Theorem dfrcl4 44503

Description: Reflexive closure of a relation as indexed union of powers of the relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrcl4	⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dfrcl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl3 44502	. 2 ⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1)))
2		df-pr 4590	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
3		iuneq1 4971	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟↑𝑟𝑛))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟↑𝑟𝑛)
5		iunxun 5058	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟↑𝑟𝑛) = (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛))
6		c0ex 11227	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
7		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0))
8	6, 7	iunxsn 5055	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0)
9		1ex 11230	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
10		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟1))
11	9, 10	iunxsn 5055	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟1)
12	8, 11	uneq12i 4116	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛)) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1))
13	4, 5, 12	3eqtri 2789	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1))
14	13	mpteq2i 5205	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1)))
15	1, 14	eqtr4i 2788	1 ⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3453   ∪ cun 3900  {csn 4587  {cpr 4589  ∪ ciun 4954   ↦ cmpt 5190  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128  ↑_𝑟crelexp 15094  r*crcl 44499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-relexp 15095  df-rcl 44500

This theorem is used by:  brfvrcld  44518  fvrcllb0d  44520  fvrcllb0da  44521  fvrcllb1d  44522  corclrcl  44534  corcltrcl  44566  cotrclrcl  44569