Theorem kardfi 35583

Description: The kard cardinal number of a finite set is finite. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem kardfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8968	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		df-rex 3090	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
3		kardeng 35570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝑥) ↔ 𝐴 ≈ 𝑥))
4	3	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝑥 → (kard‘𝐴) = (kard‘𝑥)))
5		kardnnfi 35582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (kard‘𝑥) ∈ Fin)
6		eleq1a 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((kard‘𝑥) ∈ Fin → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝑥) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝑥) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
8	7	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ (kard‘𝐴) = (kard‘𝑥)) → (kard‘𝐴) ∈ Fin)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝑥 ∈ ω ∧ (kard‘𝐴) = (kard‘𝑥)) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
10	4, 9	sylan2d 616	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
11	10	exlimdv 1963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
12	2, 11	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
13	1, 12	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
14	13	pm2.43i 53	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  ωcom 7858   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  kardckard 35562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-r1 9732  df-rank 9733  df-scott 9854  df-kard 35563

This theorem is referenced by: (None)