Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem37 45159
Description: ๐ผ is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem37.p ๐‘ƒ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘š)) โˆฃ (((๐‘โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘โ€˜๐‘š) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘š)(๐‘โ€˜๐‘–) < (๐‘โ€˜(๐‘– + 1)))})
fourierdlem37.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
fourierdlem37.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€))
fourierdlem37.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem37.e ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
fourierdlem37.l ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ))
fourierdlem37.i ๐ผ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem37 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ:โ„โŸถ(0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š,๐‘   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘š,๐‘   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘–,๐ธ   ๐‘ฆ,๐ธ   ๐‘–,๐ฟ   ๐‘–,๐‘€,๐‘š,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘–   ๐‘„,๐‘–,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐œ‘,๐‘–,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘š,๐‘)   ๐ด(๐‘–)   ๐ต(๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘)   ๐‘„(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘š)   ๐‘‡(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘)   ๐ฟ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘š,๐‘)   ๐‘€(๐‘ฆ)

Proof of Theorem fourierdlem37
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4077 . . . 4 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โІ (0..^๐‘€)
2 ltso 11299 . . . . . 6 < Or โ„
32a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ < Or โ„)
4 fzfi 13942 . . . . . . 7 (0...๐‘€) โˆˆ Fin
5 fzossfz 13656 . . . . . . . 8 (0..^๐‘€) โІ (0...๐‘€)
61, 5sstri 3991 . . . . . . 7 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โІ (0...๐‘€)
7 ssfi 9177 . . . . . . 7 (((0...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โІ (0...๐‘€)) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin)
84, 6, 7mp2an 689 . . . . . 6 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin)
10 0zd 12575 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
11 fourierdlem37.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12590 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1311nngt0d 12266 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
14 fzolb 13643 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ (0..^๐‘€) โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘€))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0..^๐‘€))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ (0..^๐‘€))
17 fourierdlem37.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€))
18 fourierdlem37.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘ƒ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘š)) โˆฃ (((๐‘โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘โ€˜๐‘š) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘š)(๐‘โ€˜๐‘–) < (๐‘โ€˜(๐‘– + 1)))})
1918fourierdlem2 45124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘„ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1))))))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆˆ (๐‘ƒโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘„ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1))))))
2117, 20mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆˆ (โ„ โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1)))))
2221simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„โ€˜0) = ๐ด โˆง (๐‘„โ€˜๐‘€) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)(๐‘„โ€˜๐‘–) < (๐‘„โ€˜(๐‘– + 1))))
2322simplld 765 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜0) = ๐ด)
2418, 11, 17fourierdlem11 45133 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต))
2524simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2623, 25eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜0) โˆˆ โ„)
2726, 23eqled 11322 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค ๐ด)
2827ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค ๐ด)
29 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) = ๐ด)
3029eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ ๐ด = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
3130adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ ๐ด = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
3228, 31breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
3326adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โˆˆ โ„)
3425adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3534rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3624simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
38 iocssre 13409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด(,]๐ต) โІ โ„)
3935, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด(,]๐ต) โІ โ„)
4024simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
41 fourierdlem37.t . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
42 fourierdlem37.e . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
4325, 36, 40, 41, 42fourierdlem4 45126 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ:โ„โŸถ(๐ด(,]๐ต))
4443ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
4539, 44sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4623adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) = ๐ด)
47 elioc2 13392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†” ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐ต)))
4835, 37, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†” ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐ต)))
4944, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐ต))
5049simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด < (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5146, 50eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) < (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5233, 45, 51ltled 11367 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5352adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
54 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
5554eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
5655adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
5753, 56breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
5832, 57pm2.61dan 810 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
59 fourierdlem37.l . . . . . . . . . 10 ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด(,]๐ต) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ)))
61 eqeq1 2735 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ = ๐ต โ†” (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต))
62 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ))
6361, 62ifbieq2d 4554 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
6463adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ = (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ต, ๐ด, ๐‘ฆ) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
6534, 45ifcld 4574 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
6660, 64, 44, 65fvmptd 7005 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ)) = if((๐ธโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต, ๐ด, (๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
6758, 66breqtrrd 5176 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ)))
68 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 0 โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘–) = (๐‘„โ€˜0))
6968breq1d 5158 . . . . . . . 8 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))))
7069elrab 3683 . . . . . . 7 (0 โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โ†” (0 โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘„โ€˜0) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))))
7116, 67, 70sylanbrc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})
7271ne0d 4335 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โ‰  โˆ…)
73 fzssz 13508 . . . . . . . . 9 (0...๐‘€) โІ โ„ค
745, 73sstri 3991 . . . . . . . 8 (0..^๐‘€) โІ โ„ค
75 zssre 12570 . . . . . . . 8 โ„ค โІ โ„
7674, 75sstri 3991 . . . . . . 7 (0..^๐‘€) โІ โ„
771, 76sstri 3991 . . . . . 6 {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โІ โ„
7877a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โІ โ„)
79 fisupcl 9468 . . . . 5 (( < Or โ„ โˆง ({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โˆˆ Fin โˆง {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โ‰  โˆ… โˆง {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))} โІ โ„)) โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})
803, 9, 72, 78, 79syl13anc 1371 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})
811, 80sselid 3980 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ (0..^๐‘€))
82 fourierdlem37.i . . 3 ๐ผ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ))
8381, 82fmptd 7115 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ:โ„โŸถ(0..^๐‘€))
8480ex 412 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}))
8583, 84jca 511 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ:โ„โŸถ(0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘„โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐ฟโ€˜(๐ธโ€˜๐‘ฅ))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  {crab 3431   โІ wss 3948  โˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   Or wor 5587  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โ†‘m cmap 8824  Fincfn 8943  supcsup 9439  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119  โ„*cxr 11252   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„คcz 12563  (,]cioc 13330  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  โŒŠcfl 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ioc 13334  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  45200  fourierdlem89  45210  fourierdlem90  45211  fourierdlem91  45212
  Copyright terms: Public domain W3C validator