Theorem domtriom 10396

Description: Trichotomy of equinumerosity for ω, proven using countable choice. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 10267) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
domtriom.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
domtriom	⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem domtriom

Dummy variables 𝑏 𝑛 𝑦 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9067	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
2		isfinite 9605	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
3		domtriom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
5		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑏‘𝑚) = (𝑏‘𝑛))
6		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑘))
7	6	cbviunv 5004	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑘)
8		iuneq1 4972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
9	7, 8	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
10	5, 9	difeq12d 4090	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑏‘𝑚) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗)) = ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
11	10	cbvmptv 5211	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω ↦ ((𝑏‘𝑚) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑚 (𝑏‘𝑗))) = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
12	3, 4, 11	domtriomlem 10395	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)
13	2, 12	sylnbir 331	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ ω → ω ≼ 𝐴)
14	1, 13	impbii 209	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  {cab 2707  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ ciun 4955   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  ωcom 7842   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892

This theorem is referenced by:  fin41  10397  dominf  10398