Theorem dfrcl4 43774

Description: Reflexive closure of a relation as indexed union of powers of the relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrcl4	⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dfrcl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl3 43773	. 2 ⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1)))
2		df-pr 4578	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
3		iuneq1 4958	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟↑𝑟𝑛))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟↑𝑟𝑛)
5		iunxun 5044	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟↑𝑟𝑛) = (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛))
6		c0ex 11112	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
7		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0))
8	6, 7	iunxsn 5041	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0)
9		1ex 11114	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
10		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟1))
11	9, 10	iunxsn 5041	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟1)
12	8, 11	uneq12i 4115	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛)) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1))
13	4, 5, 12	3eqtri 2758	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1))
14	13	mpteq2i 5189	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (𝑟↑𝑟1)))
15	1, 14	eqtr4i 2757	1 ⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛))

Syntax hints:   = wceq 1541  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  {csn 4575  {cpr 4577  ∪ ciun 4941   ↦ cmpt 5174  (class class class)co 7352  0cc0 11012  1c1 11013  ↑_𝑟crelexp 14932  r*crcl 43770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-seq 13915  df-relexp 14933  df-rcl 43771

This theorem is referenced by:  brfvrcld  43789  fvrcllb0d  43791  fvrcllb0da  43792  fvrcllb1d  43793  corclrcl  43805  corcltrcl  43837  cotrclrcl  43840