Theorem dfrcl4 43954

Description: Reflexive closure of a relation as indexed union of powers of the relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrcl4	⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dfrcl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl3 43953	. 2 ⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1)))
2		df-pr 4582	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
3		iuneq1 4962	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟↑𝑟𝑛))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟↑𝑟𝑛)
5		iunxun 5048	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟↑𝑟𝑛) = (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛))
6		c0ex 11128	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
7		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0))
8	6, 7	iunxsn 5045	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0)
9		1ex 11130	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
10		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟1))
11	9, 10	iunxsn 5045	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟1)
12	8, 11	uneq12i 4117	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛)) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1))
13	4, 5, 12	3eqtri 2762	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1))
14	13	mpteq2i 5193	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1)))
15	1, 14	eqtr4i 2761	1 ⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛))

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3439   ∪ cun 3898  {csn 4579  {cpr 4581  ∪ ciun 4945   ↦ cmpt 5178  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029  ↑_𝑟crelexp 14944  r*crcl 43950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-relexp 14945  df-rcl 43951

This theorem is referenced by:  brfvrcld  43969  fvrcllb0d  43971  fvrcllb0da  43972  fvrcllb1d  43973  corclrcl  43985  corcltrcl  44017  cotrclrcl  44020