Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubadd2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsubadd2lem 44960
Description: (voln*β€˜π‘‹) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . The special case of the union of 2 sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubadd2lem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovnsubadd2lem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsubadd2lem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsubadd2lem.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)))
Assertion
Ref Expression
ovnsubadd2lem (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝐢,𝑛   𝑛,𝑋   πœ‘,𝑛

Proof of Theorem ovnsubadd2lem
StepHypRef Expression
1 ovnsubadd2lem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 iftrue 4497 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐴)
32adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 1) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐴)
4 ovexd 7397 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
5 ovnsubadd2lem.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
64, 5ssexd 5286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
76, 5elpwd 4571 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
87adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 1) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
93, 8eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 1) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
109adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑛 = 1) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
11 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
1211iffalsed 4502 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…))
13 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ 𝑛 = 2)
1413iftrued 4499 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…) = 𝐡)
1512, 14eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐡)
1615adantll 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐡)
17 ovnsubadd2lem.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
184, 17ssexd 5286 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
1918, 17elpwd 4571 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ 𝑛 = 2) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
2116, 20eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
2221adantllr 718 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
23 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
2423iffalsed 4502 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…))
25 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ Β¬ 𝑛 = 2)
2625iffalsed 4502 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…) = βˆ…)
2724, 26eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = βˆ…)
28 0elpw 5316 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
3027, 29eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
3130adantll 713 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
3222, 31pm2.61dan 812 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑛 = 1) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
3310, 32pm2.61dan 812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
34 ovnsubadd2lem.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)))
3533, 34fmptd 7067 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
361, 35ovnsubadd 44887 . 2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))))
37 eldifi 4091 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3837adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
39 eldifn 4092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2})
40 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛 ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ 𝑛 ∈ V)
42 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2})
4341, 42nelpr1 4619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ 𝑛 β‰  1)
4443neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
4641, 42nelpr2 4618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ 𝑛 β‰  2)
4746neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ Β¬ 𝑛 = 2)
4839, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ Β¬ 𝑛 = 2)
4945, 48, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = βˆ…)
50 0ex 5269 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… ∈ V
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ βˆ… ∈ V)
5249, 51eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ V)
5352adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ V)
5434fvmpt2 6964 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ V) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)))
5538, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)))
5649adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = βˆ…)
5755, 56eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = βˆ…)
5857ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆ– {1, 2})(πΆβ€˜π‘›) = βˆ…)
59 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(β„• βˆ– {1, 2})
6059iunxdif3 5060 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆ– {1, 2})(πΆβ€˜π‘›) = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›))
6158, 60syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›))
6261eqcomd 2743 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›))
63 1nn 12171 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•
64 2nn 12233 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
6563, 64pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„•)
66 prssi 4786 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„•) β†’ {1, 2} βŠ† β„•)
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . 8 {1, 2} βŠ† β„•
68 dfss4 4223 . . . . . . . 8 ({1, 2} βŠ† β„• ↔ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2})) = {1, 2})
6967, 68mpbi 229 . . . . . . 7 (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2})) = {1, 2}
70 iuneq1 4975 . . . . . . 7 ((β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2})) = {1, 2} β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›))
7169, 70ax-mp 5 . . . . . 6 βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›)
7271a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›))
73 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (πΆβ€˜1))
74 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (πΆβ€˜2))
7573, 74iunxprg 5061 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›) = ((πΆβ€˜1) βˆͺ (πΆβ€˜2)))
7663, 64, 75mp2an 691 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›) = ((πΆβ€˜1) βˆͺ (πΆβ€˜2))
7776a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›) = ((πΆβ€˜1) βˆͺ (πΆβ€˜2)))
7863a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
7934, 2, 78, 6fvmptd3 6976 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜1) = 𝐴)
80 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 β†’ 𝑛 = 2)
81 1ne2 12368 . . . . . . . . . . . . . 14 1 β‰  2
8281necomi 2999 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  1
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 β†’ 2 β‰  1)
8480, 83eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 β†’ 𝑛 β‰  1)
8584neneqd 2949 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 2 β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
8685iffalsed 4502 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…))
87 iftrue 4497 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 β†’ if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…) = 𝐡)
8886, 87eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐡)
8964a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
9034, 88, 89, 18fvmptd3 6976 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜2) = 𝐡)
9179, 90uneq12d 4129 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜1) βˆͺ (πΆβ€˜2)) = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
92 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
9377, 91, 923eqtrd 2781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›) = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
9462, 72, 933eqtrd 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›) = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
9594fveq2d 6851 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
96 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘›πœ‘
97 nnex 12166 . . . . . . 7 β„• ∈ V
9897a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
9967a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {1, 2} βŠ† β„•)
1001adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
101 simpl 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ πœ‘)
10299sselda 3949 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
10335ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
104 elpwi 4572 . . . . . . . . 9 ((πΆβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
105103, 104syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
106101, 102, 105syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ (πΆβ€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
107100, 106ovncl 44882 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
10857fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆ…))
1091adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
110109ovn0 44881 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆ…) = 0)
111108, 110eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) = 0)
11296, 98, 99, 107, 111sge0ss 44727 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))))
113112eqcomd 2743 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))))
11479, 5eqsstrd 3987 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜1) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1151, 114ovncl 44882 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)) ∈ (0[,]+∞))
11690, 17eqsstrd 3987 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜2) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1171, 116ovncl 44882 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2)) ∈ (0[,]+∞))
118 2fveq3 6852 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)))
119 2fveq3 6852 . . . . 5 (𝑛 = 2 β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2)))
12081a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 β‰  2)
12178, 89, 115, 117, 118, 119, 120sge0pr 44709 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2))))
12279fveq2d 6851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄))
12390fveq2d 6851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅))
124122, 123oveq12d 7380 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2))) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅)))
125113, 121, 1243eqtrd 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅)))
12695, 125breq12d 5123 . 2 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) ↔ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅))))
12736, 126mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565  {cpr 4593  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  2c2 12215   +𝑒 cxad 13038  Ξ£^csumge0 44677  voln*covoln 44851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-0g 17330  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-subg 18932  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-sumge0 44678  df-ovoln 44852
This theorem is referenced by:  ovnsubadd2  44961
  Copyright terms: Public domain W3C validator