Theorem domtriom 10403

Description: Trichotomy of equinumerosity for ω, proven using countable choice. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 10274) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
domtriom.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
domtriom	⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem domtriom

Dummy variables 𝑏 𝑛 𝑦 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9073	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
2		isfinite 9612	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
3		domtriom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
5		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑏‘𝑚) = (𝑏‘𝑛))
6		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑘))
7	6	cbviunv 5007	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑘)
8		iuneq1 4975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
9	7, 8	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
10	5, 9	difeq12d 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑏‘𝑚) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗)) = ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
11	10	cbvmptv 5214	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω ↦ ((𝑏‘𝑚) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗))) = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
12	3, 4, 11	domtriomlem 10402	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)
13	2, 12	sylnbir 331	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ ω → ω ≼ 𝐴)
14	1, 13	impbii 209	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  {cab 2708  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  ωcom 7845   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919   ≺ csdm 8920  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899

This theorem is referenced by:  fin41  10404  dominf  10405