Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem37 44860
Description: ๐ผ is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem37.p ๐‘ƒ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘š)) โˆฃ (((๐‘โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘โ€˜๐‘š) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘š)(๐‘โ€˜๐‘–) < (๐‘โ€˜(๐‘– + 1)))})
fourierdlem37.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
fourierdlem37.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€))
fourierdlem37.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem37.e ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
fourierdlem37.l ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ))
fourierdlem37.i ๐ผ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem37 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ:โ„โŸถ(0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š,๐‘   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘š,๐‘   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘–,๐ธ   ๐‘ฆ,๐ธ   ๐‘–,๐ฟ   ๐‘–,๐‘€,๐‘š,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘–   ๐‘„,๐‘–,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐œ‘,๐‘–,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘š,๐‘)   ๐ด(๐‘–)   ๐ต(๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘)   ๐‘„(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘š)   ๐‘‡(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘)   ๐ฟ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘š,๐‘)   ๐‘€(๐‘ฆ)

Proof of Theorem fourierdlem37
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4078 . . . 4 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† (0..^๐‘€)
2 ltso 11294 . . . . . 6 < Or โ„
32a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ < Or โ„)
4 fzfi 13937 . . . . . . 7 (0...๐‘€) โˆˆ Fin
5 fzossfz 13651 . . . . . . . 8 (0..^๐‘€) โŠ† (0...๐‘€)
61, 5sstri 3992 . . . . . . 7 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† (0...๐‘€)
7 ssfi 9173 . . . . . . 7 (((0...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† (0...๐‘€)) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin)
84, 6, 7mp2an 691 . . . . . 6 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin)
10 0zd 12570 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
11 fourierdlem37.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1311nngt0d 12261 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
14 fzolb 13638 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ (0..^๐‘€) โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘€))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0..^๐‘€))
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ (0..^๐‘€))
17 fourierdlem37.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€))
18 fourierdlem37.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘ƒ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘š)) โˆฃ (((๐‘โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘โ€˜๐‘š) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘š)(๐‘โ€˜๐‘–) < (๐‘โ€˜(๐‘– + 1)))})
1918fourierdlem2 44825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘„ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1))))))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘„ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1))))))
2117, 20mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1)))))
2221simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1))))
2322simplld 767 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜0) = ๐ด)
2418, 11, 17fourierdlem11 44834 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต))
2524simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2623, 25eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜0) โˆˆ โ„)
2726, 23eqled 11317 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค ๐ด)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค ๐ด)
29 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) = ๐ด)
3029eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ ๐ด = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ ๐ด = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
3228, 31breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
3326adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โˆˆ โ„)
3425adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3534rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3624simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
38 iocssre 13404 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด(,]๐ต) โŠ† โ„)
3935, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด(,]๐ต) โŠ† โ„)
4024simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
41 fourierdlem37.t . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
42 fourierdlem37.e . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
4325, 36, 40, 41, 42fourierdlem4 44827 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ:โ„โŸถ(๐ด(,]๐ต))
4443ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
4539, 44sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4623adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) = ๐ด)
47 elioc2 13387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†” ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐ต)))
4835, 37, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†” ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐ต)))
4944, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐ต))
5049simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5146, 50eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) < (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5233, 45, 51ltled 11362 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5352adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
54 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5554eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
5655adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
5753, 56breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
5832, 57pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
59 fourierdlem37.l . . . . . . . . . 10 ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ)))
61 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ = ๐ต โ†” (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต))
62 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
6361, 62ifbieq2d 4555 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
6463adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
6534, 45ifcld 4575 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
6660, 64, 44, 65fvmptd 7006 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ)) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
6758, 66breqtrrd 5177 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
68 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 0 โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘–) = (๐‘„โ€˜0))
6968breq1d 5159 . . . . . . . 8 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))))
7069elrab 3684 . . . . . . 7 (0 โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โ†” (0 โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))))
7116, 67, 70sylanbrc 584 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})
7271ne0d 4336 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โ‰  โˆ…)
73 fzssz 13503 . . . . . . . . 9 (0...๐‘€) โŠ† โ„ค
745, 73sstri 3992 . . . . . . . 8 (0..^๐‘€) โŠ† โ„ค
75 zssre 12565 . . . . . . . 8 โ„ค โŠ† โ„
7674, 75sstri 3992 . . . . . . 7 (0..^๐‘€) โŠ† โ„
771, 76sstri 3992 . . . . . 6 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† โ„
7877a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† โ„)
79 fisupcl 9464 . . . . 5 (( < Or โ„ โˆง ({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin โˆง {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โ‰  โˆ… โˆง {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โŠ† โ„)) โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})
803, 9, 72, 78, 79syl13anc 1373 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})
811, 80sselid 3981 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ (0..^๐‘€))
82 fourierdlem37.i . . 3 ๐ผ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ))
8381, 82fmptd 7114 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ:โ„โŸถ(0..^๐‘€))
8480ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}))
8583, 84jca 513 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ:โ„โŸถ(0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  {crab 3433   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   Or wor 5588  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820  Fincfn 8939  supcsup 9435  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  (,]cioc 13325  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  โŒŠcfl 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ioc 13329  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  44901  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913
  Copyright terms: Public domain W3C validator