Theorem domtriom 10448

Description: Trichotomy of equinumerosity for ω, proven using countable choice. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 10319) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
domtriom.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
domtriom	⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem domtriom

Dummy variables 𝑏 𝑛 𝑦 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9104	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
2		isfinite 9634	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
3		domtriom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
5		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑏‘𝑚) = (𝑏‘𝑛))
6		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑘))
7	6	cbviunv 4997	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑘)
8		iuneq1 4968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
9	7, 8	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
10	5, 9	difeq12d 4075	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑏‘𝑚) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗)) = ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
11	10	cbvmptv 5209	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω ↦ ((𝑏‘𝑚) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗))) = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
12	3, 4, 11	domtriomlem 10447	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)
13	2, 12	sylnbir 334	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ ω → ω ≼ 𝐴)
14	1, 13	impbii 212	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  {cab 2738  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  ωcom 7863   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953   ≺ csdm 8954  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cc 10440

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947

This theorem is used by:  fin41  10449  dominf  10450