Theorem fourierdlem37 46135

Description: 𝐼 is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem37.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem37.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem37.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem37.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem37.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem37.l	⊢ 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem37.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem37	⊢ (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑦   𝑖,𝐸   𝑦,𝐸   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑝   𝑥,𝑇   𝜑,𝑖,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑇(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem fourierdlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4045	. . . 4 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ (0..^𝑀)
2		ltso 11260	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ)
4		fzfi 13943	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝑀) ∈ Fin
5		fzossfz 13645	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
6	1, 5	sstri 3958	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ (0...𝑀)
7		ssfi 9142	. . . . . . 7 ⊢ (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ (0...𝑀)) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin)
8	4, 6, 7	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin)
10		0zd 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
11		fourierdlem37.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	11	nngt0d 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
14		fzolb 13632	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ (0..^𝑀))
17		fourierdlem37.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
18		fourierdlem37.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
19	18	fourierdlem2 46100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
21	17, 20	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
22	21	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
23	22	simplld 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
24	18, 11, 17	fourierdlem11 46109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
25	24	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
26	23, 25	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
27	26, 23	eqled 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
29		iftrue 4496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑥) = 𝐵 → if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)) = 𝐴)
30	29	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑥) = 𝐵 → 𝐴 = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → 𝐴 = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
32	28, 31	breqtrd 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
33	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
34	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34	rexrd 11230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
36	24	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
38		iocssre 13394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	35, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
40	24	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
41		fourierdlem37.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
42		fourierdlem37.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
43	25, 36, 40, 41, 42	fourierdlem4 46102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
44	43	ffvelcdmda 7058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸‘𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵))
45	39, 44	sseldd 3949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸‘𝑥) ∈ ℝ)
46	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) = 𝐴)
47		elioc2 13376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐸‘𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸‘𝑥) ∧ (𝐸‘𝑥) ≤ 𝐵)))
48	35, 37, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸‘𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸‘𝑥) ∧ (𝐸‘𝑥) ≤ 𝐵)))
49	44, 48	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸‘𝑥) ∧ (𝐸‘𝑥) ≤ 𝐵))
50	49	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐸‘𝑥))
51	46, 50	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) < (𝐸‘𝑥))
52	33, 45, 51	ltled 11328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸‘𝑥))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸‘𝑥))
54		iffalse 4499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵 → if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)) = (𝐸‘𝑥))
55	54	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵 → (𝐸‘𝑥) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝐸‘𝑥) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
57	53, 56	breqtrd 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
58	32, 57	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
59		fourierdlem37.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦)))
61		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑥) → (𝑦 = 𝐵 ↔ (𝐸‘𝑥) = 𝐵))
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑥) → 𝑦 = (𝐸‘𝑥))
63	61, 62	ifbieq2d 4517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑥) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 = (𝐸‘𝑥)) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
65	34, 45	ifcld 4537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)) ∈ ℝ)
66	60, 64, 44, 65	fvmptd 6977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐿‘(𝐸‘𝑥)) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
67	58, 66	breqtrrd 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥)))
68		fveq2 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0))
69	68	breq1d 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥)) ↔ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))))
70	69	elrab 3661	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))))
71	16, 67, 70	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})
72	71	ne0d 4307	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ≠ ∅)
73		fzssz 13493	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℤ
74	5, 73	sstri 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℤ
75		zssre 12542	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
76	74, 75	sstri 3958	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℝ
77	1, 76	sstri 3958	. . . . . 6 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ ℝ)
79		fisupcl 9427	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ≠ ∅ ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})
80	3, 9, 72, 78, 79	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})
81	1, 80	sselid 3946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
82		fourierdlem37.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
83	81, 82	fmptd 7088	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
84	80	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}))
85	83, 84	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {crab 3408   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190   Or wor 5547  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ↑_m cmap 8801  Fincfn 8920  supcsup 9397  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079  ℝ^*cxr 11213   < clt 11214   ≤ cle 11215   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12187  ℤcz 12535  (,]cioc 13313  ...cfz 13474  ..^cfzo 13621  ⌊cfl 13758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-ioc 13317  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  46176  fourierdlem89  46186  fourierdlem90  46187  fourierdlem91  46188