MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtriom 10476
Description: Trichotomy of equinumerosity for ω, proven using countable choice. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 10347) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
domtriom (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables 𝑏 𝑛 𝑦 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 9132 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
2 isfinite 9685 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
3 domtriom.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 eqid 2728 . . . 4 {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
5 fveq2 6902 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑏𝑚) = (𝑏𝑛))
6 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑘))
76cbviunv 5047 . . . . . . 7 𝑗𝑚 (𝑏𝑗) = 𝑘𝑚 (𝑏𝑘)
8 iuneq1 5016 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 𝑘𝑚 (𝑏𝑘) = 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
97, 8eqtrid 2780 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 𝑗𝑚 (𝑏𝑗) = 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
105, 9difeq12d 4123 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑏𝑚) ∖ 𝑗𝑚 (𝑏𝑗)) = ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
1110cbvmptv 5265 . . . 4 (𝑚 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑚) ∖ 𝑗𝑚 (𝑏𝑗))) = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
123, 4, 11domtriomlem 10475 . . 3 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)
132, 12sylnbir 330 . 2 𝐴 ≺ ω → ω ≼ 𝐴)
141, 13impbii 208 1 (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 394  wcel 2098  {cab 2705  Vcvv 3473  cdif 3946  wss 3949  𝒫 cpw 4606   ciun 5000   class class class wbr 5152  cmpt 5235  cfv 6553  ωcom 7878  cen 8969  cdom 8970  csdm 8971  Fincfn 8972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cc 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972
This theorem is referenced by:  fin41  10477  dominf  10478
  Copyright terms: Public domain W3C validator