5sstri 3954 . . . . . . 7 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† (0...๐‘€)
7 ssfi 9120 . . . . . . 7 (((0...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† (0...๐‘€)) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin)
84, 6, 7mp2an 691 . . . . . 6 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin)
10 0zd 12516 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
11 fourierdlem37.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12531 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1311nngt0d 12207 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
14 fzolb 13584 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ (0..^๐‘€) โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘€))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0..^๐‘€))
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ (0..^๐‘€))
17 fourierdlem37.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€))
18 fourierdlem37.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘ƒ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘š)) โˆฃ (((๐‘โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘โ€˜๐‘š) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘š)(๐‘โ€˜๐‘–) < (๐‘โ€˜(๐‘– + 1)))})
1918fourierdlem2 44436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘„ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1))))))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘„ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1))))))
2117, 20mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1)))))
2221simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1))))
2322simplld 767 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜0) = ๐ด)
2418, 11, 17fourierdlem11 44445 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต))
2524simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2623, 25eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜0) โˆˆ โ„)
2726, 23eqled 11263 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค ๐ด)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค ๐ด)
29 iftrue 4493 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) = ๐ด)
3029eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ ๐ด = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ ๐ด = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
3228, 31breqtrd 5132 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
3326adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โˆˆ โ„)
3425adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3534rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3624simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
38 iocssre 13350 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด(,]๐ต) โŠ† โ„)
3935, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด(,]๐ต) โŠ† โ„)
4024simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
41 fourierdlem37.t . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
42 fourierdlem37.e . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
4325, 36, 40, 41, 42fourierdlem4 44438 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ:โ„โŸถ(๐ด(,]๐ต))
4443ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
4539, 44sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4623adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) = ๐ด)
47 elioc2 13333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†” ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐ต)))
4835, 37, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†” ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐ต)))
4944, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐ต))
5049simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5146, 50eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) < (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5233, 45, 51ltled 11308 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5352adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
54 iffalse 4496 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5554eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
5655adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
5753, 56breqtrd 5132 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
5832, 57pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
59 fourierdlem37.l . . . . . . . . . 10 ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ)))
61 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ = ๐ต โ†” (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต))
62 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
6361, 62ifbieq2d 4513 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
6463adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
6534, 45ifcld 4533 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
6660, 64, 44, 65fvmptd 6956 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ)) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
6758, 66breqtrrd 5134 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
68 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 0 โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘–) = (๐‘„โ€˜0))
6968breq1d 5116 . . . . . . . 8 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))))
7069elrab 3646 . . . . . . 7 (0 โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โ†” (0 โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))))
7116, 67, 70sylanbrc 584 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})
7271ne0d 4296 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โ‰  โˆ…)
73 fzssz 13449 . . . . . . . . 9 (0...๐‘€) โŠ† โ„ค
745, 73sstri 3954 . . . . . . . 8 (0..^๐‘€) โŠ† โ„ค
75 zssre 12511 . . . . . . . 8 โ„ค โŠ† โ„
7674, 75sstri 3954 . . . . . . 7 (0..^๐‘€) โŠ† โ„
771, 76sstri 3954 . . . . . 6 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† โ„
7877a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† โ„)
79 fisupcl 9410 . . . . 5 (( < Or โ„ โˆง ({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin โˆง {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โ‰  โˆ… โˆง {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† โ„)) โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})
803, 9, 72, 78, 79syl13anc 1373 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})
811, 80sselid 3943 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ (0..^๐‘€))
82 fourierdlem37.i . . 3 ๐ผ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ))
8381, 82fmptd 7063 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ:โ„โŸถ(0..^๐‘€))
8480ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}))
8583, 84jca 513 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ:โ„โŸถ(0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3406   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  ifcif 4487   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   Or wor 5545  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ†‘m cmap 8768  Fincfn 8886  supcsup 9381  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„*cxr 11193   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„คcz 12504  (,]cioc 13271  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  โŒŠcfl 13701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ioc 13275  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  44512  fourierdlem89  44522  fourierdlem90  44523  fourierdlem91  44524
  Copyright terms: Public domain W3C validator