Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrcl4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfrcl4 40156
Description: Reflexive closure of a relation as indexed union of powers of the relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrcl4 r* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dfrcl4
StepHypRef Expression
1 dfrcl3 40155 . 2 r* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1)))
2 df-pr 4546 . . . . 5 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
3 iuneq1 4911 . . . . 5 ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟𝑟𝑛))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟𝑟𝑛)
5 iunxun 4992 . . . 4 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛))
6 c0ex 10613 . . . . . 6 0 ∈ V
7 oveq2 7141 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0))
86, 7iunxsn 4989 . . . . 5 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0)
9 1ex 10615 . . . . . 6 1 ∈ V
10 oveq2 7141 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟1))
119, 10iunxsn 4989 . . . . 5 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟1)
128, 11uneq12i 4116 . . . 4 ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛)) = ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1))
134, 5, 123eqtri 2847 . . 3 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛) = ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1))
1413mpteq2i 5134 . 2 (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1)))
151, 14eqtr4i 2846 1 r* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  Vcvv 3473  cun 3911  {csn 4543  {cpr 4545   ciun 4895  cmpt 5122  (class class class)co 7133  0cc0 10515  1c1 10516  𝑟crelexp 14359  r*crcl 40152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-seq 13354  df-relexp 14360  df-rcl 40153
This theorem is referenced by:  brfvrcld  40171  fvrcllb0d  40173  fvrcllb0da  40174  fvrcllb1d  40175  corclrcl  40187  corcltrcl  40219  cotrclrcl  40222
  Copyright terms: Public domain W3C validator