Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubadd2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsubadd2lem 45956
Description: (voln*β€˜π‘‹) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . The special case of the union of 2 sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubadd2lem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovnsubadd2lem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsubadd2lem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsubadd2lem.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)))
Assertion
Ref Expression
ovnsubadd2lem (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝐢,𝑛   𝑛,𝑋   πœ‘,𝑛

Proof of Theorem ovnsubadd2lem
StepHypRef Expression
1 ovnsubadd2lem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 iftrue 4530 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐴)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 1) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐴)
4 ovexd 7449 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
5 ovnsubadd2lem.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
64, 5ssexd 5318 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
76, 5elpwd 4604 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
87adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 1) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
93, 8eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 1) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
109adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑛 = 1) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
11 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
1211iffalsed 4535 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…))
13 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ 𝑛 = 2)
1413iftrued 4532 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…) = 𝐡)
1512, 14eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐡)
1615adantll 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐡)
17 ovnsubadd2lem.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
184, 17ssexd 5318 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
1918, 17elpwd 4604 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ 𝑛 = 2) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
2116, 20eqeltrd 2828 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
2221adantllr 718 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
23 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
2423iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…))
25 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ Β¬ 𝑛 = 2)
2625iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…) = βˆ…)
2724, 26eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = βˆ…)
28 0elpw 5350 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
3027, 29eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑛 = 1 ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
3130adantll 713 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑛 = 1) ∧ Β¬ 𝑛 = 2) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
3222, 31pm2.61dan 812 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑛 = 1) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
3310, 32pm2.61dan 812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
34 ovnsubadd2lem.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)))
3533, 34fmptd 7118 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
361, 35ovnsubadd 45883 . 2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))))
37 eldifi 4122 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3837adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
39 eldifn 4123 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2})
40 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛 ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ 𝑛 ∈ V)
42 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2})
4341, 42nelpr1 4652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ 𝑛 β‰  1)
4443neneqd 2940 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
4641, 42nelpr2 4651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ 𝑛 β‰  2)
4746neneqd 2940 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑛 ∈ {1, 2} β†’ Β¬ 𝑛 = 2)
4839, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ Β¬ 𝑛 = 2)
4945, 48, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = βˆ…)
50 0ex 5301 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… ∈ V
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ βˆ… ∈ V)
5249, 51eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2}) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ V)
5352adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ V)
5434fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) ∈ V) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)))
5538, 53, 54syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)))
5649adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = βˆ…)
5755, 56eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = βˆ…)
5857ralrimiva 3141 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆ– {1, 2})(πΆβ€˜π‘›) = βˆ…)
59 nfcv 2898 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(β„• βˆ– {1, 2})
6059iunxdif3 5092 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆ– {1, 2})(πΆβ€˜π‘›) = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›))
6158, 60syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›))
6261eqcomd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›))
63 1nn 12245 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•
64 2nn 12307 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
6563, 64pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„•)
66 prssi 4820 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„•) β†’ {1, 2} βŠ† β„•)
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . 8 {1, 2} βŠ† β„•
68 dfss4 4254 . . . . . . . 8 ({1, 2} βŠ† β„• ↔ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2})) = {1, 2})
6967, 68mpbi 229 . . . . . . 7 (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2})) = {1, 2}
70 iuneq1 5007 . . . . . . 7 ((β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2})) = {1, 2} β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›))
7169, 70ax-mp 5 . . . . . 6 βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›)
7271a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– (β„• βˆ– {1, 2}))(πΆβ€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›))
73 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (πΆβ€˜1))
74 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (πΆβ€˜2))
7573, 74iunxprg 5093 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›) = ((πΆβ€˜1) βˆͺ (πΆβ€˜2)))
7663, 64, 75mp2an 691 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›) = ((πΆβ€˜1) βˆͺ (πΆβ€˜2))
7776a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›) = ((πΆβ€˜1) βˆͺ (πΆβ€˜2)))
7863a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
7934, 2, 78, 6fvmptd3 7022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜1) = 𝐴)
80 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 β†’ 𝑛 = 2)
81 1ne2 12442 . . . . . . . . . . . . . 14 1 β‰  2
8281necomi 2990 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  1
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 β†’ 2 β‰  1)
8480, 83eqnetrd 3003 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 β†’ 𝑛 β‰  1)
8584neneqd 2940 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 2 β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
8685iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…))
87 iftrue 4530 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 β†’ if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…) = 𝐡)
8886, 87eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 β†’ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐡, βˆ…)) = 𝐡)
8964a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
9034, 88, 89, 18fvmptd3 7022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜2) = 𝐡)
9179, 90uneq12d 4160 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜1) βˆͺ (πΆβ€˜2)) = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
92 eqidd 2728 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
9377, 91, 923eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ {1, 2} (πΆβ€˜π‘›) = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
9462, 72, 933eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›) = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
9594fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
96 nfv 1910 . . . . . 6 β„²π‘›πœ‘
97 nnex 12240 . . . . . . 7 β„• ∈ V
9897a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
9967a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {1, 2} βŠ† β„•)
1001adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
101 simpl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ πœ‘)
10299sselda 3978 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
10335ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
104 elpwi 4605 . . . . . . . . 9 ((πΆβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
105103, 104syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
106101, 102, 105syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ (πΆβ€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
107100, 106ovncl 45878 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {1, 2}) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
10857fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆ…))
1091adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
110109ovn0 45877 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆ…) = 0)
111108, 110eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– {1, 2})) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) = 0)
11296, 98, 99, 107, 111sge0ss 45723 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))))
113112eqcomd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))))
11479, 5eqsstrd 4016 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜1) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1151, 114ovncl 45878 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)) ∈ (0[,]+∞))
11690, 17eqsstrd 4016 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜2) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1171, 116ovncl 45878 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2)) ∈ (0[,]+∞))
118 2fveq3 6896 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)))
119 2fveq3 6896 . . . . 5 (𝑛 = 2 β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2)))
12081a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 β‰  2)
12178, 89, 115, 117, 118, 119, 120sge0pr 45705 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2))))
12279fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄))
12390fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2)) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅))
124122, 123oveq12d 7432 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜1)) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜2))) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅)))
125113, 121, 1243eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅)))
12695, 125breq12d 5155 . 2 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΆβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(πΆβ€˜π‘›)))) ↔ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅))))
12736, 126mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  π’« cpw 4598  {cpr 4626  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  2c2 12289   +𝑒 cxad 13114  Ξ£^csumge0 45673  voln*covoln 45847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-ac2 10478  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-ac 10131  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-prod 15874  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-rest 17395  df-0g 17414  df-topgen 17416  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cmp 23278  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-sumge0 45674  df-ovoln 45848
This theorem is referenced by:  ovnsubadd2  45957
  Copyright terms: Public domain W3C validator