Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrcl4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfrcl4 43666
Description: Reflexive closure of a relation as indexed union of powers of the relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrcl4 r* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dfrcl4
StepHypRef Expression
1 dfrcl3 43665 . 2 r* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1)))
2 df-pr 4634 . . . . 5 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
3 iuneq1 5013 . . . . 5 ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟𝑟𝑛))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟𝑟𝑛)
5 iunxun 5099 . . . 4 𝑛 ∈ ({0} ∪ {1})(𝑟𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛))
6 c0ex 11253 . . . . . 6 0 ∈ V
7 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0))
86, 7iunxsn 5096 . . . . 5 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0)
9 1ex 11255 . . . . . 6 1 ∈ V
10 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟1))
119, 10iunxsn 5096 . . . . 5 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟1)
128, 11uneq12i 4176 . . . 4 ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛)) = ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1))
134, 5, 123eqtri 2767 . . 3 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛) = ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1))
1413mpteq2i 5253 . 2 (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (𝑟𝑟1)))
151, 14eqtr4i 2766 1 r* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  Vcvv 3478  cun 3961  {csn 4631  {cpr 4633   ciun 4996  cmpt 5231  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  𝑟crelexp 15055  r*crcl 43662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-relexp 15056  df-rcl 43663
This theorem is referenced by:  brfvrcld  43681  fvrcllb0d  43683  fvrcllb0da  43684  fvrcllb1d  43685  corclrcl  43697  corcltrcl  43729  cotrclrcl  43732
  Copyright terms: Public domain W3C validator