Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrcl4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfrcl4 43689
Description: Reflexive closure of a relation as indexed union of powers of the relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrcl4 r* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dfrcl4
StepHypRef Expression
1 dfrcl3 43688 . 2 r* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1)))
2 df-pr 4629 . . . . 5 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
3 iuneq1 5008 . . . . 5 ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟𝑟𝑛))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟𝑟𝑛)
5 iunxun 5094 . . . 4 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛))
6 c0ex 11255 . . . . . 6 0 ∈ V
7 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0))
86, 7iunxsn 5091 . . . . 5 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0)
9 1ex 11257 . . . . . 6 1 ∈ V
10 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟1))
119, 10iunxsn 5091 . . . . 5 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟1)
128, 11uneq12i 4166 . . . 4 ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛)) = ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1))
134, 5, 123eqtri 2769 . . 3 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛) = ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1))
1413mpteq2i 5247 . 2 (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1)))
151, 14eqtr4i 2768 1 r* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  Vcvv 3480  cun 3949  {csn 4626  {cpr 4628   ciun 4991  cmpt 5225  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  𝑟crelexp 15058  r*crcl 43685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-relexp 15059  df-rcl 43686
This theorem is referenced by:  brfvrcld  43704  fvrcllb0d  43706  fvrcllb0da  43707  fvrcllb1d  43708  corclrcl  43720  corcltrcl  43752  cotrclrcl  43755
  Copyright terms: Public domain W3C validator