Theorem fourierdlem37 46601

Description: 𝐼 is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem37.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem37.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem37.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem37.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem37.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem37.l	⊢ 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem37.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem37	⊢ (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑦   𝑖,𝐸   𝑦,𝐸   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑝   𝑥,𝑇   𝜑,𝑖,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑇(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem fourierdlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4014	. . . 4 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ (0..^𝑀)
2		ltso 11221	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ)
4		fzfi 13929	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝑀) ∈ Fin
5		fzossfz 13628	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
6	1, 5	sstri 3926	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ (0...𝑀)
7		ssfi 9101	. . . . . . 7 ⊢ (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ (0...𝑀)) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin)
8	4, 6, 7	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin)
10		0zd 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
11		fourierdlem37.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	11	nngt0d 12221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
14		fzolb 13615	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
16	15	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ (0..^𝑀))
17		fourierdlem37.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
18		fourierdlem37.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
19	18	fourierdlem2 46566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
21	17, 20	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
22	21	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
23	22	simplld 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
24	18, 11, 17	fourierdlem11 46575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
25	24	simp1d 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
26	23, 25	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
27	26, 23	eqled 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
28	27	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
29		iftrue 4463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑥) = 𝐵 → if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)) = 𝐴)
30	29	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑥) = 𝐵 → 𝐴 = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
31	30	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → 𝐴 = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
32	28, 31	breqtrd 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
33	26	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
34	25	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34	rexrd 11190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
36	24	simp2d 1150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
38		iocssre 13375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	35, 37, 38	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
40	24	simp3d 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
41		fourierdlem37.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
42		fourierdlem37.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
43	25, 36, 40, 41, 42	fourierdlem4 46568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
44	43	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸‘𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵))
45	39, 44	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸‘𝑥) ∈ ℝ)
46	23	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) = 𝐴)
47		elioc2 13357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐸‘𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸‘𝑥) ∧ (𝐸‘𝑥) ≤ 𝐵)))
48	35, 37, 47	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸‘𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸‘𝑥) ∧ (𝐸‘𝑥) ≤ 𝐵)))
49	44, 48	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸‘𝑥) ∧ (𝐸‘𝑥) ≤ 𝐵))
50	49	simp2d 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐸‘𝑥))
51	46, 50	eqbrtrd 5097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) < (𝐸‘𝑥))
52	33, 45, 51	ltled 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸‘𝑥))
53	52	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸‘𝑥))
54		iffalse 4466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵 → if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)) = (𝐸‘𝑥))
55	54	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵 → (𝐸‘𝑥) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
56	55	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝐸‘𝑥) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
57	53, 56	breqtrd 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
58	32, 57	pm2.61dan 819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
59		fourierdlem37.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦)))
61		eqeq1 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑥) → (𝑦 = 𝐵 ↔ (𝐸‘𝑥) = 𝐵))
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑥) → 𝑦 = (𝐸‘𝑥))
63	61, 62	ifbieq2d 4484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑥) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
64	63	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 = (𝐸‘𝑥)) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
65	34, 45	ifcld 4504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)) ∈ ℝ)
66	60, 64, 44, 65	fvmptd 6947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐿‘(𝐸‘𝑥)) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
67	58, 66	breqtrrd 5103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥)))
68		fveq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0))
69	68	breq1d 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥)) ↔ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))))
70	69	elrab 3631	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))))
71	16, 67, 70	sylanbrc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})
72	71	ne0d 4273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ≠ ∅)
73		fzssz 13475	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℤ
74	5, 73	sstri 3926	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℤ
75		zssre 12526	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
76	74, 75	sstri 3926	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℝ
77	1, 76	sstri 3926	. . . . . 6 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ ℝ)
79		fisupcl 9377	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ≠ ∅ ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})
80	3, 9, 72, 78, 79	syl13anc 1381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})
81	1, 80	sselid 3915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
82		fourierdlem37.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
83	81, 82	fmptd 7059	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
84	80	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}))
85	83, 84	jca 517	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  {crab 3393   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  ifcif 4457   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156   Or wor 5528  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  supcsup 9347  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  ℤcz 12519  (,]cioc 13294  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603  ⌊cfl 13744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ioc 13298  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  46642  fourierdlem89  46652  fourierdlem90  46653  fourierdlem91  46654