MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2d 14789
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that 𝐵(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
fsum2d.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum2d (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝐷,𝑗,𝑘   𝑧,𝐶   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3783 . 2 𝐴𝐴
2 fsum2d.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 sumeq1 14706 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)
5 iuneq1 4690 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
65sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
74, 6eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
83, 7imbi12d 335 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
98imbi2d 331 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
10 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝐴𝑥𝐴))
11 sumeq1 14706 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶)
12 iuneq1 4690 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵))
1312sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
1411, 13eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
1510, 14imbi12d 335 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
1615imbi2d 331 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
17 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴))
18 sumeq1 14706 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶)
19 iuneq1 4690 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵))
2019sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2118, 20eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2217, 21imbi12d 335 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
2322imbi2d 331 . . . 4 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
24 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤𝐴𝐴𝐴))
25 sumeq1 14706 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
26 iuneq1 4690 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
2726sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2825, 27eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2924, 28imbi12d 335 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
3029imbi2d 331 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
31 sum0 14739 . . . . . 6 Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷 = 0
32 0iun 4733 . . . . . . 7 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
3332sumeq1i 14715 . . . . . 6 Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷
34 sum0 14739 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = 0
3531, 33, 343eqtr4ri 2798 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷
36352a1i 12 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
37 ssun1 3938 . . . . . . . . . 10 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦})
38 sstr 3769 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝑥𝐴)
3937, 38mpan 681 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴𝑥𝐴)
4039imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
42 simpll 783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝜑)
4342, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4542, 44sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4742, 46sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑦𝑥)
49 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴)
50 biid 252 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5141, 43, 45, 47, 48, 49, 50fsum2dlem 14788 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5251exp31 410 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5352a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5440, 53syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5554expcom 402 . . . . . 6 𝑦𝑥 → (𝜑 → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
5655a2d 29 . . . . 5 𝑦𝑥 → ((𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
5756adantl 473 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 8408 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
592, 58mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
601, 59mpi 20 1 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cun 3730  wss 3732  c0 4079  {csn 4334  cop 4340   ciun 4676   × cxp 5275  Fincfn 8160  cc 10187  0cc0 10189  Σcsu 14703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704
This theorem is referenced by:  fsumxp  14790  fsumcom2  14792  ovoliunlem1  23560  fsumvma  25229  fsumiunle  29959  eulerpartlemgs2  30824  dvnprodlem2  40732
  Copyright terms: Public domain W3C validator