MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtriom 10434
Description: Trichotomy of equinumerosity for ω, proven using countable choice. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 10305) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
domtriom (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables 𝑏 𝑛 𝑦 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 9095 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
2 isfinite 9643 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
3 domtriom.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 eqid 2733 . . . 4 {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
5 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑏𝑚) = (𝑏𝑛))
6 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑘))
76cbviunv 5042 . . . . . . 7 𝑗𝑚 (𝑏𝑗) = 𝑘𝑚 (𝑏𝑘)
8 iuneq1 5012 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 𝑘𝑚 (𝑏𝑘) = 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
97, 8eqtrid 2785 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 𝑗𝑚 (𝑏𝑗) = 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
105, 9difeq12d 4122 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑏𝑚) ∖ 𝑗𝑚 (𝑏𝑗)) = ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
1110cbvmptv 5260 . . . 4 (𝑚 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑚) ∖ 𝑗𝑚 (𝑏𝑗))) = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
123, 4, 11domtriomlem 10433 . . 3 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)
132, 12sylnbir 331 . 2 𝐴 ≺ ω → ω ≼ 𝐴)
141, 13impbii 208 1 (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397  wcel 2107  {cab 2710  Vcvv 3475  cdif 3944  wss 3947  𝒫 cpw 4601   ciun 4996   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6540  ωcom 7850  cen 8932  cdom 8933  csdm 8934  Fincfn 8935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930
This theorem is referenced by:  fin41  10435  dominf  10436
  Copyright terms: Public domain W3C validator