Theorem kardfi 35880

Description: The kard cardinal number of a finite set is finite. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem kardfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9002	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		df-rex 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
3		kardeng 35867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝑥) ↔ 𝐴 ≈ 𝑥))
4	3	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝑥 → (kard‘𝐴) = (kard‘𝑥)))
5		kardnnfi 35879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (kard‘𝑥) ∈ Fin)
6		eleq1a 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((kard‘𝑥) ∈ Fin → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝑥) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝑥) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
8	7	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ (kard‘𝐴) = (kard‘𝑥)) → (kard‘𝐴) ∈ Fin)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝑥 ∈ ω ∧ (kard‘𝐴) = (kard‘𝑥)) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
10	4, 9	sylan2d 617	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
11	10	exlimdv 1965	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
12	2, 11	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
13	1, 12	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → (kard‘𝐴) ∈ Fin))
14	13	pm2.43i 53	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ωcom 7877   ≈ cen 8970  Fincfn 8973  kardckard 35859

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929  df-kard 35860

This theorem is used by: (None)