MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtriom 9466
Description: Trichotomy of equinumerosity for ω, proven using countable choice. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 9337) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
domtriom (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables 𝑏 𝑛 𝑦 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 8241 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
2 isfinite 8712 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
3 domtriom.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 eqid 2770 . . . 4 {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
5 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑏𝑚) = (𝑏𝑛))
6 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑘))
76cbviunv 4691 . . . . . . 7 𝑗𝑚 (𝑏𝑗) = 𝑘𝑚 (𝑏𝑘)
8 iuneq1 4666 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 𝑘𝑚 (𝑏𝑘) = 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
97, 8syl5eq 2816 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 𝑗𝑚 (𝑏𝑗) = 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
105, 9difeq12d 3878 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑏𝑚) ∖ 𝑗𝑚 (𝑏𝑗)) = ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
1110cbvmptv 4882 . . . 4 (𝑚 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑚) ∖ 𝑗𝑚 (𝑏𝑗))) = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
123, 4, 11domtriomlem 9465 . . 3 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)
132, 12sylnbir 320 . 2 𝐴 ≺ ω → ω ≼ 𝐴)
141, 13impbii 199 1 (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 382  wcel 2144  {cab 2756  Vcvv 3349  cdif 3718  wss 3721  𝒫 cpw 4295   ciun 4652   class class class wbr 4784  cmpt 4861  cfv 6031  ωcom 7211  cen 8105  cdom 8106  csdm 8107  Fincfn 8108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191
This theorem is referenced by:  fin41  9467  dominf  9468
  Copyright terms: Public domain W3C validator