Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem37 43227
Description: 𝐼 is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem37.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem37.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem37.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem37.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem37.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem37.l 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem37.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem37 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑦   𝑖,𝐸   𝑦,𝐸   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑝   𝑥,𝑇   𝜑,𝑖,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑇(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem fourierdlem37
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3969 . . . 4 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ (0..^𝑀)
2 ltso 10799 . . . . . 6 < Or ℝ
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ)
4 fzfi 13431 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ Fin
5 fzossfz 13147 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
61, 5sstri 3886 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ (0...𝑀)
7 ssfi 8772 . . . . . . 7 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ (0...𝑀)) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ∈ Fin)
84, 6, 7mp2an 692 . . . . . 6 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ∈ Fin)
10 0zd 12074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
11 fourierdlem37.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12167 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1311nngt0d 11765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑀)
14 fzolb 13135 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
1615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ (0..^𝑀))
17 fourierdlem37.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
18 fourierdlem37.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
1918fourierdlem2 43192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2117, 20mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2221simprd 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2322simplld 768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
2418, 11, 17fourierdlem11 43201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
2524simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2623, 25eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
2726, 23eqled 10821 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
2827ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
29 iftrue 4420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑥) = 𝐵 → if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)) = 𝐴)
3029eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑥) = 𝐵𝐴 = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
3130adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸𝑥) = 𝐵) → 𝐴 = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
3228, 31breqtrd 5056 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
3326adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
3425adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3534rexrd 10769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3624simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3736adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
38 iocssre 12901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3935, 37, 38syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
4024simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 < 𝐵)
41 fourierdlem37.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (𝐵𝐴)
42 fourierdlem37.e . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
4325, 36, 40, 41, 42fourierdlem4 43194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
4443ffvelrnda 6861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵))
4539, 44sseldd 3878 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸𝑥) ∈ ℝ)
4623adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) = 𝐴)
47 elioc2 12884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐸𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸𝑥) ∧ (𝐸𝑥) ≤ 𝐵)))
4835, 37, 47syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸𝑥) ∧ (𝐸𝑥) ≤ 𝐵)))
4944, 48mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸𝑥) ∧ (𝐸𝑥) ≤ 𝐵))
5049simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐸𝑥))
5146, 50eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) < (𝐸𝑥))
5233, 45, 51ltled 10866 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸𝑥))
5352adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸𝑥))
54 iffalse 4423 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐸𝑥) = 𝐵 → if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)) = (𝐸𝑥))
5554eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐸𝑥) = 𝐵 → (𝐸𝑥) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
5655adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝐸𝑥) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
5753, 56breqtrd 5056 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
5832, 57pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
59 fourierdlem37.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦)))
61 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐸𝑥) → (𝑦 = 𝐵 ↔ (𝐸𝑥) = 𝐵))
62 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐸𝑥) → 𝑦 = (𝐸𝑥))
6361, 62ifbieq2d 4440 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐸𝑥) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
6463adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 = (𝐸𝑥)) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
6534, 45ifcld 4460 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)) ∈ ℝ)
6660, 64, 44, 65fvmptd 6782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐿‘(𝐸𝑥)) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
6758, 66breqtrrd 5058 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥)))
68 fveq2 6674 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
6968breq1d 5040 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥)) ↔ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))))
7069elrab 3588 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))))
7116, 67, 70sylanbrc 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})
7271ne0d 4224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ≠ ∅)
73 fzssz 13000 . . . . . . . . 9 (0...𝑀) ⊆ ℤ
745, 73sstri 3886 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
75 zssre 12069 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
7674, 75sstri 3886 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
771, 76sstri 3886 . . . . . 6 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ ℝ
7877a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ ℝ)
79 fisupcl 9006 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ≠ ∅ ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})
803, 9, 72, 78, 79syl13anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})
811, 80sseldi 3875 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
82 fourierdlem37.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
8381, 82fmptd 6888 . 2 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
8480ex 416 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}))
8583, 84jca 515 1 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  {crab 3057  wss 3843  c0 4211  ifcif 4414   class class class wbr 5030  cmpt 5110   Or wor 5441  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Fincfn 8555  supcsup 8977  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948   / cdiv 11375  cn 11716  cz 12062  (,]cioc 12822  ...cfz 12981  ..^cfzo 13124  cfl 13251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-ioc 12826  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  43268  fourierdlem89  43278  fourierdlem90  43279  fourierdlem91  43280
  Copyright terms: Public domain W3C validator