Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem37 44375
Description: 𝐼 is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem37.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem37.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem37.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem37.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem37.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem37.l 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem37.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem37 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑦   𝑖,𝐸   𝑦,𝐸   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑝   𝑥,𝑇   𝜑,𝑖,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑇(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem fourierdlem37
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4037 . . . 4 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ (0..^𝑀)
2 ltso 11235 . . . . . 6 < Or ℝ
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ)
4 fzfi 13877 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ Fin
5 fzossfz 13591 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
61, 5sstri 3953 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ (0...𝑀)
7 ssfi 9117 . . . . . . 7 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ (0...𝑀)) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ∈ Fin)
84, 6, 7mp2an 690 . . . . . 6 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ∈ Fin)
10 0zd 12511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
11 fourierdlem37.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12526 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1311nngt0d 12202 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑀)
14 fzolb 13578 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ (0..^𝑀))
17 fourierdlem37.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
18 fourierdlem37.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
1918fourierdlem2 44340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2117, 20mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2221simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2322simplld 766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
2418, 11, 17fourierdlem11 44349 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
2524simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2623, 25eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
2726, 23eqled 11258 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
29 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑥) = 𝐵 → if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)) = 𝐴)
3029eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑥) = 𝐵𝐴 = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
3130adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸𝑥) = 𝐵) → 𝐴 = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
3228, 31breqtrd 5131 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
3326adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
3425adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3534rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3624simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
38 iocssre 13344 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3935, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
4024simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 < 𝐵)
41 fourierdlem37.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (𝐵𝐴)
42 fourierdlem37.e . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
4325, 36, 40, 41, 42fourierdlem4 44342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
4443ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵))
4539, 44sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸𝑥) ∈ ℝ)
4623adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) = 𝐴)
47 elioc2 13327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐸𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸𝑥) ∧ (𝐸𝑥) ≤ 𝐵)))
4835, 37, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐸𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸𝑥) ∧ (𝐸𝑥) ≤ 𝐵)))
4944, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐸𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐸𝑥) ∧ (𝐸𝑥) ≤ 𝐵))
5049simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐸𝑥))
5146, 50eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) < (𝐸𝑥))
5233, 45, 51ltled 11303 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸𝑥))
5352adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ (𝐸𝑥))
54 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐸𝑥) = 𝐵 → if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)) = (𝐸𝑥))
5554eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐸𝑥) = 𝐵 → (𝐸𝑥) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
5655adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝐸𝑥) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
5753, 56breqtrd 5131 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝐸𝑥) = 𝐵) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
5832, 57pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
59 fourierdlem37.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦)))
61 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐸𝑥) → (𝑦 = 𝐵 ↔ (𝐸𝑥) = 𝐵))
62 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐸𝑥) → 𝑦 = (𝐸𝑥))
6361, 62ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐸𝑥) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
6463adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 = (𝐸𝑥)) → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
6534, 45ifcld 4532 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)) ∈ ℝ)
6660, 64, 44, 65fvmptd 6955 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐿‘(𝐸𝑥)) = if((𝐸𝑥) = 𝐵, 𝐴, (𝐸𝑥)))
6758, 66breqtrrd 5133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥)))
68 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
6968breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥)) ↔ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))))
7069elrab 3645 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))))
7116, 67, 70sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})
7271ne0d 4295 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ≠ ∅)
73 fzssz 13443 . . . . . . . . 9 (0...𝑀) ⊆ ℤ
745, 73sstri 3953 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
75 zssre 12506 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
7674, 75sstri 3953 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
771, 76sstri 3953 . . . . . 6 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ ℝ
7877a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ ℝ)
79 fisupcl 9405 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ≠ ∅ ∧ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})
803, 9, 72, 78, 79syl13anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})
811, 80sselid 3942 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
82 fourierdlem37.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
8381, 82fmptd 7062 . 2 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
8480ex 413 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}))
8583, 84jca 512 1 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Or wor 5544  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  (,]cioc 13265  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  cfl 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ioc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  44416  fourierdlem89  44426  fourierdlem90  44427  fourierdlem91  44428
  Copyright terms: Public domain W3C validator