Theorem fourierdlem37 46115

Description: 𝐼 is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem37.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem37.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem37.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem37.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem37.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem37.l	⊢ 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem37.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem37	⊢ (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑦   𝑖,𝐸   𝑦,𝐸   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑝   𝑥,𝑇   𝜑,𝑖,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑇(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem fourierdlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4039	. . . 4 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ (0..^𝑀)
2		ltso 11230	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ)
4		fzfi 13913	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝑀) ∈ Fin
5		fzossfz 13615	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
6	1, 5	sstri 3953	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ (0...𝑀)
7		ssfi 9114	. . . . . . 7 ⊢ (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ (0...𝑀)) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin)
8	4, 6, 7	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin)
10		0zd 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
11		fourierdlem37.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	11	nngt0d 12211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
14		fzolb 13602	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ (0..^𝑀))
17		fourierdlem37.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
18		fourierdlem37.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
19	18	fourierdlem2 46080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
21	17, 20	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
22	21	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
23	22	simplld 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
24	18, 11, 17	fourierdlem11 46089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
25	24	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
26	23, 25	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
27	26, 23	eqled 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
29		iftrue 4490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑥) = 𝐵 → if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)) = 𝐴)
30	29	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑥) = 𝐵 → 𝐴 = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → 𝐴 = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
32	28, 31	breqtrd 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
33	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
34	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
36	24	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
38		iocssre 13364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	35, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
40	24	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
41		fourierdlem37.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
42		fourierdlem37.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
43	25, 36, 40, 41, 42	fourierdlem4 46082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
44	43	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸‘𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵))
45	39, 44	sseldd 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸‘𝑥) ∈ ℝ)
46	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) = 𝐴)
47		elioc2 13346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐸‘𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸‘𝑥) ∧ (𝐸‘𝑥) ≤ 𝐵)))
48	35, 37, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸‘𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸‘𝑥) ∧ (𝐸‘𝑥) ≤ 𝐵)))
49	44, 48	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸‘𝑥) ∧ (𝐸‘𝑥) ≤ 𝐵))
50	49	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐸‘𝑥))
51	46, 50	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) < (𝐸‘𝑥))
52	33, 45, 51	ltled 11298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸‘𝑥))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸‘𝑥))
54		iffalse 4493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵 → if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)) = (𝐸‘𝑥))
55	54	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵 → (𝐸‘𝑥) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝐸‘𝑥) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
57	53, 56	breqtrd 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸‘𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
58	32, 57	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
59		fourierdlem37.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦)))
61		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑥) → (𝑦 = 𝐵 ↔ (𝐸‘𝑥) = 𝐵))
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑥) → 𝑦 = (𝐸‘𝑥))
63	61, 62	ifbieq2d 4511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑥) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 = (𝐸‘𝑥)) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
65	34, 45	ifcld 4531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)) ∈ ℝ)
66	60, 64, 44, 65	fvmptd 6957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐿‘(𝐸‘𝑥)) = if((𝐸‘𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸‘𝑥)))
67	58, 66	breqtrrd 5130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥)))
68		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0))
69	68	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥)) ↔ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))))
70	69	elrab 3656	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))))
71	16, 67, 70	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})
72	71	ne0d 4301	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ≠ ∅)
73		fzssz 13463	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℤ
74	5, 73	sstri 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℤ
75		zssre 12512	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
76	74, 75	sstri 3953	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℝ
77	1, 76	sstri 3953	. . . . . 6 ⊢ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ ℝ)
79		fisupcl 9397	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ≠ ∅ ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})
80	3, 9, 72, 78, 79	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})
81	1, 80	sselid 3941	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
82		fourierdlem37.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
83	81, 82	fmptd 7068	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
84	80	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}))
85	83, 84	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸‘𝑥))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   Or wor 5538  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  supcsup 9367  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℤcz 12505  (,]cioc 13283  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  ⌊cfl 13728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ioc 13287  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  46156  fourierdlem89  46166  fourierdlem90  46167  fourierdlem91  46168