MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2d 15755
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that 𝐵(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
fsum2d.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum2d (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝐷,𝑗,𝑘   𝑧,𝐶   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4002 . 2 𝐴𝐴
2 fsum2d.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 4005 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 sumeq1 15673 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)
5 iuneq1 5014 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
65sumeq1d 15685 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
74, 6eqeq12d 2743 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
83, 7imbi12d 343 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
98imbi2d 339 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
10 sseq1 4005 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝐴𝑥𝐴))
11 sumeq1 15673 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶)
12 iuneq1 5014 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵))
1312sumeq1d 15685 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
1411, 13eqeq12d 2743 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
1510, 14imbi12d 343 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
1615imbi2d 339 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
17 sseq1 4005 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴))
18 sumeq1 15673 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶)
19 iuneq1 5014 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵))
2019sumeq1d 15685 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2118, 20eqeq12d 2743 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2217, 21imbi12d 343 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
2322imbi2d 339 . . . 4 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
24 sseq1 4005 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤𝐴𝐴𝐴))
25 sumeq1 15673 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
26 iuneq1 5014 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
2726sumeq1d 15685 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2825, 27eqeq12d 2743 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2924, 28imbi12d 343 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
3029imbi2d 339 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
31 sum0 15705 . . . . . 6 Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷 = 0
32 0iun 5068 . . . . . . 7 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
3332sumeq1i 15682 . . . . . 6 Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷
34 sum0 15705 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = 0
3531, 33, 343eqtr4ri 2766 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷
36352a1i 12 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
37 ssun1 4172 . . . . . . . . . 10 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦})
38 sstr 3988 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝑥𝐴)
3937, 38mpan 688 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴𝑥𝐴)
4039imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
42 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝜑)
4342, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4542, 44sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4742, 46sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑦𝑥)
49 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴)
50 biid 260 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5141, 43, 45, 47, 48, 49, 50fsum2dlem 15754 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5251exp31 418 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5352a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5440, 53syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5554expcom 412 . . . . . 6 𝑦𝑥 → (𝜑 → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
5655a2d 29 . . . . 5 𝑦𝑥 → ((𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
5756adantl 480 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 9194 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
592, 58mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
601, 59mpi 20 1 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3945  wss 3947  c0 4324  {csn 4630  cop 4636   ciun 4998   × cxp 5678  Fincfn 8968  cc 11142  0cc0 11144  Σcsu 15670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671
This theorem is referenced by:  fsumxp  15756  fsumcom2  15758  ovoliunlem1  25449  fsumvma  27164  fsumiunle  32610  eulerpartlemgs2  34005  dvnprodlem2  45337
  Copyright terms: Public domain W3C validator